Passiamo alla definizione di un numero molto particolare e di una funzione che non fa altro che elevarlo a un certo esponente variabile. Concettualmente niente di difficile. Anzi, sembrerebbe una scelta un po’ strana se non sapessimo quanto la Natura ama questo numero così bizzarro e fondamentale.

Un numero che non ragiona… ossia veramente irrazionale!

Senza chiedersi tanti perché, questa lezione comincia con un limite di una funzione un po’ complicata che non riusciremo a risolvere. Sembra un’assurdità. Abbiamo fatto tanto per introdurre il concetto di limite e poi ne prendiamo uno la cui soluzione va oltre le nozioni che abbiamo imparato. Potremmo evitarlo e buttare la polvere sotto il tappeto. No, non possiamo, dato che la Fisica si arrabbierebbe non poco. In particolare alcuni fenomeni come la crescita dei batteri, il decadimento radioattivo, perfino le leggi della finanza non possono fare a meno del risultato di questo limite.  Non aspettatevi cose travolgenti. Il risultato di questo limite è un numero, uno di quelli che non riescono a trattarsi dato che, matematicamente parlando, non hanno mai fine. Ossia, il numero di decimali è infinito (e non è nemmeno periodico). E’ sicuramente più piccolo di qualcosa e più grande di qualcos’altro, ma non è descrivibile fino in fondo. Oggi si conoscono milioni e milioni dei suoi decimali, ma ciò che si ottiene è solo e sempre una sua approssimazione. Il concetto di limite è quindi quanto mai azzeccato per introdurlo, ma non ci regala un vero risultato. Un po’ come il più celebre pi greco.

La sua storia è forse vecchia come l’uomo e in qualche modo è stata utilizzata per le costruzioni  architettoniche greche e molto di più, dato che si riferisce alla sezione aurea e alla spirale logaritmica. Sappiamo molto bene come l’Universo ami questo tipo di configurazione geometrica. Il primo signore che ne fa esplicita menzione è Nepero (fine ‘500 - primo ‘600). Non certo un matematico, anzi, dovendo amministrare un grosso patrimonio, era molto preoccupato di commettere errori durante le moltiplicazioni. Per limitare possibili tragedie economiche, introdusse i logaritmi, quei numeri capaci di svolgere somme  e sottrazioni al posto delle ben più rischiose moltiplicazioni e divisioni. Insomma, per semplificare qualcosa di molto pratico fu in grado di aprire un nuovo mondo per gli scienziati. Solo un grande matematico come Eulero (‘700) capì che quel numero semi-nascosto nelle tabelle di Nepero aveva un’importanza straordinaria in matematica e in fisica. Ne fece la sua bandiera e lo utilizzò per tutti suoi calcoli legati ai numeri complessi (del tutto estranei alla nostra trattazione). Pensate che lo stesso Feynman giudicò un’equazione di Eulero come una delle massime opere d’arte della matematica.

Stimo parlando del numero e, un numero irrazionale e trascendente, ossia non esprimibile attraverso una frazione di numeri interi e nemmeno come soluzione di un’equazione polinomiale. In poche parole è un  numero molto speciale. Consideriamo la funzione

y = (1 + 1/x)^x

e facciamone il limite per x che tende a infinito

lim_x→∞ (1 + 1/x)^x.

Proviamo a risolverlo frettolosamente?  Beh… si ha:

(1 + 1/∞)^∞  = (1 + 0) ^∞ = 1^∞

Ecco la famosa forma indeterminata quasi incomprensibile. Il limite può anche risolversi ma con approcci troppo complicati per noi. Possiamo solo dire che la funzione y è sicuramente crescente al crescere della x e che, però, non può essere più grande del numero 3. Senza farla troppo lunga si trova che il limite è finito e tende a un numero irrazionale e trascendente, che è stato chiamato e e che vale 2, 71828 18284 59045 23536 ….

Un numero veramente spiritoso e cattivello. All’inizio aveva fatto sperare di essere periodico, mostrando la ripetizione di “1828”… ma poi ha cambiato direzione e ormai sappiamo che non vi è niente da fare. Comunque, il numero e rimane un monumento per la matematica. Perché si chiama e? Sembrerebbe facile rispondere, perché Eulero ha voluto la sua iniziale… E, invece, il grande matematico era estremamente modesto e mai avrebbe fatto qualcosa del genere. Probabilmente deriva da “esponenziale” o, ancora più semplicemente, dal fatto che le lettere a,b,c,d erano comunemente usate in matematica e geometria, così come la f e la g indicavano le funzioni. Era ancora libera la e e venne presa al volo. Malgrado le innumerevoli applicazioni di questo numero, a noi interessa in particolare quando viene elevato un certo esponente x. La funzione corrispondente è:

y = e^x

Sembra semplicissima (e in parte lo è). La funzione non fa altro che prendere la x e usarla come esponente del numero e. Il risultato è la nostra funzione y. In altre parole, la nostra “macchina”  prende il numero e e lo eleva a x. la y è il risultato di questa semplicissima operazione.

