L’introduzione del piano cartesiano ci ha permesso di dare un nome e cognome a ogni punto, anche se abbiamo dovuto mettere sotto il tappeto la definizione di punto, qualcosa privo di dimensioni che però ci permette di tracciare linee e rotaie. Un bel pasticcio. Ci siamo fatti anche un’idea preliminare del fatto che esistono punti molto speciali nel piano ampliato, che abbiamo chiamato punti all’infinito. Punti che malgrado stiano a distanze non calcolabili sono legati in modo molto stretto con un numeri ben più comuni, come lo zero. Ci siamo anche illusi di poter trattare infinito e zero come punti qualsiasi. Alla fine, però, ci siamo scontrati contro qualcosa di insormontabile o -quantomeno- non in grado di essere gestito attraverso le operazioni normali.

In alcuni casi abbiamo pensato di esserci riusciti, ma, in fondo, sono state vittorie di Pirro, dato che hanno messo solo una pezza su un problema ben più generale. La matematica ci impone di introdurre qualcosa di nuovo, molto più maneggevole e sicuro. Non possiamo, però, pensare di  iniziare a farne conoscenza, andando a spanne e sperando che ogni tanto si possa risolvere il problema e ogni tanto no. La matematica è proprio il contrario. Per fare amicizia con questa nuova operazione, che poi ci farà conoscere i suoi figli molto più complessi (derivate e integrali), è necessario rappresentare le linee ferroviarie in modo matematico. Per far ciò dobbiamo introdurre il concetto di funzione. La funzione è la base di tutta la matematica superiore e di tutta la fisica.

Una fabbrica che non si ferma mai

Vi sono vari modi di definire la funzione. Noi ne usiamo due, molto semplici, che ci fanno capire l’essenza più profonda.

Quando osserviamo un fenomeno fisico cerchiamo di fare sempre un’opera di collegamento tra i parametri che lo caratterizzano. In altre parole, cerchiamo di vedere se al variare di un certo parametro segue la variazione di un altro… e via dicendo. In poche parole, cerchiamo di legare tra loro le caratteristiche che descrivono la Natura attraverso relazioni univoche che ci permettano, conoscendo una certa grandezza, di ricavarne  un’altra. Un esempio banalissimo? Se sto camminando, so benissimo che più passa il tempo e più spazio percorro. Vi è uno stretto legame tra il tempo e  lo spazio. Questo legame è sempre lo stesso se la mia camminata avviene a ritmo costante. Se, invece, aumento il passo, il legame continua a esistere, ma la relazione cambia leggermente. Sappiamo molto bene, anche in modo empirico, che questo collegamento tra tempo e spazio può variare in base alla velocità del mio movimento. Più piano vado e meno spazio percorro nell’unità di tempo. Fissata la velocità, chiunque è capace di calcolare, per un certo istante di tempo, quanto spazio ha percorso, senza bisogno di misurare continuamente sia il tempo che lo spazio: ne basta uno solo. In altre parole, è stata scritta una relazione matematica che lega spazio e tempo. Questa relazione vuole dire che lo spazio percorso è funzione del tempo che passa.

I legami tra i parametri in gioco possono diventare ben più complicati. Ad esempio, sappiamo benissimo, empiricamente, che più massiccia è una stella e più alta è la sua temperatura. Ma sappiamo anche che la durata della vita di un astro dipende dalla sua massa, e via dicendo. Ognuna di queste frasi implica una relazione tra parametri fisici, a volte diretti, a volte indiretti e legati ad altri parametri: ognuno di loro diventa funzione di una o anche molte caratteristiche. La fisica viaggia così e la mente umana cerca di trovare il modo di rappresentare in modo univoco queste relazioni. La fisica, perciò, chiede aiuto alla matematica, pregandola di sintetizzare i suoi comportamenti tramite le funzioni, ossia le descrizioni, più generali possibile, dei legami che esistono tra i vari parametri in gioco. Solo così possono nascere le leggi generali e si può cercare di affrontare fenomeni sempre più complessi e ingarbugliati. Una cosa è descrivere il moto di un pianeta attorno al Sole e un’altra è scrivere la legge di Newton, da cui discendono fenomeni ben più universali!

Tuttavia, la funzione può essere anche vista in un altro modo, molto più “concreto”. Essa è una “macchina” più o meno elaborata, in grado di trasformare ciò che introduco dentro di lei e farlo uscire completamente diverso. Ogni macchina, però, sa fare solo una certa operazione, come in una catena di montaggio. Una volta si diceva che in certe fabbriche alimentari, da una porta entrava il maiale e da un'altra uscivano i salami, i prosciutti, la mortadella, il lardo, ecc., ecc. Non si buttava via niente, si trasformava soltanto.

