20. Le derivate più utili *
Beh, quest’articolo è quanto di più semplice ci possa essere. Non è altro che un piccolo elenco da imparare a memoria. Non mi picchiate, ma qualche volta bisogna farlo. In realtà, si potrebbero ricavare i risultati uno per uno, ma con grande difficoltà… Difficoltà che non sarebbero molto utili per il livello che vogliamo raggiungere. Ci conviene fare un piccolo sforzo mnemonico per poi divertirci con il calcolo di derivate più complesse di quelle relative ai singoli monomi o polinomi. In ogni modo, commenterò un po’ i risultati per non servirli in modo troppo anonimo.
Se per i monomi era abbastanza facile ricavare la derivata passando attraverso il rapporto incrementale, non lo è più se vogliamo applicarlo a funzioni più complicate come quelle trigonometriche e quelle esponenziali. Si potrebbe fare, ma con tanti passaggi matematici, tra cui molti veramente ostici. Ci ho pensato a lungo, e ho deciso che non ne vale la pena.
Mi limito, perciò, a un elenco delle derivate più importanti che facilmente useremo nelle puntate successive. Ne abbiamo bisogno proprio per potere applicare le regole della derivata del prodotto e del rapporto di funzioni. Per far ciò, è ovvio che dobbiamo avere almeno due funzioni, di cui si conoscono le derivate. Se una è un monomio, l’altra deve essere qualcosa di diverso!
Prima di cominciare il breve elenco, fatemi ricordare la derivata di una funzione immediata: la somma di monomi, ossia un polinomio. Beh… la soluzione è quasi ridicola, dato che sappiamo che la derivata di una somma (e di una differenza) di funzioni è proprio la somma (o differenza) delle derivate di ogni singola funzione. Ne segue che per calcolare la derivata di un polinomio, basta sommare tra loro le derivate dei singoli monomi che lo compongono. Conoscendo la formula che ci permette di calcolare la derivata di un monomio, il procedimento da eseguire è veramente elementare.
Non vi è bisogno di andare a fondo sulle coniche: esse sono proprio descritte da monomi o da polinomi, per cui non meritano un discorso a parte.
Cominciamo con la derivata più semplice, che fa anche capire l’importanza del numero e (se ce ne fosse ancora bisogno).
d(ex)/dx = ex
Beh…. Questa non ce l’aspettavamo: una derivata che è proprio uguale alla funzione. Fantastico, anche da un punto di vista pratico. Cosa vuol dire questo risultato? La tangente alla curva y = ex ha il coefficiente angolare (in ogni suo punto) uguale alla funzione calcolata in quel punto. Particolarmente interessante è il punto origine. In esso y = ex = e0 = 1. Ciò vuol dire che la tangente tracciata in quel punto alla curva è proprio la retta con coefficiente angolare uguale a 1, ossia la retta a 45° (y = x).
Passiamo alla sua inversa, il logaritmo naturale, ossia quello in base e. Si ha:
d(ln(x)/dx = 1/x
Niente male nemmeno questo risultato. Siamo partiti da un logaritmo (sempre una brutta bestia) e abbiamo ottenuto un semplice monomio. Oltretutto, la derivata calcolata in x = 1 vale proprio 1, ossia la tangente è di nuovo la retta a 45°. Provate, comunque a calcolare la derivata di ln(x) per vari x. Troveremo facilmente tante cose già trovate per la funzione ln(x). Ad esempio, per x che tende a 0 (solo da destra, ovviamente), la sua derivata vale 1/0 = ∞. Per x = che tende a infinito invece la derivata va a zero. Attenzione! Questo non vuol dire che la funzione y = ln(x) vada a zero per x che tende a infinito, ma solo la sua derivata. In altra parole, la funzione logaritmo naturale tende a infinito per x che tende a infinito, ma lo fa in modo che la tangente all’infinito sia una retta orizzontale. Cose da infinito, insomma. Ci torneremo sopra a proposito degli asintoti.
Cosa succede per il logaritmo in base 10? Le cose si complicano un po’ dato che la derivata deve sempre passare attraverso i logaritmi naturali. Si ha:
d(log(x))/dx = 1/x ln(10) = log(e)/x
Niente di veramente difficile, dato che sia log(e) che ln(10) sono dei numeri che si possono calcolare una volta per tutte.
Analogo discorso per la derivata di ax (con a numero qualsiasi). C’è sempre bisogno del logaritmo naturale…
d(ax)/dx = ax ln(a)
Di nuovo ben pochi problemi… basta moltiplicare la funzione di partenza per un numero sempre uguale.
