Uno più uno fa due… oppure no? ***
Mentre andiamo avanti con la matematica e con i concetti un po’ astrusi di zero e infinito, vorrei tenervi “svegli” e proporvi qualche piccolo gioco di prestigio. Il primo si riferisce a una delle somme più facili che esistano, uno più uno, il cui risultato è probabilmente conosciuto anche dai bambini dell’asilo. Ma siamo proprio sicuri che sia così? Ah… questa matematica, ci riesce a sorprendere sempre!
Questo quiz o gioco che dir si voglia serve molto per lo studio delle funzioni. Si riferisce anche, sebbene non sembri, al concetto di zero, di infinito e alle forme indeterminate. Finora abbiamo cercato di considerare infinito un punto come tutti gli altri, ma molti problemi sono già sorti attorno a lui e altri ne sorgeranno. Tanto per non dimenticare…
Non ridete e cominciamo:
a =1
b =1
Avete qualcosa da ridire su queste due espressioni letterarie? Direi proprio di no. Possiamo sempre prendere due variabili a e b e porle uguale a 1.
Facciamo un passetto in più. Tanto per richiamare le espressioni letterarie, che dovremo imparare ad usare come fossero il cibo quotidiano, scriviamo l’espressione:
a = b …. (1)
Non siete sicuri che sia giusta? Beh… basta provare per credere. Sostituiamo a con il suo valore 1 e lo stesso facciamo con b:
1 = 1
Questa è un’uguaglianza che è sicuramente valida e conosciuta anche dai bambini dell’asilo.
Riprendiamo allora l’espressione (1) di prima (sicuramente giusta, dato che l’abbiamo appena verificata) e moltiplichiamo per a sia il lato sinistro che quello destro. Avremo:
a∙a = b∙a ossia:
a2= a∙b …. (2)
Perfetto, direi, dato che tutti dovrebbero sapere che moltiplicando entrambe le due parti di un’uguaglianza per uno stesso numero, l’uguaglianza si conserva. Provate se non ci credete:
2 = 2
Moltiplico sia a destra che a sinistra per lo stesso numero 5, cosa ottengo?
2∙5 = 2∙5 e ancora:
10 = 10
Come previsto l’uguaglianza si è conservata. Siamo tranquilli e possiamo andare avanti. Riprendiamo l’espressione (2) e togliamo da entrambe le parti il numero b2.
a2 – b2 = ab – b2 …. (3)
Cambia il risultato? No, assolutamente no. Togliendo dalle due parti di un’uguaglianza lo stesso numero l’uguaglianza si deve mantenere. Proviamo, proviamo…
7 = 7
Adesso tolgo 22 = 4 da entrambe le parti. Ottengo:
7 - 4 = 7 - 4 e, infine:
3 = 3
Ancora una volta l’uguaglianza si è mantenuta e quindi l’espressione letteraria (3) deve ancora essere valida.
Andiamo avanti e facciamo qualcosa di completamente indolore sia a sinistra che a destra. Un qualcosa che non cambi assolutamente l’uguaglianza. Innanzitutto, dobbiamo ricordare un prodotto notevole. Se non lo rammentate, fidatevi di me: ciò che scrivo è sicuramente giusto (e poi basta provare sostituendo dei numeri ad a e b, oppure eseguire la moltiplicazione e le relative semplificazioni):
(a + b)∙(a – b) = a2 – b2
Come avete capito sostituirò, nella parte sinistra, a2 – b2 proprio con (a + b)∙(a – b), dato che sono la stessa identica cosa.
