Finalmente ci siamo. Non illudetevi troppo, però. Se ormai siamo in grado di risolvere tutti i casi trattati all’inizio, dobbiamo ancora aspettare perché ci mancano le funzioni in grado di produrli. Limitiamoci, quindi, ai tre casi più importanti e più comuni.

Dopo tanta fatica, sembrerebbe ora facilissimo calcolare  i limiti delle forme indeterminate che avevamo trovato all’inizio. In realtà è vero, ma non sempre. Potrei dire che l’appetito vien mangiando. Adesso che abbiamo i mezzi sufficienti ci accorgiamo che basterebbe ancora qualcosa in più per sveltire la soluzione. Facciamo un esempio. Se avessi speso una vita intera a cercare di inventare una bicicletta per andare da Roma a Milano, sarei ben contento di riuscire nell’impresa. Tuttavia, se nel frattempo mi fossi anche accorto che si stava costruendo il motore a scoppio e l’automobile, la mia soddisfazione scenderebbe di molto. Forse andrei lo stesso in bicicletta, ma sarei tentato non poco di fare il passo successivo. Analogamente, in qualche modo riusciamo a risolvere le forme indeterminate, ma ci accorgiamo che è abbastanza faticoso e “variabile”. Ossia, a seconda delle funzioni che causano la forma indeterminata, si devono usare metodi diversi. Sarebbe molto meglio avere a disposizione un’automobile. Essa esiste, ma non è ancora stata inventata (per noi, almeno). Parlando seriamente… Una volta introdotte le derivate le forme indeterminate più ricorrenti si risolvono velocemente. Perché allora perdere tempo con i limiti? Dal punto di vista pratico sarebbe facile rispondere. Tuttavia, le derivate nascono solo dopo una comprensione completa e approfondita dei limiti e delle loro applicazioni, anche se un po’ laboriose.  Vale la pena, allora andare prima in bicicletta e, solo dopo essere diventati molto abili, scegliere il mezzo più comodo e veloce.

Cominciamo quindi con la forma indeterminata 0/0 che, insieme con la ∞/∞, è decisamente la più comune.

Un falso zero

Le forme indeterminate nascono quando si combinano tra loro più funzioni e si cerca di passare al limite per valori particolari. A volte sono solo apparenti. Prendiamo ad esempio la funzione x²/x, un caso banalissimo e quasi ridicolo. E’ sempre bene cominciare dalle cose più semplici.

y = x²/x

Vogliamo calcolarne il limite per x che tende a zero.

lim _x→0 y = lim _x→0 x²/x

Il  limite di un quoziente è uguale al quoziente dei limiti, quindi:

lim _x→0 x²/x = lim _x→0 x²/ lim _x→0x = 0/0        forma indeterminata!

Forza ragazzi, non scherziamo! Non facciamoci prendere in giro dai numeri. Prima di passare al limite è bene verificare la funzione. E’ solo lei che ci porta a una forma indeterminata e non il passaggio al limite.

Infatti:

x²/x = x∙x/x = x/1

Bastava semplificare, prima di passare al limite!

La funzione può essere scritta più semplicemente

y = x

e, quindi:

lim _x→0 x = 0       questo risultato lo conosciamo molto bene!

Questo sciocco esempio fa già capire l’importanza che ha la semplificazione tra numeratore e denominatore e la conoscenza dei binomi, polinomi e prodotti notevoli. Non sempre la faccenda è così ovvia e immediata.

Consideriamo ad esempio:

y = (x² – 16)/( x – 4)

Facciamone il limite per x che tende a 4.

lim _x→4(x² – 16)/( x – 4) = (16 – 16)/(4 – 4) = 0/0

Ho trascurato tutti i passaggi e ho sveltito la soluzione

Questa volta ho veramente una forma indeterminata! Ne siamo proprio sicuri? Consideriamo attentamente la funzione di partenza:

y = (x² – 16)/( x – 4)

Il numeratore è un binomio i cui due fattori sono entrambi dei quadrati. Il primo è il quadrato di x e il secondo è il quadrato di 4. Siamo di fronte al “famoso” binomio del tipo (a² – b²). Esso è un prodotto notevole e può essere scomposto facilmente in:

(a² – b²) = (a – b)∙(a + b)

Nel nostro caso:

(x² – 16) = (x – 4)∙(x + 4)

Al posto del numeratore della funzione inseriamo il prodotto notevole:

y = (x - 4)∙(x + 4)/(x - 4)