Terminiamo con le funzioni trigonometriche. Beh… qui le cose sono proprio simpatiche! Quanto vale la derivata del seno? Semplicissimo:
d(sin(x))/dx = cos(x)
Basta invertire le due funzioni fondamentali del cerchio trigonometrico. In altre parole, in ogni punto della funzione seno la tangente ha coefficiente angolare dato dal coseno. Provate a fare qualche calcolo da soli e vedrete l’importanza di questo risultato. Quando la funzione seno raggiunge il massimo e il minimo della sua “onda", ossia vale 1 o -1, la sua tangente ha per coefficiente angolare il coseno che vale 0. Le tangenti alla funzione seno sono orizzontali nei suoi punti di massimo e minimo. Quando invece il seno taglia l’asse delle x (ossia vale 0) il coseno vale 1 o -1, ossia la retta è quella che forma, nuovamente, un angolo di 45° con gli assi. State realizzando come la derivata ci servirà per studiare una funzione nei suoi punti più importanti? Spero proprio di sì. E, analogamente, anche la derivata seconda. Eh sì, le derivate non hanno mai termine… Torniamo a noi. Quanto vale la derivata del coseno? Non ci vuole molta fantasia, ma una piccola sorpresina ce la regala:
d((cos(x))/dx = -sin(x)
Eh sì, dobbiamo cambiare il segno alla funzione “sorella”. Roba da poco, ma è fondamentale ricordarselo. Lascio a voi il calcolo delle derivate di cos (x) nei punti di prima. Non ci saranno grandi sorprese, ovviamente.
Concludiamo con la derivata della tangente.
d((tan(x))/dx = 1/cos2(x) = 1 + tan2(x)
Sembra più complicata, eppure siete in grado di calcolarla da soli, ricordando la regola della derivata del rapporto di funzioni. Infatti tan(x) = sin(x)/cos(x). Provateci… ricordando solo una relazione fondamentale che lega seno e coseno (riportata nell’articolo a loro dedicato).
Abbiamo finito! Per avere tutto sotto mano riporto una tabella riepilogativa:
y y’
xn nx(n-1)
ex ex
ln(x) 1/x
ax ax ln(a)
log(x) 1/(x ln(10)) oppure log(e)/x
sin(x) cos(x)
cos(x) - sin(x)
tan(x) 1/cos2(x) oppure 1 + tan2(x)
costante 0
La prossima volta entrerete in ballo voi (ah ah ah) e vi riempirò di esercizi!
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5 commenti
aspettiamo gli esercizi, darai anche il voto? (in tal caso copieremo spudoratamente!!)
ma voglio anche i passaggi uno a uno... E poi ho le mie spie informatiche (?????)
Confido nella tua pazienza e bontà...
Caro Enzo prima di proseguire con le derivate ho bisogno di fare il punto della situazione, per verificare se ho davvero afferrato i concetti base.
Innanzitutto nello studio di una funzione è importante capire non solo quale valore assume la y per una determinata x, ma anche come ci si avvicina a quel punto.
A tal fine è necessario studiare come varia la y al variare della x, per cui si prende un intervallo di y e lo si confronta con il corrispondente intervallo di x .
Il rapporto tra questi due intervalli si definisce rapporto incrementale:
Δy/Δx
Se x è il valore in ascissa del punto in esame ed h è un punto con valore in ascissa molto vicino ad x, l'intervallo tra i due punti sull'asse x è uguale a:
Δx = (x +h) - x
Considerato che: y = f (x), l'intervallo di y corrispondente a quello di x (preso in esame) può essere scritto come:
Δy= f (x+h) – f (x)
Per cui il rapporto incrementale vale:
Δy/Δx = f (x+h) – f (x)/(x +h) – x = f (x+h) – f (x)/h
Per analizzare cosa succede mentre ci si avvicina ad un punto, basta restringere l'intervallo di x facendo tendere h verso x, ossia calcolando il limite del rapporto incrementale con h tendente a zero, determinandone così la derivata.
y' = lim h→0 f (x+h) – f (x)/h
Se si prende in esame una retta, il suo rapporto incrementale rimane costante qualunque sia il valore di x o un suo intervallo.