Anche nella parte destra posso fare qualcosa, ossia, molto più semplicemente, mettere in evidenza b, in modo da scrivere:
ab – b2 = b (a - b)
L’espressione (3), diventa allora:
(a + b)∙(a – b) = b (a – b) …. (4)
Mi accorgo che sia a sinistra che a destra vi è la stessa quantità (a - b). Posso tranquillamente eliminarla, dividendo entrambe le parti per (a - b). D’altra parte, abbiamo visto che moltiplicare entrambe le parti per uno stesso numero non cambia l’uguaglianza. In questo caso non faccio altro che moltiplicare per 1/(a - b) sia la parte destra che quella sinistra. Tutto regolare e corretto. Ottengo, infine:
a + b = b …. (5)
Un attimo, un attimo… proprio all’inizio di tutto ero partito con il dire che a = 1 e b = 1. Basta allora che sostituisca questi valori nell’ultima espressione letteraria (è sempre fattibile e l’abbiamo già provato all’inizio). Se ne deduce che:
1 + 1 = 1
Non saltate sulla sedia e non ditemi che non sapete fare uno più uno… eppure dovete accettare la vostra ignoranza (oppure la mia?). Ho appena dimostrato, con semplici ed esatti passaggi matematici, che uno più uno non fa due, ma soltanto uno.
Dimostratemi che non ho ragione… se ne siete capaci!
LA SOLUZIONE LA TROVATE SOTTO QUESTO SPAZIO LASCIATO INTENZIONALMENTE BIANCO PER NON FARLA VEDERE A CHI VUOLE RISOLVERE DA SOLO IL QUIZ
QUESTO E' IL PASSAGGIO SBAGLIATO:
(a+b)(a-b) = b(a-b) non è equivalente a (a+b) = b
perché (a-b)=0,
quindi non posso semplificare l'equazione, senza prima porre la condizione che a deve essere diverso da b, altrimenti ottengo una forma indeterminata 0/0
50 commenti
1/(a-b) é una di quelle famigerate indeterminate.....come minimo é tutta colpa sua se si sono incasinate le cose
No, ho scritto una stupidaggine, non é indeterminata, da inf
ovviamente, per un po' non rispondo....
"Mi accorgo che sia a sinistra che a destra vi è la stessa quantità (a – b). Posso tranquillamente eliminarla, dividendo entrambe le parti per (a –b)"
L'inghippo è forse qui, perchè non si può co si tranquillamente dividere per zero.
Forse ci sono....il problema é che moltiplicare qualcosa per 0 non da lo stesso risultato del dividerlo per 0. Quindi l'ugualianza non é rispettata per quello! O almeno penso sia cosí
uguaglianza* ops
*al dividere per 0 sostituire moltiplicare per inf......vabbe mi sa che é meglio che la smetto di voler partecipare mentre lavoro...
scusate per il multipost.
(a+b)(a-b) = b(a-b)
Il problema è che a-b=0, quindi se svolgo le moltiplicazioni viene 0=0
prima di dividere per (a-b) devo mettere la condizione che a deve essere diverso da b, altrimenti andrei verso una forma indeterminata 0/0.
Ha ragione Supermagoalex.
Prima di dividere entrambe i membri per la stessa quantità, devo assicurarmi che essa sia diversa da zero per evitare la forma indeterminata 0/0.
In questo caso a=b=1, quindi a-b=0.
Per cui l'equazione (4) è risolvibile a patto che (a-b) sia diverso da 0, cioè che a sia diverso b.
eh mi sa anche a me che SMA ha fatto centro
La cosa che mi incuriosisce peró é che Enzo abbia scritto che dividere per (a-b), che é uguale a zero, sia uguale a moltiplicare per 1/(a-b) che dovrebbe essere infinito....curioso davvero....che bel giochino, saltano fuori tutti e due i nostri amici
uffa! con SMA (ma anche con Gaetano e Pietro) non c'è gusto. Comunque Andrea c'è andato vicino anche se ha fatto un po' di confusione...
Non ho niente da aggiungere al ragionamento perfetto di SMA
Per Andrea:
scusa ma dici la stessa cosa... dividere per zero è proprio uguale a moltiplicare per infinito! Il fatto è che 0/0 o 0 x inf sono la stessa cosa ed entrambi indeterminati.
