Questo articolo è, in realtà, un piccolo libro o manuale che dir si voglia. Cerca di sintetizzare l’algebra che può essere più utile per affrontare i problemi dell’analisi matematica, ossia studio di funzioni, limiti e derivate. Probabilmente ho dimenticato qualcosa. Tocca a voi farmelo presente e incitarmi a spiegare meglio certe parti. E’ difficile distinguere ciò che è ovvio per tutti da quello che, invece, non lo è. Non pretendete, però, che descriva tutta l’algebra. Ci vorrebbe davvero un libro… non esageriamo!

In questo lungo articolo facciamo un breve riassunto dell’algebra. Mamma mia, che pretese che ho! No, sarebbe impossibile. Ne prendiamo solo alcune parti, quelle che ci saranno più utili per lo studio delle funzioni e per sapere lavorare bene con limiti e derivate.

Prima di cominciare, facciamo un giochino di prestigio:

1)      Pensate un numero

2)      Moltiplicatelo per 3

3)      Aggiungete 4 al risultato

4)      Aggiungete, ancora, il numero che avete pensato all’inizio

5)      Dividete il risultato per 4

6)      Togliete il numero che avete pensato all’inizio

Potete pensare il numero che volete, ma io so benissimo il risultato!

Esso vale 1

Questo semplice “scioglilingua” aritmetico vuol solo dimostrare che l’uso delle lettere nelle espressioni aritmetiche permette di scrivere il numero 1, ad esempio, in moltissimi modi, senza bisogno di sapere a priori che numero avete pensato… Proviamo a chiamare n il vostro numero, indipendentemente da ciò che avete pensato, e svolgiamo le operazioni richieste:

1)      n

2)      3 n

3)      3 n + 4

4)      3 n + 4 + n = 4 n + 4

5)      (4n + 4)/ 4 = n + 1/1 = n + 1   (ho solo semplificato il 4 sopra e sotto)

6)      n + 1 – n = 1

Come volevasi dimostrare! Potete provare a fare altri giochetti simili, sfruttando espressioni numeriche e farete la figura di grandi prestigiatori….

Insomma, imparare a lavorare con le espressioni letterali è veramente molto importante.

Facciamo una breve carrellata sulle espressioni letterali più utili e sulle operazioni che si possono compiere velocemente su di esse. Ci saranno necessarie per lo studio delle funzioni e per le derivate!

Monomio

I monomi sono espressioni formate da un numero, da lettere che siano moltiplicate o divise tra loro (non sottratte o sommate) e da un segno.

Le lettere possono essere qualsiasi. Comunemente le variabili sono indicate con x,y,z, mentre le costanti con altre lettere.

Un tipico monomio può essere:

-3a   

Dove - è il segno (che può anche essere +, ovviamente), 3 è il numero (che può essere qualsiasi, più piccolo o più grande di zero), a,b,c,.. sono lettere che possono diventare (se necessario) valori numerici qualsiasi. Un esempio:

-3ab

o anche

2abc³

Infatti, la potenza di un numero (o una lettera)  non è altro che un numero moltiplicato per se stesso tante volte quanto dice l’esponente. L’espressione di prima può anche scriversi:

2 abccc

E quindi è proprio un monomio. Non vi è, infatti, un limite alle lettere che possono comparire all’interno di un monomio.

Così come lo è:

3ab⁵/c²

Mi raccomando in un monomio non deve comparire la somma e la differenza.

Grado di un monomio

E’ il numero totale di lettere che compaiono nel monomio

Ad esempio:

2abc

Il grado è 3, dato che ci sono 3 lettere.

2a⁴b²c

Il grado è 7. Inquanto ci sono 4 a (a elevato a quattro vuol dire moltiplicare a quattro volte per se stessa), 2 b e una sola c. Totale 7. Ogni lettera ha, pero, il suo grado (4 per a, 2 per b e 1 per c.)

Attenzione: non confondiamo 4a con a⁴! Nel primo caso il grado di a è uguale a uno, nel secondo caso è 4. 4a vuole dire sommare 4 volte a, a⁴ vuole dire moltiplicare 4 volte a per se stesso.

Più importante, per noi, è il grado di una singola lettera, dato che avremo solitamente a che fare con monomi contenenti una sola lettera.  In questo caso, quindi, il grado del monomio coincide con il grado della lettera. Non solo. Il grado della lettera non è altro che l’esponente della potenza a cui è elevato. Ad esempio:

5x³

Il grado di x è 3, uguale al grado dell’intero monomio (non ci sono altre lettere).