Ah… ce lo dovevamo aspettare. Sia al numeratore che al denominatore abbiamo lo stesso binomio (x – 4). Possiamo semplificarlo e la funzione diventa:

y = (x + 4)/1 = x + 4

Proviamo adesso a fare il limite per x che tende a 4. Otteniamo:

lim _x→4(x + 4) = lim _x→4 x + lim _x→4 4 = 4 + 4 = 8

Avete visto come è stato facile annullare la forma indeterminata? E’ bastato conoscere i prodotti notevoli. In realtà, la maggior parte dei casi della forma 0/0 può essere risolta attraverso la scomposizione di polinomi. D’altra parte, per adesso, non conosciamo altro che funzioni “costruibili” attraverso polinomi, ossia una serie di termini elevati a un certo esponente sommati tra loro. Le altre funzioni le vedremo in seguito. Per adesso i polinomi sono più che sufficienti.

In un modo o nell’altro un rapporto di polinomi può sempre essere scomposto in binomi o qualcosa del genere. Vi sono anche regole molto complicate per farlo. E’ necessario impararle? Direi proprio di no. Per due motivi. Il primo è che difficilmente ne incontreremo nel seguito del nostro racconto. Il secondo, ancora più importante, è che a questo punto meriterebbe proprio usare l’automobile. La bicicletta va bene e fa bene, ma se i chilometri da percorrere sono troppi… beh… è meglio passare alle … derivate.

Non tutti gli infiniti sono uguali

Andate a ripassare la parte dedicata al grado di un polinomio. Ne abbiamo parlato a fondo e abbiamo già descritto come il nostro caro amico infinito ne approfitti. Un termine in cui compaia la variabile x come potenza ha il suo grado dato dall’esponente. Più esso è grande e più grande è il grado del termine. Prendiamo due funzioni di questo tipo:

y = x²

e

y = x⁵

La seconda ha un grado maggiore della prima (5 contro 2). Cosa succederebbe se ne facessi il limite per x che tende a infinito? Avrei due funzioni y che tendono  all’infinito. Tuttavia, la seconda è un treno molto più potente e arriva all’infinito prima dell’altra. Possiamo provarlo facilmente, facendone il rapporto e considerarlo come una nuova funzione y:

y = x²/x⁵

Se ne facessi il limite troverei una forma ∞/∞, ma l’infinito al denominatore ha un grado più alto e vincerebbe la sfida. In altre parole è un infinito di grado superiore e quindi ha il sopravvento. Il denominatore va ad infinito più in fretta e la forma indeterminata non è tale, dato che sotto l’infinito è più grande.  In poche parole il risultato è 0, come se ci fosse infinito solo al denominatore. Ne avevamo già parlato, ma non è male ripetere certi concetti. Quando passo al limite sia sopra che sotto, il denominatore, per un certo valore di x, diventa un numero grandissimo, molto più grande del numeratore, e avremmo una situazione di questo tipo:

y = 1000000/100000000000000000000000  e via dicendo.

Il denominatore sarebbe talmente grande da rendere il rapporto un numero davvero piccolo che tenderebbe a zero. E’ giusto, quindi, concludere che passando al limite il rapporto tende a un numero enormemente piccolo, ossia tende a zero.

Parole, parole, ma non si potrebbe provare in modo più matematico? Beh, in questo caso è molto facile e si vede bene perché il grado è così importante. Riprendiamo la nostra funzione

y = x²/x⁵

Accidenti, che sciocchi! Ci siamo dimenticati di semplificare…

Facciamolo subito

y = x²/x⁵ = 1/x³

Andiamo molto meglio. Passare al limite per x che tende a infinito è adesso un gioco da ragazzi. Il numeratore resta quello che è, mentre il denominatore va a infinito. 1/∞, però, lo conosciamo molto bene e vale 0. Semplificando abbiamo eliminato fin dall’inizio la forma indeterminata e abbiamo anche dimostrato quanto vale il grado di un termine.

Il grado di un infinito, però, diventa molto più utile quando abbiamo a che fare con rapporti di polinomi molto più complicati e non facilmente semplificabili. Facciamone un esempio e impariamo una regola ben più generale.

Consideriamo la funzione:

y = (x⁵ - 2x³ + 2x - 1)/(3x⁴ - 2x³ + x² - 4x + 5)

Sarebbe ben difficile semplificare questa “porcheria” , forse del tutto impossibile. Tuttavia, è inutile darsi tanto da fare. Il grado dei vari fattori dei due polinomi ci viene in aiuto.

