Avete tutto il tempo che volete, dato che la soluzione ve la darò solo a luglio… Posso solo dire che avete, teoricamente, tutte le possibilità per superare l’arduo ostacolo. Conoscete i triangoli simili e l’equazione di una circonferenza… per cui. A luglio, studieremo anche la funzione che avrete trovato…

Dunque, la nostra cara Maria Gaetana Agnesi, tra i vari studi matematici, descrisse anche una curva che battezzò con il nome di versiera (oggi versiera di Agnesi). In realtà, sembra che l’avessero già determinata prima, ma… noi diamo tutti gli onori a Maria! La curva si può ricavare piuttosto facilmente, da un punto di vista geometrico, ma la sua importanza è notevole dato che vari fenomeni fisici la seguono piuttosto bene. Adesso vi racconto come si può descrivere e lascio a voi la determinazione della funzione y = f(x). Un esercizio non banale, ma… chissà.

Disegniamo il nostro sistema di riferimento cartesiano di assi x e y. Consideriamo una circonferenza di raggio r, che abbia il suo centro nel punto C(0,r), In altre parole, il centro sta sull’asse delle y a una distanza r dall’asse x. Ne segue, ovviamente, che la circonferenza passa dall’origine degli assi (per x = 0, anche y = 0). Questa sarà la parte più difficile: scrivere l’equazione di una circonferenza di questo tipo.

Tracciamo una retta parallela all’asse x che sia tangente alla circonferenza nel suo punto più alto. Essa ha equazione y = 2r. Poi, iniziamo a tracciare le rette passanti per l’origine e determiniamo il punto S in cui esse intersecano la circonferenza. A questo punto troviamo facilmente il punto Q, il punto intersezione tra la retta passante per l’origine e la retta y = 2r. Da Q scendiamo con una retta parallela all’asse y fino a incontrare la retta passante per S e parallela all’asse delle x, in un punto P, le cui coordinate sono proprio x e y (variabili perché varia la retta passante per l’origine).

La curva di Agnesi è proprio quella descritta dal punto P, al variare della retta passante per l’origine. Per descrivere graficamente la curva basta fare ruotare la retta attorno all’origine e ricavare, per ognuna di esse, il punto P corrispondente. Tuttavia, per descrivere matematicamente la curva è necessario ricavare la relazione che esiste tra x e y (in funzione del raggio r) che definisce il punto P, determinato seguendo la spiegazione precedente, rappresentata in Fig. 1.

Trovate l’equazione e la curva su Wikipedia e, perciò, ve la scrivo anche io. Quello che importa è riuscire a ricavarla (e questo non è facile da trovare sul web). Insomma, un bell’esercizio di matematica e geometria, nonché una curva finale molto interessante che studieremo con le derivate, dato che ha un massimo, due asintoti e due punti di flesso.

Se non ci riuscite, non prendetevela… è un esercizio difficile per chi ha imparato l’analisi solo attraverso le mie lezioncine. Però, ci sono molti che sono sicuramente all’altezza e non è detto che lavorandoci sopra non ci riusciate proprio tutti!

In ogni modo, il risultato da ottenere è questo

y  = 8r³/(4r² + x²)

Ovviamente, desidero che scriviate ogni passaggio per arrivare a lei (sia geometrico che matematico).

Buon divertimento!