Rinfreschiamo, adesso, alcune proprietà delle potenze.

Prodotto di potenze con la stessa base

Ricordiamo, se ancora ce ne fosse bisogno, che data una potenza x^a, x prende il nome di base e a di esponente.

x⁵   = x x x x x   ( moltiplico x per se stesso 5 volte)

x⁴   = x x x x   (moltiplico x per se stesso 4 volte)

x⁵ ∙ x⁴ = x x x x x ∙ x x x x    (moltiplico x per stesso 5 volte e poi lo moltiplico ancora per x moltiplicato per se stesso  4 volte)

In conclusione, ho moltiplicato x per se stesso 9 = 5 + 4 volte e quindi si può scrivere:

x⁵ x⁴ = x⁽⁵⁺⁴⁾  = x⁹

Con le lettere (in modo più generale):

x^a x^b = x^(a+b)   …. (1)

Il prodotto di potenze che hanno la stessa base è uguale a una potenza che ha per base  la stessa base e per esponente la somma degli esponenti

E’ importante l’applicazione dell’uguaglianza (1) in entrambe le direzioni, Soprattutto nella direzione da destra a sinistra. Può, infatti servire per mettere in evidenza qualcosa. Se, ad esempio, mi interessa estrarre dal monomio di destra solo una parte posso scrivere:

x⁸ = x² x⁶

Non si cambia, ovviamente, il grado del monomio, ma serve molto nelle semplificazioni… tenetelo bene a mente.

Divisione di potenze con la stessa base

Questo caso ricade, immediatamente, in quello precedente, dato che si può scrivere:

x^a/x^b = x^a x^-b e quindi:

x^a/x^b = x^(a-b)

Lo spiego meglio…

x^a/x^b =  x^a x ^–b/ x^b x^-b

Ho soltanto moltiplicato sopra e sotto per uno stesso monomio (x^-b). Il risultato non cambia. Tuttavia, adesso, posso applicare la regola del prodotto delle potenze sia al numeratore che al denominatore. Ottengo:

x^a/x^b = x ^{(a + (-b))}/ x^{(b +(-b))} = x^(a-b)/x^(b-b) = x^(a-b)/x⁰ = x^(a-b)

ricordando che qualsiasi numero (diverso da zero) elevato a zero vale 1.

In poche parole, possiamo facilmente ricordare che scrivere una potenza al denominatore è uguale a scrivere la stessa potenza al numeratore cambiando di segno all’esponente (e viceversa).

Ossia:

1/x^a = x^-a    e viceversa

Concludiamo dicendo:

La divisione di due potenze con la stessa base è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti

Potenza di un prodotto

Il monomio è per sua definizione un prodotto (o una divisione) di numeri e lettere. Potremmo avere questa situazione:

(a b)³

E’ intuitivo poter scrivere (basta moltiplicare (a b) per se stesso tre volte):

(a b)³ = a³ b³

La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze.

Stessa cosa capita per la divisione:

(a/b)³ = a³/b³

Potenza di potenza

Il monomio sia, ad esempio:

(x⁴)³

Cosa vuol dire, a parole? Esegui una potenza di x (in questo caso l’elevazione è all’esponente  4) e poi eleva il risultato finale all’esponente 3. In pratica:

(x x x x)³

Ma elevare (x x x x) a 3 vuol dire moltiplicare la parentesi rotonda per se stessa tre volte, ossia:

(x x x x) (x x x x) (x x x x) = x x x x x x x x x x x x = x¹²

Quindi risulta:

(x⁴)³ = x^4∙3 = x¹²

In generale

(x^a)^b = x^a∙b

La potenza di una potenza di una certa base è ancora una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti

Prodotto e divisione di monomi

E’ possibile moltiplicare due monomi? Certamente sì. Anzi, non ha nemmeno senso dirlo… in quanto un monomio è già di per sé una moltiplicazione (o divisione) di numeri e lettere (e segno). Ne segue che moltiplicarlo per un altro monomio vuol solo dire cambiare aspetto esteriore  a un monomio che è già tale per definizione.

Ad esempio:

3ab³ ∙ c²d = 3ab³c²d

non è cambiato assolutamente niente. il prodotto dei due  monomi è ancora un monomio, anzi lo stesso monomio di partenza.