Se facessimo il limite della funzione per x tendente a infinito troveremmo senza scampo una forma ∞/∞. Tuttavia, il grado dell’infinito è una legge che non lascia scampo. Quello che determina quale sia la parte che va più velocemente a infinito è sempre il termine con il grado più alto. Tutti gli altri possono essere tranquillamente trascurati.  Immaginiamo, infatti, che ogni monomio che forma il polinomio sia in gara con gli altri. Ognuno, ovviamente, diventa sempre più grande al crescere di x. Tuttavia, quello che ha il grado più alto lo fa più velocemente: mentre gli altri sono ancora a 1000 0 10000 0 1000000000, lui è già a 10000000000000. Aggiungere o togliere gli altri diventa inutile. Chi comanda la danza è lui e soltanto lui.  In poche parole, basta mantenere solo il termine con il grado più alto sia sopra che sotto. Ossia:

lim _x→∞ (x⁵ - 2x³ + 2x - 1)/(3x⁴ - 2x³ + x² - 4x + 5) = lim _x→∞ x⁵/3x⁴

Abbiamo mantenuto in corsa solo i due "campioni" del numeratore e del denominatore (non toccando però il loro coefficiente numerico, mi raccomando...); tutto il resto è solo inutile zavorra.

A questo punto possiamo tranquillamente semplificare (ossia confrontare direttamente la velocità del numeratore e quella del denominatore) e otteniamo:

lim _x→∞ x⁵/3x⁴ = lim _x→∞ x/3 = ∞/3 = ∞

Cosa succederebbe se fosse il denominatore ad avere il termine con il grado più alto? Ovvio… rimarrebbe la x solo al denominatore e il limite sarebbe uguale a zero. Abbiamo anche visto  che la presenza di costanti moltiplicative non cambia assolutamente niente. Quel 3  a denominatore può solo farci ridere. Sappiamo bene che dividere un infinito per 3 non cambia di certo il risultato.

Più interessante è il caso in cui numeratore e denominatore abbiano lo stesso grado. Ad esempio:

lim _x→∞ (2x³ –x² +1)/(5x³ -3x +3)

Come prima, trascuriamo i termini di grado inferiore e otteniamo:

lim _x→∞ (2x³ –x² +1)/(5x³ -3x +3) = lim _x→∞ 2x³/5x³

Possiamo semplificare tranquillamente  x³ e ci rimane il limite di un costante che è la stessa costante, ossia:

lim _x→∞ 2x³/5x³ = lim _x→∞ 2/5 = 2/5

Il limite è un numero diverso da zero e infinito… Ve lo sareste aspettato? Oltretutto in questo caso le costanti non possono certo essere trascurate. I "giganti" si sono eliminati e loro restano padrone del campo.

Cerchiamo di fare le persone serie e scriviamo questa regola in modo più compatto e generale. Dopo aver trascurato i termini di grado inferiore ci riduciamo a una forma del tipo:

lim _x→∞ ax^m/bxⁿ = lim _x→∞ (a/b) x^{(m- n)}

Abbiamo tre possibilità:

Se m > n, il limite vale ∞            (il numeratore ha il grado più alto)

Se m < n, il limite vale  0            (il denominatore ha il grado più alto)

Se m = n, il limite vale a/b          (numeratore e denominatore hanno lo stesso grado)

Non  vi è bisogno di perdere tempo con la forma 0 ∙ ∞, dato che può immediatamente trasformarsi in una forma 0/0 o ∞/∞, ricordando che 0 = 1/∞  e  ∞ = 1/0. Per rapporti di  polinomi le due scritture sono perfettamente analoghe. Più interessanti potrebbero essere i casi in cui compaiono funzioni diverse. ma li vedremo a suo tempo.

Passiamo, invece alla differenza di infiniti.

La sottrazione non ci spaventa

Siamo di fronte alla forma ∞ - ∞.