Potrei aggiungere una considerazione: normalmente in matematica si dice che è impossibile dividere per zero. Ormai noi sappiamo che non è impossibile, ma solo che dà un risultato poco trattabile (anzi, non trattabile per una matematica "normale") dato che fa tendere a infinito. Tuttavia, in questo caso, il problema rimane anche per noi, perché, come detto giustamente da SMA e confermato da Pietro, abbiamo una forma 0/0.
Bravissimi!
OK, Premettendo che non ho controllato le vs risposte provo a dire la mia e mi raccomando non prendetevela con me se dico una sciocchezza troppo grossa magari già detta da qualcun altro e corretta da enzo:
se a e b sono uguali il risultato del binomio (a=b) è zero
Eseguire la moltiplicazione (a-b)*1/(a-b) equivale a dire 0/0 ed il risultato è quindi indeterminabile e per questo alla fine mi squadrano i conti…
perfetto Alexander! Sto creando dei ... mostri!!
Ancora un po' e sarete voi a dare lezioni a me che bello...
Si si l'ho capito che é la stessa cosa, mi é peró piaciuto parecchio il fatto che hai appositamente fatto in modo che uscissero sia lo zero che l'infinito
) per cercare di capire meglio i nostri amici che ci sono ma per noi non esistono 
(é corretto scrivere una cosa del genere?)
Devo ammettere che questo gioco che ci hai proposto, che sembra tanto banale, mi sta facendo riflettere parecchio sulla "impossibilitá" dello zero e dell'infinito.
Insomma, noi abbiamo creato una condizione per far quadrare i conti, io invece mi sto divertendo a sguazzare nell'eccezione (la trovo davvero meravigliosa
sara', questa matematica e' molto piu ricca di insidie dj come la ricordavo dai tempi della scuola!
mi sa che il mio prof non era bravo come enzo!
@ Andrea,
sono contento che ti stimolino così tanto dei numeri molto ambigui. Stai proprio entrando nella meraviglie della matematica. Dici bene, ma forse sarebbe meglio dire che ci sono, ma noi non pensiamo mai che esistano. Esistono, esistono, se non come punti come concetto fondamentale. Il nulla e l'infinito sono, in fondo, l'essenza dell'Universo...
@ Alexander,
ti ringrazio. Tra poco parleremo di Achille e della tartaruga e allora sì che ne vedremo delle belle...
Enzo, ci sono casi nella fisica in cui spuntano queste condizioni di indeterminatezza? (a me ad esempio é venuto alla mente il momento in cui si "forma" un buco nero e stavo divertendomi a cercare analogie con il giochetto di prima
)
O sto andando troppo avanti? Nel caso aspetto pazientemente mordendomi le dita per non scrivere altro
Beh... Andrea... io pensavo appunto ai casi di singolarità (Big Bang, buco nero) e tante altre leggi che portano a parametri che tendono a infinito (come il caso della catastrofe ultravioletta di cui aveva parlato Red nella MQ). A volte si riescono a risolvere fisicamente, altre volte no. Ne parleremo ancora meglio quando faremo il caso di Achille e la Tartaruga (tra un paio di articoli). Poi c'è l'idea di Universo finito e infinito: esso, in fondo, contiene infiniti punti. ma non è solo lui a farlo. Diciamo che la matematica applicata alla fisica trova solo oggetti infiniti. E' la fisica che si scontra con questo concetto e crea i problemi. La MQ insegna... Di per sé la matematica non ha problemi a trattare con zero ZERO e infinito INFINITO, la fisica sì...
Il caso in esame, è uno dei tanti. Ci porta di fronte a un caso che la matematica sa risolvere. probabilmente, se applicato alla fisica darebbe luogo ad apparenti assurdità. Dai... aspetta Achille e ti divertirai molto di più...