Tuttavia, può darsi che i due monomi da moltiplicare tra loro abbiano alcune lettere uguali e numeri e/o segni diversi. Ad esempio:

- (2a²b⁴)∙3 ab³c

Conviene “compattare” l’espressione (che, ricordo è già un monomio). Basta moltiplicare tra loro i segni, i numeri e le parti letterarie con la stessa lettera, ossia:

- ∙ +  =  -

2 ∙ 3  = 6

a² ∙ a  = a³    ( questo lo sappiamo fare perché è un prodotto di potenze con la stessa base e quindi basta sommare gli esponenti, 1 + 2 = 3)

b⁴ ∙b³ = b⁷

c⁰∙ c  =  1 ∙ c  = c   ( non essendoci c nel primo monomio posso sempre pensare che, in realtà, vi sia, ma con esponente 0. Tutti i numeri (diversi da zero) elevati a zero danno come risultato 1).

Mettendo tutto assieme, otteniamo:

- (2a²b⁴) ∙ 3 ab³c = - 6 a³b⁷c

Che, in fondo, è lo stesso monomio di partenza, solo più compatto.

Attenzione: si può anche fare il contrario, ossia partire da un monomio compatto e spezzarlo nel prodotto di due o più monomi, a seconda di quello che si voglia fare all’espressione matematica. Basta partire dal fondo e tornare all’inizio…

Praticamente, capita la stessa cosa per la divisione, ma essa riveste un particolare interesse perché spesso porta a “semplificazioni”. Un esempio:

- 4 a³b⁶c²/ 2a²b⁴c²         (anche questo è un monomio perché le lettere al denominatore possono essere pensate come lettere al numeratore con l’esponente cambiato di segno).

-/+ = -

4/2 = 2

a³/a² = a^(3-2) = a        (ricordate la divisione di potenze con la stessa base…)

b⁶/b⁴ = b^(6-4) = b²

c²/c² = c^(2-2) = c⁰ = 1

Il risultato è, quindi:

4 a³b⁶c²/ 2a²b⁴c² = - 2ab²

Sembra un lavoraccio, lungo e noioso. In realtà, è un’operazione rapidissima che si fa “a occhio”. La divisione, poi, non è altro che la semplificazione normale tra numeratore e denominatore, dove  si cancellano i termini uguali e si abbassa l’esponente di ciascuna lettera (quando possibile).

Binomi e polinomi

Avrete notato che abbiamo introdotto subito il prodotto e la divisione di monomi, tralasciando le operazioni più semplici come la somma e la sottrazione. Beh… un motivo c’è. Nel caso del prodotto (divisione) si partiva in effetti da un monomio e si finiva con un monomio. Era solo l’estetica che poteva cambiare. Se, invece si sommano o si sottraggono due monomi il risultato è normalmente un … binomio. Ossia, un’espressione formata effettivamente da due monomi legati tra loro da un segno più o meno.

Si potrebbe andare avanti quanto si vuole, aggiungendo e togliendo monomi a piacere. Al posto dei binomi avremmo dei trinomi e via dicendo, ossia scriveremmo dei polinomi. Con i polinomi si possono fare operazioni anche molto complicate, ma a noi, probabilmente, non interesseranno più di tanto e possiamo tralasciarli. Al limite, se proprio ce ne fosse bisogno, li andremo a recuperare. Molto più importante è dedicarci ai binomi e -al limite- ai trinomi.

Un binomio ha una forma del tipo:

2a³b² + 5cd⁴

Beh… in questo caso ci sarebbe poco da fare: ce lo dovremmo portare dietro così com’è. I due monomi non hanno niente in comune e non c’è nessuna operazione che si può eseguire per “compattare” l’espressione.

Prendiamo invece un binomio di altro tipo:

3a³b² + 6a²b³

In questo caso la parte letteraria e quella numerica dei due monomi  hanno molto in comune. Se non altro, entrambi i monomi contengono sia a che b e, inoltre, i numeri sono uno multiplo dell’altro (6 rispetto a 3).

Prima di andare avanti impariamo, però,  a fare il

Prodotto (o divisione) di un binomio per un monomio.

Niente di più facile.

Prendiamo il binomio di prima e scriviamo:

(3a³b² + 6a²b³) ∙ bc

La moltiplicazione è immediata: basta moltiplicare ogni membro del binomio per il nuovo monomio, ossia:

(3a³b² + 6a²b³) ∙ bc = 3a³b²bc + 6a²b³bc   …. (2)

Notate quanto è importante la parentesi. Essa ci dice che cosa va moltiplicato per il monomio. Se non la mettevo, avrei moltiplicato solo il secondo membro del binomio per il nuovo monomio…

A questo punto abbiamo due monomi che possiamo facilmente “compattare” come abbiamo imparato a fare precedentemente e ottenere infine:

3a³b²bc + 6a²b³bc = 3a³b³c + 6a²b⁴c

Per la divisione, le cose funzionano in modo equivalente. Ogni membro del binomio va diviso per il nuovo monomio.