La nostra funzione matematica fa lo stesso, come schematizzato in Fig. 16. Entra una x, la macchina f ci lavora sopra e la fa uscire come y = f(x). Le operazioni compiute possono essere semplicissime o estremamente complicate. Tuttavia, la matematica non ha problemi a risolvere (quasi) ogni trasformazione gli si chieda.

Sono concetti fondamentali, anche se all’apparenza banali e non sarà male richiamarli spesso. Non prendetevela, quindi, e non annoiatevi se certe cose le sentirete dire e ridire. Questo non è un libro di matematica, che deve limitare le pagine ed evitare inutili ripetizioni. E’ un tentativo di portare la matematica verso il divertimento e l’utilizzo fisico. Non segue schemi prefissati e ben collaudati. Vi ho già detto che si salterà di palo in frasca cercando una logica il più possibile semplice e intuitiva. Non è detto che poi, alla fine, non si decida tutti assieme di cambiare il tipo di esposizione e l’ordine dei capitoli. E’ una lavoro che cerco di fare senza vincoli e senza schemi prefissati. Vado avanti seguendo emozioni e intuizioni, sperando di mantenere un filo logico accattivante e stimolante. Tocca a voi darmi una mano a migliorarlo, se vedete salti o sbandamenti poco comprensibili.

Torniamo alle funzioni. Con le coordinate cartesiane siamo giù riusciti a determinare la distanza tra i punti del piano. Lo abbiamo fatto attraverso un segmento di linea retta, utilizzando il celebre teorema di Pitagora. Dato che per due punti passa una e una sola retta, la distanza ci permetterebbe già di scrivere in linguaggio matematico tutta la retta. E’ uno dei tanti metodi che possono usarsi. Tuttavia, è molto meglio un approccio ancora più generale. Facciamo, perciò, un piccolo passo in avanti e cerchiamo di descrivere la linea retta attraverso un semplicissimo legame -se esiste- tra l’ascissa e l’ordinata dei suoi punti.

In altre parole, chiediamoci se esiste un legame particolare tra x e y che descriva non dei punti del tutto casuali, ma solo quelli che appartengono alla retta. O, ancora meglio, cerchiamo di esprimere la retta come una y, funzione di x.  In linguaggio figurato: tentiamo di trovare una “macchina” in cui si può introdurre la x e che dia come prodotto finale la y corrispondente ai punti che appartengono a una linea retta.

E’ possibile far ciò? La risposta è sicuramente sì e questa funzione è talmente banale che sembra quasi impossibile possa essere così semplice. Prima, però, ricaviamo qualcosa che abbiamo già conosciuto.

Rette molto speciali

Consideriamo due casi particolari di rette, già ben note. Qual è la funzione matematica che descrive compiutamente una qualsiasi delle rette parallele all’asse delle x? Prendo una x e cosa voglio ottenere? Beh… voglio che la macchina-funzione mi dia l’ordinata che corrisponde a quella x in modo da percorrere tutta la retta. Una macchina, però, che non ha nessun lavoro da fare. Possiamo tenerla chiusa. Perché? Beh… è ovvio. Una retta parallela all’asse delle x è una retta che deve sempre avere, per ogni x, la stessa y. In altre parole, questa retta deve seguire una condizione facilissima e del tutto indipendente dalla x.  Essa deve solo esprimere che per qualsiasi x la y resti costante. La scrivo allora come:

y = k

Non solo non ho usato nessuna macchina, ma non ho dovuto nemmeno far comparire la x, dato che basta la y per descrivere questa retta. Se poi, il valore della costante k diventa proprio uguale a zero, non faccio altro che descrivere l’asse delle x.

Per queste rette non è difficile nemmeno definire il punto all’infinito. Se mi muovo verso x sempre più grandi la y non può cambiare e vale sempre k, un numero finito. Il loro punto all’infinito è proprio quello dell’asse x e di tutte le altre rette parallele a lui.

Attenzione: a questo punto sembra crollare la nostra visione delle rette parallele che si incontrano in un solo punto all’infinito. Non ne abbiamo più bisogno. Ogni retta parallela all’asse x, ha un suo proprio punto all’infinito, definito anch’esso da ascissa e ordinata. Gli assi cartesiani devono rimanere quelli che sono anche all’infinito e non possono stringersi “apparentemente” come le rotaie. L’approccio dei primi capitoli, utile per cercare di immaginarsi i punti all’infinito, può considerasi concluso. La matematica del piano cartesiano e delle funzioni impone un rigore matematico ben diverso.