Ciao Enzo,
scusa la mia ignoranza ma non riesco a capire come avete fatto a ricavare il risultato dell'equazione (a + b)∙(a – b) = b (a – b), mi potresti spiegare tutti i vari passaggi per cortesia?
Giorgia
spero di aver capito bene cosa vuoi sapere... se no dimmelo!
fin qui dovresti esserci:
a2 – b2 = ab – b2
a questo punto bisogna solo ricordarsi un prodotto notevole, ossia
(a + b)∙(a – b) = a2 – b2
per vedere se è giusto basta che fai la moltiplicazione e troverai il risultato
al posto del lato di sinistra possiamo allora scrivere
(a + b)∙(a – b)
Nel lato destra, invece, possiamo mettere in evidenza b e quindi diventa b( a -b)
mettendo il lato sinistro uguale a quello destro hai proprio l'equazione che cerchi...
Ma ... ho ridetto quanto avevo scritto nell'articolo...
Cosa c'è che veramente non capisci? il prodotto notevole o la messa in evidenza? O cosa altro?
Scusa Enzo,
non avevo capito che l'equazione da risolvere era quella scritta in grassetto, ho pensato che ab-b2=b(a-b) fosse la risoluzione di (a+b)(a-b)=a2-b2 e quindi non capivo come si arrivasse a tale risultato. (Spero di essermi spiegata)
I passaggi sono logici, ok, ma ho ancora un dubbio, da dove arriva questo prodotto notevole, è una regola matematica?
E come faccio a sapere quando deve essere usata?
Perdonami ma forse risento un po' delle ore di sonno perse per osservare la cometa...
Grazie
Giorgia
cara Giorgia,
hai messo il dito su qualcosa che finora non avevo affrontato: i prodotti notevoli. Tuttavia, hai ragione. Anche perché nel seguito della "nostra" matematica avremo bisogno di usarli...
Intanto ti dimostro questo, poi farò un articolo apposta :
(a+b)(a-b) è un prodotto tra due binomi (binomio= espressione formata da due termini, in questo caso a e b). Il prodotto si esegue moltiplicando il termine del primo binomio per i due termini del secondo binomio e aggiungere poi il prodotto del secondo termine del primo binomio per i termini del secondo binomio (mantenendo il segno della moltiplicazione, ossia più per meno uguale meno e meno per meno uguale più), ossia, più facilmente:
(a+b)(a-b) = aa + ab -ba -bb = a**2 - b**2 , dato che ab si semplifica con -ab.
Famoso è anche il quadrato di un binomio:
(a+b)**2 = (a+b)(a+b) = a**2 + 2ab + b**2
grazie per avermi ricordato questa parte dell'aritmetica... Sempre meglio tornarci sopra...
Ciao ragazzi.
Ho un dubbio.
Allora... a=b ===> a+b=b l'errore dove è? se noi accettiamo che a-b sia diverso da 0 come si risolve?
Ciao ragazzi!
Andrea
scusa Andrea...
se a fosse diverso da b non varrebbe la relazione iniziale a=b...
Ciao enzo.
Mi ero "accartocciato" su un ragionamento contorto e fallace.
La famosa arte del complicarsi la vita!
Un saluto.
Andrea
Vi siete concentrati tutti (a-b)=0 quando gli errori partono già dall'inizio. Se a=b=1 ,a×a=1 non 2 la potenza di uno e sempre uno quindi come si è arrivato a 2=2
Sabina, non trovo axb=2.
2=2 è un esempio a se stante.
Scusa Sabina, 2=2 è solo un esempio numerico usato per dimostrare che in un'equazione se moltiplichi, dividi, sottrai o sommi lo stesso numero ad entrambi i membri (ossia a destra e a sinistra del segno uguale), il risultato non cambia, e come dice Enzo:
2 =2
2 x5 = 2 x5
Come vedi l'eguaglianza rimane valida.
Gli esempi numerici che Enzo ha inserito servono solo a dimostrare che i passaggi fatti con l'equazione composta da lettere, ossia a e b, sono corretti.