Ad esempio:

(3a³b² + 6a²b³)/bc

Risulta:

(3a³b² + 6a²b³)/bc = 3a³b²/bc + 6a²b³/bc

A questo punto possiamo semplificare la divisione di monomi come già imparato precedentemente:

3a³b²/bc + 6a²b³/bc = 3a³b/c + 6a²b²/c

Torniamo, allora, al nostro binomio di prima e cerchiamo di scomporlo in modo che ci torni utile. Lo scopo è quello di mettere in evidenza ciò che ha in comune.

Evidenziare la parte in comune di un binomio (o polinomio)

3a³b² + 6a²b³    …. (3)

Proviamo a eseguire un’operazione che ormai conosciamo bene, ma applicata al contrario.

Ricordate che abbiamo detto che moltiplicare due potenze con la stessa base voleva dire ottenere una potenza con la stessa base e come esponente la somma degli esponenti? Beh, possiamo fare il contrario della, ossia partire da una potenza e separarla nel prodotto di due potenze con esponenti minori. In parole matematiche:

b⁵ = b⁽³⁺²⁾ = b³b²

Potevamo però anche scrivere:

b⁵ = b⁽⁴⁺¹⁾ = b⁴b

Come scegliere la separazione migliore? Beh… basta guardare l’altro monomio… Se esso contiene la stessa lettera con un esponente minore si prenderà proprio quello come indicazione per la separazione del secondo… (o viceversa, poco importa quale sia il monomio con il grado più alto). Facciamo un esempio con il binomio scritto poco fa:

3a³b² + 6a²b³

Consideriamo per prima la lettera a. Nel primo monomio è alla terza potenza, nel secondo alla seconda. Beh… l’esponente minore è 2 e quindi scriveremo:

3a³b² + 6a²b³ = 3a²a¹b²+ 6a²b³

E’ cambiato ben poco? Avete ragione, ma notate che adesso ho a² in entrambi i monomi… Andiamo avanti e occupiamoci della b.

Qui i monomi s’invertono: è il secondo che ha la b con l’esponente maggiore e allora agiamo su di lui come fatto precedentemente, ossia:

3a²ab²+ 6a²b³ = 3a²ab² + 6a²b²b

Posso fare altro? Direi di sì… i due numeri sono legati tra loro. In particolare il secondo, 6, è proprio il primo, 3, moltiplicato per 2. Scomponiamo anche lui…

3a²ab² + 6a²b²b = 3a²ab²  + 3∙2a²b²b

Potrei concludere velocemente il mio gioco di prestigio. Ma, almeno la prima volta, facciamo tutti i passaggi per capire bene le operazioni. Poi si agirà ben più rapidamente.

Non è difficile notare che i due monomi hanno una parte in comune tra loro (l’abbiamo, in realtà messa in evidenza proprio noi con in giochini di prima). Essa è:

3a²b²

Divertiamoci allora a moltiplicare e a dividere tutto il binomio di partenza per questo particolare monomio. Ricordiamoci che moltiplicare e dividere  qualcosa per la stessa espressione vuol dire moltiplicare per1. Inaltre parole si lascia tutto invariato. Abbiamo:

(3a²b²/3a²b²) (3a²ab²  + 3∙2a²b²b)

Sì, avete ragione… sto complicando qualcosa che era decisamente più semplice. Calma, calma, non disperate… Scriviamo la nostra espressione in questo modo:

3a²b² (3a²ab²  + 3∙2a²b²b)/3a²b²

Non abbiamo fatto niente di strano… ho solo spostato il divisore per comodità visiva, ma tutto è rimasto identico a prima.