Ripetiamo il concetto: la retta continua ad avere un suo punto all’infinito, ma esso deve essere comunque esprimibile con due coordinate (le traversine non possono diventare zero, ma devono restare uguali a k, un po’ come abbiamo fatto considerando le coordinate comoventi nell’espansione dell’Universo).

Utilizziamo perciò il simbolo ∞ proprio per quello che è: un simbolo e nient’altro, che vuol solo dire x grande a piacere. Ossia, scelto un numero M, enorme fin che si vuole, esiste sempre una x più grande di lui. Questo è il concetto di infinito che useremo d’ora in poi. Questa è l’ascissa che si deve pensare di dare ad ogni punto all’infinito delle rette parallele tra loro. La y, invece deve rimanere costante e diversa da retta a retta, se no la scrittura y = k perderebbe di significato.

Possiamo, perciò, dire che il punto all’infinito di una retta parallela all’asse x ha coordinate I(∞, k). Spero di non avervi complicato la vita. Tuttavia, se leggete bene tra le righe ho espresso con tante parole un concetto ovvio che usiamo quando tracciamo due rette parallele su un foglio. Se il foglio si allungasse in modo incredibile le x della retta tenderebbe a infinito, ma la y resterebbe sempre la stessa. Uffa che fatica! Queste cose non le dice mai nessuno, ma sono convinto che causino spesso dubbi e problemi, magari solo a livello inconscio.  Se vi ho confuso ditemelo subito e correrò ai ripari!

Fatemi definire di nuovo una retta parallela all’asse delle x: una retta che per qualsiasi valore di x, anche tendente all’infinito (rappresentabile con il simbolo ∞), mantiene un’ordinata costante. A lei possiamo associare, in modo simbolico, un punto all’infinito che ha coordinate x = ∞ e y = k. Se volessimo guardare questa rappresentazione matematica in uno spazio “apparente” (quello di tutti i giorni) potremmo anche dire che tutte queste rette “appaiono” convergere verso uno stesso punto. Niente di male, ma è matematicamente scorretto.

In modo analogo all’asse x, posso definire le rette parallele all’asse delle y. Basta cambiare x con y e dire che una retta parallela all’asse delle y è una retta i cui punti, per qualsiasi valore di y, devono avere una x costante. La funzione diventa:

x = h

Tutto il resto rimane uguale. La y tende a infinito ma la x non cambia di una virgola: h era e h rimane! Il punto all’infinito di queste rette è quindi I’(h, ∞). Nuovamente il simbolo ∞ vuol solo dire che preso un qualsiasi numero N grande a piacere posso sempre trovare una y più grande di lui, a cui corrisponde sempre un valore di x uguale a h.

Permettetemi di ritornare di nuovo sulla strana definizione di infinito che abbiamo dato nei primi capitoli e quella di adesso. Se ci pensate bene, il significato non cambia. Ciò che cambia è solo il modo di rappresentare la realtà. Nei primi capitoli avevamo usato la realtà apparente, quella delle linee parallele che tendono a convergere in un punto. Sapevamo che era una visione prospettica e non veramente misurabile. Ci era però servita a materializzare apparentemente il punto all’infinito e rendere il simbolo ∞ qualcosa di concreto. Eravamo anche riusciti a fare alcune operazioni con quel simbolo considerato qualcosa di materiale e quantificabile. Ci eravamo però accorti che l’impresa era troppo ardua. Serviva ad aprire gli occhi verso qualcosa di ambiguo e astratto, ma non poteva certo essere applicato alla matematica più rigorosa.

Conoscendolo, però, siamo stati in grado di farlo tornare simbolo e di quantificarlo in modo diverso, ossia come numero più grande di qualsiasi numero ci si possa immaginare. E’ il vecchio gioco dei due bambini che scoprono l’infinito. Vince chi dice il numero più grande. Il primo chiede all’amico: “Dimmi un numero grandissimo”. Il secondo dice: “Dieci miliardi di miliardi di miliardi di miliardi”. Il secondo con calma risponde: “Più uno”. E il gioco non ha mai fine. Basta e avanza il “più uno”. In fondo, il nostro nuovo infinito è proprio quello: dammi pure un numero qualsiasi, grande quanto vuoi, basta poi aggiungere “uno” per superarlo. Questo è l’infinito!

Mamma mia! Quante parole per descrivere le funzioni più semplici che esistano. Chissà allora per quelle più complicate… No, come ho già detto spesso, è molto più difficile spiegare le cose semplici che non quelle complicate, una volta che si è partiti con il piede giusto.

La Fig. 17 a,b riassume queste rette veramente speciali e … banali.

Una retta sola? No, ne voglio un fascio!