All'inizio del tuo post inviti a riflettere sul fatto che (a-b)=0 e non sai quanto hai ragione....
Non voglio però toglierti il gusto di trovare dove sta l'inghippo...
Enzo, con lo stesso ragionamento potrei tranquillamente affermare che 3+3=3 (a=b=3) o 6+6=6, ma sarà davvero così...
Paolo
Uguaglianze :
http://www.sassettiperuzzi.it/fileallegati/Dispense/Matematica/157_3Algebralineare.pdf
A dir il vero in italiano uguaglianza ed eguaglianza sono sinonimi.... quindi proprio non comprendo il diavoletto...
Vabbè, comunque se non ci credi visto che ami così tanto i link esterni
:
http://www.treccani.it/enciclopedia/uguaglianza/
http://dizionari.corriere.it/dizionario_sinonimi_contrari/U/uguaglianza.shtml?refresh_ce-cp
http://www.grandidizionari.it/Dizionario_Italiano/parola/u/uguaglianza.aspx?query=uguaglianza
Paolo
Paolo hai canato!!! Il diavoletto non era certamente per il vocabolo usato.
I link esterni servono laddove le spiegazioni interne lascino qualcuno piuttosto interdetto, naturalmente a mio modesto parere.
Comunque grazie lo stesso per i link andarsi a rileggere i vocabolari non è mai un male.
ll più virtuoso del blog è colui che più mette in pratica l'etica del nostro circolo...
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/presentazione/presentazione-etica/
raga non sono una cima in matematica,
ma se si divide primo e secondo membro per una stessa quantità al fine di semplificare, non bisogna curarsi che questa quantità sia diversa da zero?
se è vero ciò che dico allora a - b deve essere diverso da zero ovvero a diverso da b, ma siccome nell'esercizio a è uguale b, la semplificazione può avvenire lo stesso?
non posso dividere primo e secondo membro per zero, è impossibile
non mi ero accorto che c'era un'altra pagina di commenti e che la soluzione era stata trovata
È sbagliato! È un interessante quesito fatto anche alle facoltà matematiche,l'errore sta nel passaggio in cui dividi entrambi i membri per (a-b) poiché dividi per zero il che è impossibile
Secondo me invece 1+1 da come risultato non 2 o 1 o 0, bensì "infinito" ed il perché a mio modo di vedere è il seguente: se noi dividiamo 1 a metà otterremo 0,5 + 0,5 giusto? Ora, volendo riscrivere l'equazione 1+ 1 = 2 potremmo anche riscriverla così: 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 = 2. E così all'infinito perché anche il numero 0.5 potrà essere a sua volta diviso in infinite parti, ma allora da ciò possiamo dedurne che 1 + 1 non sono due grandezze finite se possono esser divise all'infinito e allora due grandezze divisibili all'infinito non possono certamente, sommate, dare come risultato un numero finito, bensì avremo una grandezza infinita. E' un pò uno dei paradossi di Zenone, non so se sono stato chiaro. da ciò poi arriverei tranquillamente a spiegare che in realtà il tempo e lo spazio non esistono, ma questa è un'altra storia...
Sfrutto un aggancio casuale; avendo in mano le serie potevamo trattare il paradosso di Zenone..una somma di infiniti termini che dà una somma finita anche se centra poco con questo commento ma rimane una cosa molto affascinante
caro Massimiliano... non confondere infinito con infinitesimo.
Se leggi l'inizio della matematica (in approfondimenti) vedrai che le cose si chiariscono meglio.
Infinito è un numero tale che qualsiasi numero grande a piacere tu possa considerare è sempre minore di infinito. Infinitesimo è un numero che per piccolo tu prenda rimane sempre maggiore di zero. Sono proprio gli infinitesimi che ci permettono il calcolo delle derivate quando sono fatti tendere a zero.