In questo caso il rapporto tra Δy/Δx è sempre uguale al rapporto tra i cateti, rappresentati proprio dalla proiezione della retta sull'asse x (coseno) e sull'asse y (seno):
Δy/Δx = sin α /cos α = tag α
Variando tale rapporto varia l'angolo α, per cui cambia la pendenza della retta:
Δy/Δx = m
Se sostituiamo a y lo spazio ed a x il tempo, m rappresenta proprio la velocità costante e la pendenza m ne indica il valore
ΔS/Δt = V = m
La situazione cambia completamente se si tratta di una curva, poiché in tal caso il rapporto incrementale varia da punto a punto della curva.
Personalmente immagino questa situazione come se m cambiasse in continuazione, a secondo della tratto di curva esaminato.
La derivata mostra cosa succede al rapporto incrementale in prossimità di un punto della curva (di ascissa x).
La sua rappresentazione grafica è proprio la tangente al punto della curva analizzato (una retta di corrispondente pendenza m).
Vorrei però porre una domanda, dopo una breve considerazione:
se invece di analizzare una velocità costante se ne considera una che varia nel tempo, la derivata consentirebbe di analizzare come varia tale velocità nel tempo, ossia di definirne accelerazioni e/o decelerazioni.
Nel caso di un corpo che si muove con accelerazione costante, questa se ho capito bene dovrebbe assumere lo stesso valore qualunque sia il valore di x, mentre nel caso di accelerazioni variabili, ciò non è più vero, ossia la derivata indica solo l'accelerazione istantanea. Sbaglio?
In sintesi la derivata per quanto finora descritto non mi sembra aver completamente risolto il problema del descrivere per intero una curva, per quanto ha decisamente affinato lo studio di un punto della curva, oppure qualcosa mi sfugge?
Spero fin qui di aver capito, poiché trovo più complesso immaginarmi la derivata di due funzioni, o meglio cosa rappresenta.
Cosa significa per esempio y = f(x)/ g(x), mi è chiaro, ma cosa rappresenta la sua derivata un po' meno.
L'idea me la sono fatta, cercando di risolvere d((tan(x))/dx.
Considerato che tan (x) = sin (x)/cos (x)
Proprio come il rapporto tra due funzioni diverse, se y = f(x)/g (x), y’ = f'(x) g(x) - f(x) g'(x)/g(x)^2
quindi: f(x) = sin (x); f'(x) = cos (x) ; g (x) = cos (x); g' (x) = - sin (x)
y = sin (x)/cos (x)
y' = cos (x) cos (x) - (-sin (x)) (sin (x)) / cos^2 (x)
y' = cos^2(x) + sin^2(x)/cos^2(x)
Dal cerchio trigonometrico (raggio 1), il raggio rappresenta l'ipotenusa di un triangolo rettangolo e sin x e cos x sono i suoi cateti, per cui dal teorema di Pitagora.
cos^2 (x) + sin^2 (x) = 1^2 = 1
y' = 1/cos^2 (x)
Oppure, ripartendo da:
y' = cos^2 (x) + sin^2 (x)/cos^2 (x)
y' = cos^2 (x)/cos^2 (x) + sin^2 (x)/cos^2 (x)
y' = 1 + sin^2 (x)/cos^2 (x)
dato che sin (x)/cos(x) = tan (x); sin^2 (x)/cos^2 (x) = tan^2 (x)
y' = 1 + tan^2 (x)
Decisamente più complesso mi sembra arrivare alle soluzioni con i logaritmi, per cui i risultati delle derivate mi tocca prenderli così come sono (mi rileggerò da una diversa spigolatura l'articolo sul numero molto particolare da cui sono nati i logaritmi naturali vista la loro importanza).
Paolo
caro Paolo,
direi che hai compreso benissimo, anche riguardo la variazione della velocità. Se essa varia continuamente, è l'accelerazione (ossia la sua variazione) che indica cosa fa la curva. Essa può essere costante (moto circolare uniforme) o qualsiasi. Vedrai che le cose si chiariranno ancora meglio in seguito.
Sulla derivata di due funzioni c'è poco da aggiungere. Date due funzioni, ossia due meccanismi in grado di elaborare la x, vogliamo solo studiare una loro combinazione, che può essere rapporto, moltiplicazione, somma o sottrazione. Oppure, vedrai, che ci saranno anche funzioni di funzioni. Ossia la x viene elaborata e diventa una certa f(x) e questa funzione diventa la "x" di una nuova funzione, del tipo y = log(sin(x)), dove f(x) = sin(x) e g è il logaritmo e quindi y = g(f(x)).
Si possono ricavare tutte le derivate più comuni, ma in generale è meglio ricordarsele, dato che spesso la dimostrazione è tutt'altro che semplice...