Non perdiamo più tempo e scriviamo immediatamente un’altra funzione, anch’essa molto semplice, ma già ben più universale. Che macchina uso? Niente di veramente speciale: essa fa entrare la x e la moltiplica per un numero m, sempre uguale. Niente di più. Una macchina f davvero banale, come mettere la stessa etichetta a infinite scatole. Il risultato, ossia la y = f(x) , non è altro che m moltiplicato per x, ossia:

y = mx           …. (1)

Essa dice: prendi qualsiasi ascissa x che vuoi, moltiplicala per una costante m e troverai la y di un punto che appartiene alla funzione. Che funzione è questa? Basta scrivere una tabellina e poi disegnare i punti trovati. Sia, ad esempio, m = 0.5

x = 0   1      2     3     …. 10

y = 0   0.5   1    1.5   ….   5

E’ inutile segnare tutti i punti trovati, ne bastano due: la funzione rappresenta una retta (e come sappiamo per due punti passa una e una sola retta). Proviamo a cambiare il numero m. Prendiamolo, per esempio, più grande e uguale a 2.

x = 0   1    2    3  …. 10

y = 0   2    4    6  …. 20

Disegniamo le due rette in Fig. 18.

Si vede subito che, nel secondo caso, mentre la x varia in modo uguale a prima, la y cresce decisamente più in fretta. Possiamo anche divertirci a scegliere m = 1. Avremmo una forma ultra-semplificata della retta:

y = x

Essa vuol dire che la y copia perfettamente quello che fa la x. O, se volete, che la macchina f non fa assolutamente niente alla x: la prende e la fa uscire tale e quale, cambiandole solo di nome.

Non vi sarà difficile capire che questa retta particolare taglia a meta il piano, ossia è inclinata di 45° rispetto agli assi. Fermi, fermi, sugli angoli torneremo molto presto!

Soffermiamoci sulla costante m (costante per una retta, ovviamente). Al suo variare vengono disegnate tutte le rette che passano per l’origine O. In parole più tecniche, la funzione (1) descrive il fascio di rette che passa per l’origine.

Come possiamo definire questa importantissima costante m? Con una semplice parola: pendenza. Più è grande m e più è grande la pendenza della retta rispetto all’asse x.

Possiamo allora ricapitolare: y = mx  è la funzione che rappresenta una qualsiasi retta che passa per l’origine; il numero m indica la pendenza della retta.

Cari amici, sembra che non si sia fatto niente e invece siamo riusciti a scrivere la prima funzione matematica e collegarla a qualcosa di veramente pratico: una retta.

Una dovuta precisazione. Stiamo lavorando con valori di m positivi, ma potevamo anche usare valori negativi. Cosa sarebbe cambiato? Ben poco: avremmo disegnato le rette che stanno nella zona con x negativo e y positivo e viceversa. In questo caso, la macchina f, infatti, oltre che a moltiplicare per m, cambia anche il segno. Tutto lì. Provate pure a fare degli esempi da soli…

Vogliamo vedere cosa succede facendo andare la x verso l’infinito? Possiamo anche usare il “vecchio” metodo e provare a usare le operazioni con il simbolo ∞. Per le rette non vi sono problemi. Sostituiamo x = ∞ nella funzione y = mx. Abbiamo:

y = m ∙ ∞

Beh… il risultato è facile e non cade tra quelli che ci avevano messo in difficoltà. Un numero qualsiasi moltiplicato per infinito deve dare infinito. Il che vuol dire che facendo tendere x verso un numero sempre più grande anche la y tende ad andare verso un numero sempre più grande, ossia:

y = m ∙ ∞ = ∞

Possiamo anche sostituire ∞ con -∞ e le cose non cambiano. Se x tende a -∞, anche y tende a -∞. Beh… vedete che, in fondo, le operazioni eseguite nei primi tre articoli sono serviti a qualcosa? Per adesso, almeno…

Due casi particolarissimi che già conosciamo molto bene. Cosa succede se considero il numero m sempre più piccolo, ossia lo faccio andare a zero? Proviamo a scrivere la funzione in questo caso:

y = 0 ∙ x = 0

Essa altro non è che l’asse delle x. D’altra parte anche lui passa per l’origine, ma ha una pendenza nulla.

Leggermente più complicato ricavare l’asse delle y. Scriviamo la funzione y = m x in modo un po’ diverso:

x = y/m

la pendenza della retta deve aumentare, ossia m deve essere sempre più grande, ossia tendere a infinito. Nessun problema:

x = y/∞ = 0  

Come avete visto, la pendenza m è un parametro molto importante che ci permette di disegnare tutte le rette del piano passanti per l’origine degli assi. Fermiamoci qui, ma non dimenticate la parola pendenza. Ci farà conoscere degli amici molto importanti, dei veri VIP della matematica.

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