Tuttavia, adesso, posso dividere il binomio dentro alla parentesi per un monomio. Questo abbiamo imparato a farlo poche righe fa. Basta dividere ciascun membro del binomio per il monomio. Abbiamo allora:

3a²b² (3a²ab²/3a²b²  + 3∙2a²b²b/3a²b²)

Accidenti…quante belle semplificazioni si possono fare in quelle due divisioni! Esse si riducono a

3a²b² (a+ 2b) …. (4)

Come ho fatto? Ho solo applicato la divisione di monomi, facendo le differenze tra gli esponenti e ricordando che un numero (tre) diviso per se stesso vale1. Inparole povere, ho semplificato numeratore con denominatore. Tutti i trucchetti di prima mi sono solo serviti per mettere in evidenza, tra i due membri del binomio, la parte in comune. Facendo questo era ovvio che la divisione mi avrebbe semplificato di molto l’espressione finale. Non ci credete? Provate a eseguire la moltiplicazione (4). Ogni membro del binomio va moltiplicato per il monomio che vi è davanti e alla fine otteniamo proprio il binomio di partenza (3):

3a²b² (a+ 2b) = 3a³b² + 6 a²b³

Come era ovvio aspettarsi.

Possiamo anche notare una cosa abbastanza evidente. Mettere in evidenza un monomio è esattamente l’operazione inversa rispetto alla moltiplicazione di un binomio per un monomio. La (2), insomma.

Dobbiamo sempre fare questa serie noiosa di operazioni per mettere in evidenza qualcosa? No, no, sicuramente no. Basta guardare i due membri ed estrarre la parte in comune. Una volta trovata, la scriviamo e la moltiplichiamo per ciò che resta del binomio. E’ come se portassimo fuori (in evidenza, appunto) la parte in comune. Dopo poche prove vedrete che è una cosa veramente immediata e banalissima.

Somma (differenza) di un binomio e un monomio

Anche questa sembra un’operazione priva di senso. Se sommo un monomio a un binomio ottengo ovviamente un trinomio. Tuttavia, potrebbe capitare che il monomio che si aggiunge abbia la stessa parte letterale di uno dei membri del binomio. Ciò vorrebbe dire che il trinomio è “falso”, ossia è un binomio”mascherato” da trinomio. Facciamo un esempio semplice semplice:

(4a + 3b) + 5a

Tutta scena! Innanzitutto, la parentesi non ha significato nelle somme. Posso metterla o non metterla e non cambia niente. Inoltre, è immediato vedere che il primo e l’ultimo monomio hanno la stessa parte letterale. Sommare 4a a 5a è come dire sommare quattro mele ad altre cinque mele. Il risultato è nove mele. Se la parte letterale dei due monomi è la stessa basta sommare tra loro le parti numeriche e portarsi dietro la parte letterale comune. Insomma, l’espressione di prima diventa:

9a + 3b

L’abbiamo fregato! Pensava di essere un trinomio e invece non era che un binomio.

Analogamente per la sottrazione.

(4a + 3b) – 5a = (4-5)a + 3b = -a + 3b

Beh… l’ho resa un po’ più difficile ricordando che il segno (+ o -) è qualcosa che si deve sempre tenere a mente…

Questa semplicissima operazione può sempre diventare utile quando si hanno lunghissimi polinomi e si cerca di semplificarli il più possibile. Cercando tra i vari termini si possono sempre trovare monomi con la stessa parte letterale e metterli assieme, riducendo la lunghezza “apparente” del polinomio.

Non voglio insistere troppo, ma riflettete sulle due ultime operazioni: mettendo in evidenza in modo acconcio, si può spesso creare due binomi che siano uguali tra loro come parte letterale e quindi poterli accorpare attraverso la loro somma o differenza. Ma è inutile continuare. Ci sarebbe da scrivere un libro... e , infatti, scriveremmo proprio un libro di algebra. Non esageriamo e cerchiamo di fare nostre solo le parti che ci potranno venire utili dello studio dell’analisi matematica (qualche gradino in più…). Se avremo bisogno di qualche altro gioco algebrico ne parleremo al momento giusto.

Prodotto di due binomi

Qui le cose si fanno proprio interessanti perché ci portano al nocciolo di tutta questa lunga tiritera di parole: i prodotti notevoli.

Non è difficile imparare a fare un prodotto di due binomi, dato che sappiamo già come si fa a fare il prodotto di un binomio per un monomio. In fondo un binomio è la somma di due monomi e, quindi, basta moltiplicare il primo membro del per primo binomio per il secondo binomio e poi fare lo stesso con il secondo membro del primo binomio. Ci siamo ridotti a fare due prodotti tra un monomio e un binomio, cosa già risaputa.

