I primi due esercizi sono talmente intuitivi che è inutili spiegarli… Il risultato è ovviamente:

(1)

y’ = f ‘(x) + g’(x) + z’(x)

(2)

y’ = f ‘(x) + g’(x) - z’(x)

(3)

La funzione di partenza era:

y = f(x) g(x) z(x)

ricordiamo che:

se y = f(x)g(x)

allora y’ = d(f(x)g(x))/dx = f ’(x)g(x) + f(x)g’(x)

Poniamo:

F(x) = f(x)g(x)

y’ = d(F(x)z(x))/dx = F’(x)z(x) + F(x)z’(x)

ma F’(x)= d((f(x)g(x))/dx = f ’(x)g(x) + f(x)g’(x)

sostituendo:

y’ = (f ’(x)g(x) + f(x)g’(x))z(x) + (f(x)g(x))z’(x)

y’ = f ’(x)g(x)z(x) + f(x)g’(x)z(x) + f(x)g(x)z’(x)

(4)

La funzione di partenza era:

y = f(x)g(x)/z(x)

ricordiamo che:

se y = f(x)/g(x)

allora y’ = (f ’(x)g(x) – f(x)g’(x))/g²(x)

Poniamo F(x) = f(x)g(x)

y’ =  d(F(x)/z(x))/dx = (F’(x)z(x) – F(x)z’(x))/z²(x)

ma  F’(x)= d((f(x)g(x))/dx = f ’(x)g(x) + f(x)g’(x)

sostituendo:

y’ = ((f ’(x)g(x) + f(x)g’(x))z(x) – (f(x)g(x))z’(x)))/z²(x)

y’ = (f ’(x)g(x)z(x) + f(x)g’(x)z(x) – f(x)g(x)z’(x))/z²(x)

(5)

La funzione di partenza era:

y = sin(x²)

E’ del tipo:

y = f(g(x))

la funzione g(x) è l’elevamento al quadrato di x, ossia g(x) = x²

La funzione f è invece l’operazione del seno (che si deve compiere su tutta la funzione g(x)). Sappiamo che il risultato deve essere:

y’ = f ’(g(x))g’(x)

Calcoliamo prima la derivata di g(x). Essa vale

g’(x) = d(x²)/dx = 2x

E poi la derivata di f(g(x)), dove la g(x) resta quella che è. Si ha:

f ’(g(x)) = d(sin(g(x))/dx = cos(g(x)) = cos(x²)

Moltiplicandole tra di loro, abbiamo:

y’ = 2x cos(x²)

(6)

La funzione di partenza era:

y = ln(sin(x))

Anche lei è del tipo

y = f(g(x)),  dove f è il logaritmo naturale (ln), e g è il seno (sin)

Nuovamente, prima devo fare la derivata della g(x) = sin(x) che è:

g’(x) = d(sin(x))/dx = cos(x)

E poi quella di f(g(x)), lasciando sempre g(x) così com’è (pensate che sia una x …).

f ’(g(x)) = d(ln(g(x))/dx = 1/g(x) = 1/sin(x)

Moltiplicando:

y’ = cos(x)/sin(x)

Ho mischiato un po’ i vari modi di scrivere una derivata (y’, f’, d(f(x)/dx,…) proprio per aiutare a vederli come una stessa identica “cosa”.

Beh… chi ha sbagliato qualcosa ci rifletta sopra e mi dica se devo spiegare meglio qualche passaggio. Un bravo particolare a Pier… ma anche a tutti quei (pochi) che hanno provato! Mi piacerebbe però sapere se vi sono state difficoltà oppure era un esercizio troppo facile per molti. Solo per capire se possiamo andare avanti con la matematica o bisogna fermarsi e digerire meglio alcuni concetti e/o operazioni… Aiutatemi a decidere cosa fare…

Grazie!