In entrambi i casi tu puoi prendere infiniti numeri ma il risultato è diverso. Dividendo uno in infiniti infinitesimi e sommandoli non trovi infinito, ma il numero uno.
Beh, sì Umberto... in fondo quella di Zenone è una serie che tende a un numero finito. Infinite quantità infinitesime portano a un numero che può essere benissimo finito. Pensa anche gli asintoti...
Come al solito mi son spiegato male..intendevo dire che con quello che abbiamo fatto con le serie potremmo spiegare con calcoli il paradosso..
Sì, caro Umberto, avevo capito che avevi capito
Ho approfittato per ripetere il concetto di infinitesimo per Massimiliano. Abbi pazienza... Il paradossi di Zenone si risolve con un semplice limite di funzione o anche con l'intersezione tra due funzioni... perfettamente d'accordo!
cari amici,
come al solito basta poco per darmi uno spunto che possa essere interessante per molti. Umberto ci riesce spesso e volentieri. Quasi quasi scrivo un articoletto sulla soluzione del paradosso di Zenone...
cari tutti,
seguendo lo spunto di Umberto e cercando di eliminare i dubbi di Massimiliano sulla somma di infinitesimi (che non dà infinito se si aggiungono infinitesimi sempre più piccoli), sto per pubblicare (stasera o quasi sicuramente domattina) un nuovo articolo su Zenone e il suo paradosso...
E poi dicono che uno si riposa alla domenica....
Grazie per la spiegazione
, io sono abbastanza ignorante in matematica 
, anche se resto convinto (filosoficamente s'intende) che qualunque grandezza che possiamo immaginare non è mai "finita"...ma tanto per riagganciarci anche al paradosso di Zenone, potete davvero risolverlo matematicamente?
Allora chiedo venia per averti fatto pensare...
Buongiorno.
La informo che la sua dimostrazione è completamente erronea e fallace.
Lei parte dall’assunto che a = b (ipotesi) cercando di dimostrare che b=a+b (tesi) estendendo il ragionamento all’uguaglianza 1 = 1 + 1, il che, come Logica suggerisce, è completamente assurdo.
lei ha commesso un grave errore allorquando ha eseguito una semplificazione a partire dalla seguente uguaglianza:
(a+b)•(a-b)= b•(a-b)
dividendo entrambi i membri per il binomio (a-b), dimenticandosi (errore grave) la sussistnza di una condizione necessaria per poter svolgere tale operazione, ossia imporre (a-b)#0 [si legga #0 come “diverso da zero”);
da cui: a#b [“a diverso da b]
il che contraddice completamente la sua tesi e inficiando completamente il suo ragionamento!
Saluti
Caro Olivero,
penso che tu stia scherzando (o, almeno lo spero...). Hai letto tutti i commenti? La soluzione del paradosso era talmente ovvia che non c'è stato bisogno di scriverla esplicitamente... In questo
Circolo ci piace molto fare quiz, sia facili che difficili... La matematica e la fisica possono essere molto allegre e divertenti...
Ah, ok.
ho notato il link come commento a una discussione di facebook, preso sul serio da un utente, che lo porta come prova alla sua tesi per cui 2+2 non è detto faccia 4.
i commenti non li avevo letti.
meglio così
PS
Pubblicamente, mi scuso
figurati Olivero... cose che capitano nel web di oggi. Noi cerchiamo di divertirci facendo scienza vera, aperta a tutti (vedi negli approfondimenti...): si va dalle basi della matematica a quella superiore, dalla fisica classica a quella relativistica e alla meccanica quantistica. Si parla anche di arte e di poesia... insomma un Circolo che cerca di far pensare ancora le persone con la propria testa. Nessuno sponsor, nessuna iscrizione... nessun marchingegno per fare crescere il numero. Quelli che arrivano qui sono di quelli buoni e -a volte- anche ottimi!!!
Si lavora solo per la divulgazione più utile possibile...e a tutti i livelli...
Fatti un giro e - magari resterai con noi...