Meglio fare un esempio (ormai conosciamo bene i binomi e i monomi, per cui possiamo anche prenderli molto semplici…):

(a – 2b) (c + d²)

Eseguiamo quanto detto a parole:

(a – 2b) (c + d²) = a(c + d²) – 2b(c + d²)

Adesso basta moltiplicare monomi per binomi…

a(c + d²) – 2b(c + d²) = ac + ad² – 2bc -2bd²

Non posso fare altro e ho ottenuto un quadrinomio (ossia un polinomio con quattro monomi). Potevo anche tenermi il prodotto di partenza… non ho certo semplificato le cose. Tuttavia, normalmente si agisce al contrario. Ossia si parte con un quadrinomio e si compatta come prodotto di binomi. Come fare? Semplicissimo, basta ricordare l’operazione di mettere in evidenza.

Prendiamo il quadrinomio finale e studiamolo da vicino.

Il primo e il secondo monomio hanno una lettera in comune. Bene sappiamo come fare a metterla in evidenza:

ac + ad² - 2bc -2bd² =  a(c + d²) - 2bc -2bd²

Non ci sfugge, però, che anche gli altri due monomi hanno qualcosa in comune, la parte -2b. Scriviamo allora:

a(c + d²) - 2bc -2bd² = a(c + d²) - 2b(c + d²)

Cosa possiamo notare facilmente? Beh… i due prodotti tra un monomio e un binomio hanno in comune proprio il binomio! Possiamo pensarlo come una quantità unica Z  ( Z = (c + d²)) e scrivere l’espressione precedente come:

aZ - 2bZ

Sappiamo però benissimo mettere in evidenza la Z e l’espressione diventa:

(a - 2b) Z

Sostituiamo a Z la sua vera espressione e otteniamo:

(a – 2b) (c + d²)

Proprio il prodotto di binomi da cui eravamo partiti!

Giochi simili e altrettanto divertenti si possono ottenere dividendo i binomi. Fate tutte le prove che volete.

Cosa abbiamo imparato? Nell’algebra ogni operazione ha un suo interesse sia se svolta in un verso sia nell’altro. A volte conviene moltiplicare qualcosa, a volta conviene mettere in evidenza. Due operazioni che sono, in qualche modo, l’una l’inversa dell’altra.

Prodotti notevoli

Finalmente ci siamo arrivati. Era ora…

Il primo e, forse, più importante è il quadrato di un binomio. Cosa vuol dire in pratica? Prendere un binomio ed elevarlo al quadrato. “Una sciocchezza”, direte voi e avreste ragione. Il quadrato di qualcosa non è altro che quel qualcosa moltiplicato per se stesso. In parole matematiche (usiamo monomi semplicissimi, ormai è inutile complicarci la vita… lo faremo quando è proprio necessario):

(a + b)² = (a + b) (a + b)

Ormai sappiamo benissimo come moltiplicare due binomi. L’abbiamo appena spiegato. Avremo:

(a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a² + ab + ba + b²

Fermi tutti. Questo sembra un quadrinomio, ma è un “falso”. Infatti il secondo e il terzo monomio sono esattamente la stessa cosa, dato che ab o ba è lo stesso monomio. Li posso sommare tranquillamente, ricordando che 1 + 1 = 2. Posso allora scrivere:

(a + b)² = a2 + 2ab + b2  …. (5)

Questa formuletta è bene impararla  a memoria… è inutile compiere tutte le volte la stessa moltiplicazione. In generale, essa dice:

il quadrato di un binomio è uguale alla somma dei quadrati dei due membri  più due volte il prodotto dei due membri.

La definizione è valida per qualsiasi binomio, anche se formato da monomi molto complicati. La regola è sempre la stessa, anche se il segno + diventa -.

Proviamo…

(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ba + b² = a2 - 2ab + b2  …. (6)

 

La regola di prima resta invariata, tenendo però presente che la somma di due numeri negativi è ancora un numero negativo. Al limite potremmo riscriverla così:

il quadrato di un binomio (che è una differenza di monomi) è uguale alla somma dei quadrati dei due membri  meno due volte il prodotto dei due membri.

Mettiamola come vogliamo, ma le cose non cambiano…

Anche qui ricordiamoci che possiamo utilizzare la (5) o la (6) in senso inverso, come al solito. Se troviamo una scrittura come il  trinomio finale possiamo scriverlo come il quadrato di un binomio. Ancora una volta, dipende dai casi…

Somma di monomi moltiplicata per la loro differenza

Cosa vuol dire il titolo? Semplicemente questo:

(a + b) (a – b)

In altre parole vogliamo moltiplicare un binomio, che somma due monomi, con un binomio che fa la differenza tra gli stessi monomi. Notate come le parole tendano sempre a confondere ciò che la matematica esprime con estrema sintesi e semplicità?