Attenzione a non essere troppo rapidi nel concludere con: “Trascuro i termini di grado inferiore…”. Una cosa è confrontarli mediante un rapporto e un’altra è farne la differenza. Il discorso è sempre valido, ma è meglio affrontarlo in modo più attento…

Qualche esempio indicativo:

y = 3x³ - 2x

Il limite per x che tende a infinito porta a una forma ∞ - ∞. Questo è, però, il caso più facile. La x compare in entrambi i termini e quindi posso tranquillamente metterla in evidenza:

y = x (3x² - 2)

Adesso posso tranquillamente fare il limite

lim _x→∞ x (3x² – 2) = lim _x→∞ x lim _x→∞ (3x² – 2)

Non esistono più problemi, dato che entrambi i limiti valgono infinito e devo solo moltiplicarli tra loro. Moltiplicare infinito per infinito porta comunque a infinito e non interessa sapere chi dei due ha il grado più alto (quello conta solo quando si dividono). Ricordate, infatti, che la forma ∞ ∙ ∞ non è indeterminata e vale ∞.

La situazione è praticamente la stessa se abbiamo una situazione del tipo:

y = 3x³ - 2x + 5

Anche questa è una forma ∞ - ∞, dato che il numero 5 può fare ben poco contro l’infinito. Possiamo, comunque, mettere in evidenza la x tra i primi due termini e ottenere:

y = x(3x² – 2) + 5

e il limite diventa

lim _x→∞ x (3x² – 2) + 5 = lim _x→∞ x lim _x→∞ (3x² – 2) + lim _x→∞ 5

Siamo di nuovo caduti nel caso precedente che porta a ∞ ∙ ∞. Il sommare a questo prodotto il limite di 5 che rimane 5 non può certo cambiare il risultato che vale ∞.

Possono sorgere casi un po’ più complicati quando si hanno delle radici quadrate. Potrebbero essere  risolti con la messa in evidenza, ma è più semplice utilizzare il metodo detto di razionalizzazione. Il nome deriva dal fatto che, se una radice quadrata è un numero irrazionale, si preferisce ricondurla a un numero razionale.

Si abbia ad esempio la funzione semplicissima:

y = x – x^1/2

Anche in questo caso si ha una forma ∞ - ∞. Potremmo anche mettere in evidenza x^1/2 e otterremmo nuovamente una forma ∞ ∙ ∞. Non sempre, però, i casi sono così semplici e allora conviene lavorare in modo diverso e portarlo a una forma ∞/∞ che è ben controllabile.

Ricordando sempre i prodotti notevoli e, in particolare, quello che dice: (a² – b²) = (a – b) (a + b), moltiplichiamo numeratore denominatore per la stessa funzione cambiando, però, il segno tra i due fattori. Ossia:

y = (x – x^1/2) (x + x^1/2)/ (x + x^1/2)

Perché l’ho fatto? Proprio per trovare al numeratore il nostro prodotto notevole! Infatti è proprio della forma (a + b) (a – b). Al suo posto posso scrivere la differenza dei quadrati. Il quadrato di x è ovviamente x², mentre il quadrato di x^1/2 è proprio x (il quadrato di una radice quadrata di un numero è proprio il numero… ricordate le potenze e le loro proprietà!). Posso allora scrivere:

y = (x² –x)/ (x + x^1/2)

Abbiamo fregato la funzione! Il suo limite per x che tende a infinito è adesso diventato della forma ∞/∞. Ma, a questo punto, possiamo tranquillamente guardare solo il termine con il grado più alto sia al numeratore che al denominatore. Il limite si riduce a quello del rapporto tra i termini più “potenti”:

lim _x→∞ x²/x = lim _x→∞ x = ∞

Come ormai sappiamo molto bene.

Un pugno di mosche in mano

Dovrei passare alle forme indeterminate più strane e invece vi lascio con un pugno di mosche in mano. So di fare scontenti molti di voi, ma non posso proprio fare degli esempi sulle forme più  strambe e meno comprensibili, cioè 0^∞, ∞⁰ e 1^∞. No, non è cattiveria la mia e nemmeno paura di non riuscirci. Il fatto è che, per ottenere queste forme indeterminate, dobbiamo introdurre funzioni esponenziali che ancora non conosciamo e che, se venissero descritte adesso, creerebbero molta confusione. La cosa migliore è quello di soprassedere e di aspettarle al varco. Quando ci capiteranno agiremo di conseguenza (sempre che sia possibile...). Tuttavia, sappiate che bisogna sempre trasformarle nelle forme che già sappiamo controllare e risolvere. Piccoli giochi di prestigio che però necessitano una perfetta conoscenza di funzioni ancora da definire…

Possiamo concludere qui questo articolo. Adesso, devo riflettere in quanto sono giunto a un bivio. In realtà, so già quale sarà la mia scelta, ma ve lo dirò la prossima volta.

 

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