Prima di andare oltre, immaginiamo che al posto di e ci sia un numero qualsiasi. Cambia qualcosa? Concettualmente no. Possiamo, ad esempio, trattare la funzione

y = 10^x

Il numero 10 è anche più simpatico e “normale”. Questa relazione, però, la conosciamo molto bene ed è quella che ci ha portato alla definizione di logaritmo in base 10. Anzi, è proprio l’operazione inversa del logaritmo in base 10 (andate a ripassare i logaritmi), come mostrato in Fig. 52. Anzi, per essere precisi, la perfetta simmetria si ha rispetto alla retta y = x, ossia la retta passante per l’origine che forma un angolo di 45° rispetto  ai due assi (la conosciamo bene).

Funzioni analoghe si otterrebbero inserendo un numero qualsiasi al posto di 10. Numeri semplici e ben più simpatici (apparentemente di questo irraggiungibile numero e). Tuttavia, la scelta di e ha moltissimi vantaggi pratici e teorici. Ne basterebbe solo uno: la derivata della funzione e^x vale sempre e^x. Non sappiamo ancora cosa sono le derivate, ma vi posso assicurare che la costanza della derivata è un vantaggio non da poco. Come già detto, inoltre, tutta la matematica dei numeri complessi ha bisogno di e ed è questo numero che permette le loro definizioni principali. E molte altre cose che siamo costretti a evitare a causa delle complicazioni al di fuori delle nostre esigenze “matematiche”.

E’ immediato determinare i limiti della nuova funzione. Ricordando che il numero e è pur sempre un numero, risulta che il suo limite per x che tende a infinito deve valere infinito. Anzi, se il logaritmo era la funzione più lenta ad andare a infinito, l’esponenziale è la più rapida e questo fatto è molto utile quando compare al numeratore o al denominatore. Lei ha il grado più alto in assoluto.

Per x che tende a meno infinito, invece, e^x tende ad avvicinarsi sempre più all’asse x (nella parte negativa) senza mai raggiungerlo. D’altra parte è ovvio, dato che

e^-∞ = 1/e^∞ = 1/∞ = 0.

Per riprendere quanto detto per l’iperbole, l’asse delle x è un asintoto per la funzione e^x, per x che tende a - ∞

La funzione e^x viene normalmente chiamata funzione esponenziale, anche se fa parte della famiglia ben più vasta delle funzioni esponenziali y = a^x.  Per come è definita si ricava subito la sua funzione inversa, ossia il logaritmo in base e. Questo logaritmo (concettualmente uguale a quello in base 10) viene chiamato anche logaritmo naturale e indicato con ln per non confonderlo con log (base 10). Resta comunque immutata la sua definizione:

se

y =e^x

allora

x = ln y

x è l’esponente che bisogna dare al numero e per ottenere y.

Ricordiamo, che (cambiamo pure x con y, per rimanere in linea con le funzioni trattate finora…):

y = log x

non è altro che l’esponente che bisogna dare a 10 per ottenere x, ossia 10^y = x.

Praticamente, cambia solo la base del sistema logaritmico.

Potrei fermarmi qui e lasciare da parte il numero e e, in particolare, la funzione esponenziale fino a quando entreranno in campo le derivate. Tuttavia, il numero e e i suoi amici logaritmi naturali sono troppo legati a una delle figure più amate dalla Natura (forse la PIU’ amata in assoluto), ossia la spirale. Per parlare di spirali avremmo bisogno di libri interi e non certo solo dell’articolo sulla serie di Fibonacci che avevo introdotto QUI. Tuttavia, dato che anche la spirale è una funzione, vale la pena descriverla un po’ meglio e capire le sue fantastiche caratteristiche. E’ una funzione che si usa poco negli studi di funzione, ma le sue applicazioni “osservative” sono così tante e affascinanti che non potevamo trascurarla. In fondo, la matematica DEVE essere anche divertimento e noi vogliamo divertirci un poco.

Iniziamo, però, con una spirale più semplice, il cui studio accurato si deve a uno dei più grandi matematici dell’umanità: Archimede. Il grande scienziato aveva scritto un intero trattato sulla “sua” spirale e tramite lei era riuscito a rettificare la circonferenza, uno dei problemi più assillanti dell’antichità. Bene, cominciamo da lei…

 

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