Eseguiamo la moltiplicazione:

(a + b) (a – b) = a² - ab + ba – b²

Prima di commentare il risultato, ricordiamo ancora il prodotto tra i segni: più per più fa più; più per meno fa meno; meno per meno fa di nuovo più. Possiamo anche estendere questa regoletta a potenze di grado più alto. Se eleviamo il segno meno a un esponente dispari il risultato è il segno meno; se eleviamo il segno meno a un esponente pari il risultato è il segno più. Non ci interessa, adesso, ma in seguito sicuramente sì…

Torniamo al risultato. Beh… non è difficile notare che è di nuovo un quadrinomio “falso”. Anzi, molto di più. Se sommiamo tra loro i due monomi uguali, ma di segno diverso, otteniamo zero, dato che togliere un numero a se stesso vuol proprio dire ottenere zero. In parole matematiche + b – b = 0. Il trinomio diventa addirittura un binomio!

(a + b) (a – b) = a² – b²    …. (7)

Beh… questo è un risultato davvero importante sia se visto da sinistra verso destra che viceversa. Nel primo caso ci permette di compattare una scrittura ben più complicata.  Nel secondo caso ci permette di mettere in evidenza due binomi che potrebbero semplificarsi con altri. Non posso che consigliarvi vivamente di imparare a memoria questa relazione, che detta a parole diventa:

Il prodotto tra la somma e la differenza degli stessi monomi è uguale alla differenza dei quadrati dei monomi.

Attenzione: i monomi della somma e della differenza devono essere uguali! Non potete applicare la regoletta se cambiano i monomi tra la somma e la differenza. In quei casi dovrete svolgere la moltiplicazione con la normale regola del prodotto di binomi.

Il cubo di un binomio

Forse potevo anche evitare questo prodotto notevole. Probabilmente non lo incontreremo mai. In ogni modo non ci vuole molto a determinarlo. Si debba eseguire la seguente operazione:

(a + b)³

Andiamo avanti per gradi. Fare il cubo di un qualcosa, vuol dire moltiplicare quel qualcosa per se stesso tre volte. Avremmo, quindi:

(a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b)

Mamma mia che pasticcio. Sfruttiamo quello che già sappiamo. Ossia scriviamo la relazione precedente in modo diverso (ma del tutto analogo):

(a + b)³ = (a + b) (a + b)²

Ho scritto la stessa identica cosa. Tuttavia, adesso, sappiamo già quanto vale il quadrato di un binomio e posso già sostituire il risultato:

(a + b)³ = (a + b) (a² + 2ab + b²)

Abbiamo di fronte la moltiplicazione di un binomio per un trinomio. La regola non è diversa di quella seguita per la moltiplicazione di due binomi. Basta moltiplicare ogni membro del binomio per tutti i membri del trinomio (la stessa regola potrei estenderla per polinomi lunghissimi…).

Eseguiamo:

(a + b) (a² + 2ab + b²) = (a³ + 2a²b + ab²) + (ba² + 2ab² + b³)

Possiamo eliminare le parentesi che non servono a niente e cercare se ci sono monomi con la stessa parte letterale. In altre parole, cerchiamo di ridurre quello che sembra un polinomio con 6 monomi.

Beh… sicuramente vi è a²b. Ne abbiamo due, uno moltiplicato per due e uno moltiplicato per uno. Basta sommarli e danno 3a²b. Ma abbiamo anche ab². La stessa cosa di prima. Basta sommarli e troviamo 3ab². Non c’è altro da fare. Comunque il polinomio si è trasformato in quadrinomio: è già qualcosa.

Otteniamo, alla fine:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³     ….(8)

Evito di descriverla a parole… lo potete fare da soli. Così come siete anche sicuramente capaci di fare il cubo di (a-b). Le operazioni sui segni le sappiamo fare!

Dobbiamo imparare a memoria anche questa relazione? Boh… come volete. Si può sempre ricavare direttamente, ma non è poi difficile da memorizzare. Fate voi…

Grado di un polinomio

Avevo detto che non mi sarei occupato di polinomi e delle operazioni eseguibili tra di loro. Li vedremo, se è il caso, di volta in volta. E’ invece molto importante definire bene cosa s’intende per grado di un polinomio. Sappiamo già bene cos’è il grado di un monomio e che cos’è il grado di ogni singola lettera che compone un monomio. L’ultimo caso è quello che ci interesserà di più, dato che i nostri polinomi saranno quasi sempre formati da somme di monomi con una singola lettera. Scriviamone uno molto generico:

x⁵ + x⁴ + x³ + x     … (9)

Non è un polinomio completo, dato che manca il termine con x al quadrato e quello con x elevato a 0 (che darebbe 1). Tuttavia, non sempre si può avere tutto e poi c’importa relativamente.

Cosa intendiamo con grado di un polinomio? Facilissimo: il massimo grado dei monomi che lo compongono. Il monomio con il massimo grado è, ovviamente, x⁵. Il suo grado è 5. Bene, il polinomio ha come grado proprio 5. In pratica, se abbiamo una sola lettera, il grado del polinomio è il massimo esponente  con cui compare la lettera. Che poi la lettera sia moltiplicata per un numero intero o frazionario o quello che volete, poco importa. Il numero non cambia il grado. In altre parole, 12 x⁵ o 3.23 x⁵ o 0.23 x⁵ ha sempre grado 5.

Perché stabilire il grado di un polinomio è così fondamentale? Eccoci di nuovo al nostro caro amico infinito.

Attenzione: la parte che segue presuppone che già sappiate lavorare con i limiti. L’ho aggiunta qui perché è utile inserirla nella parte dedicata all’algebra. Potete, quindi, fare a meno di leggerla (adesso). La richiameremo quando avremo bisogno del grado di un polinomio…

∞ + ∞ + ∞ + ∞  =  ∞

Sì, sì, tutto bene… ma non poi tanto. Potremmo scrivere la relazione in modo più simbolico:

∞⁵ + ∞⁴ + ∞³ + ∞ = ?

Quel punto interrogativo potrebbe essere infinito (anzi lo è sicuramente), ma con quale grado? La somma dei gradi degli altri? No, assolutamente no, non possiamo certo sommare gli esponenti in una somma! La risposta, sempre simbolica, può essere una sola:

∞⁵ + ∞⁴ + ∞³ + ∞ = ∞⁵

In poche parole, chi comanda è il monomio con il grado più alto. Tutti gli altri possono essere anche trascurati. Se vogliamo paragonare due polinomi tra loro e vedere chi ha l’infinito con il grado più alto, basta considerare i loro due “campioni”, i più potenti, quelli con il grado più alto.

Perché tutti questi discorsi che sembrano lasciare il tempo che trovano? In fondo, sappiamo benissimo che infinito moltiplicato per se stesso o moltiplicato cento volte per se stesso è sempre infinito. Avreste ragione (l’ho proprio detto io, oltretutto). Tuttavia, posso anche dire che x elevato a 5 va all’infinito più in fretta di x elevato a 2. Attenzione, posso dirlo, dato che ho introdotto il concetto di limite! Pensateci bene. Solo lui mi racconta perfettamente come il treno viaggia sulla ferrovia e chi tra tanti treni che vogliono andare a infinito arriverà  o -meglio ancora- tenderà ad arrivarci per primo.

Provate a sostituire a x dei numeri sempre più grandi (ossia che tendono a infinito). Quelli elevati a un esponente maggiore risulteranno sempre più grandi di quelli con esponente minore . Il treno con  il grado più alto è il nostro campione, quello che sarà sempre avanti agli altri nella corsa verso infinito. Se vogliamo scegliere il nostro rappresentante per fare una gara con un treno di un’altra compagnia, sceglieremo proprio lui!

Vedremo quanto sarà importante stabilire il grado di infinito nel risolvere i casi di indeterminazione. Qualcuno potrebbe dirmi: “Io l’avevo già detto fin dall’inizio!”  Sì, avrebbe ragione, ma all’inizio di tutto non potevamo valutare la velocità di un treno in quanto non avevamo ancora introdotto il concetto di limite. Sì, lo so, vi sembra che parli a vanvera. Fermiamoci qui. Torneremo a leggere queste righe quando sarà ora. Teniamole, però, a portata di mano.

Buona fortuna e non divertitevi troppo!

Chiedo, comunque, scusa a chi, queste cose, le sa già  molto bene

Ho pubblicato questo articolone molto in fretta (per non rischiare di non farcela più). Vi saranno molti errori di battuta o cose simili. Se riesco, un po' alla volta, cercherò di correggerlo attentamente... Abbiate pazienza. Al limite, potete aiutarmi a trovarli...

 

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