Questo articolo è stato inserito nell'approfondimento dedicato ai Buchi Neri, che raccoglie in modo organico gli articoli più significativi sull'argomento.

Chi ha mai detto che per fare un buco nero ci vuole una stella enorme e che questa debba morire in modo molto spettacolare? Tutti? No, non crediamoci. Qualcuno, o forse molti, dicono anche che solo la mente eccezionale di Einstein e le sue teorie rivoluzionarie hanno fatto pensare a questo “oggetto” così misterioso e terribile. No, non crediamo nemmeno a loro. Basta conoscere la meccanica di Newton, avere qualche strumento d’avanguardia (cercatelo sul web…) e potremmo costruirci il “nostro” buco nero da mettere sotto l’albero...

In questo articolo introduttivo alla descrizione dei buchi neri, vogliamo dimostrare che essi sono un qualcosa che si può fare facilmente a casa (sempre che si abbia la strumentazione adatta) e che la meccanica classica di Newton è perfettamente in grado di dirci come fare. E saremo anche in grado di disegnarli, la prossima volta, nell’elementare spazio-tempo galileiano.

Iniziamo il nostro racconto andando a vedere la partenza di un razzo da una base missilistica. Siamo ovviamente sulla Terra, la quale cerca in tutti i modi di non far partire il razzo attraverso la sua forza di gravità. Sarà per amore o per gelosia, fatto sta che non è facile abbandonarla per sempre. Cosa vuol dire “abbandonare” la Terra? Raggiungere, all’infinito, una velocità praticamente uguale a zero. Spieghiamoci meglio: impartire al razzo una velocità tale che esso si fermerà nella sua corsa di allontanamento (velocità zero) solo quando avrà raggiunto una distanza infinita dalla Terra. Ovviamente, immaginiamo che non ci siano altri corpi celesti a dar fastidio al nostro missile.

Si capisce facilmente che tutto si basa sulla velocità iniziale che dobbiamo dare al razzo. Chiamiamola velocità di fuga (ottima scelta) e definiamola un po’ più “scientificamente”. Essa è la velocità che bisogna impartire a un oggetto affinché vada da un certo punto di  un campo gravitazionale, a distanza r dal centro del campo,  fino all’infinito con velocità residua nulla.

Spieghiamo subito cosa sono i termini usati in questa frase. Il campo gravitazionale è la famosa ragnatela causata dalla forza di gravità terrestre che cerca di trattenere ogni cosa. L’avevamo descritta accuratamente QUI. La distanza r non è altro che il raggio della Terra, ossia la distanza tra la base missilistica e il centro del pianeta, dove si può tranquillamente supporre che sia racchiusa tutta la massa terrestre (ma ci torneremo sopra tra poco..).

E’ difficile determinare questa velocità di fuga? Direi proprio di no, dato che oltretutto l’abbiamo già fatto. Ma è meglio ripetersi… non fa mai male! Come fare a calcolarla? Basta utilizzare la regola più “regolare” della Natura: L’energia si conserva.

Un missile che vuole abbandonare la Terra possiede una certa energia, proprio quella che deve accompagnarlo all’infinito. Questa energia deve conservarsi, ossia essere uguale alla partenza come all’ipotetico arrivo. A questo punto, dobbiamo considerare come acquisite due forme di energia che regolano la situazione: l’energia cinetica che è legata al movimento del razzo e l’energia potenziale che è legata alla forza di gravità. Questa seconda energia è quella che nasce per il solo fatto di trovarsi a una certa distanza dal centro della Terra, dove si può immaginare sia concentrata tutta la sua massa.

A mano a mano che ci allontaniamo questa energia aumenta e diventa massima all’infinito. Dato che ha segno negativo (in quanto va in verso opposto alla forza che la genera, quella di gravità), all’infinito, dove è massima, è uguale a 0. Sua sorella, l’energia cinetica, tende invece a diminuire sempre più allontanandosi dalla Terra, dato che la velocità continua a diminuire cercando (e riuscendoci) di contrastare la gravità . All’infinito la velocità è zero e quindi anche questa energia. Insomma, la somma delle due energie diventa zero a distanza infinita. Una bella fatica per arrivare  stremati alla meta!

Le parole sono belle, ma spesso creano confusione. Meglio sintetizzare quanto abbiamo detto con un paio di formule ben conosciute e facilmente comprensibili.

L’energia potenziale vale

E_P = - GMm/r

Dove G è una costante(detta di gravitazione universale, chiedete a Newton per saperne di più…), M la massa della Terra, m la massa del razzo e r la distanza del razzo dal centro della Terra. E’ una formula che abbiamo determinato varie volte… Tra parentesi notate che vale proprio ZERO per r uguale a INFINITO.

L’energia cinetica vale, invece:

E_c = ½ m v_F²

Dove v_F è proprio la velocità che vogliamo determinare, ossia la velocità di fuga.

L’energia totale del missile è data dalla somma delle due e vale:

E_T = ½ m v_F² - GMm/r       …. (1)

Questo è il valore dell’energia totale alla partenza del razzo, dato che compare v_F, che è la velocità iniziale da impartire, e il raggio r della Terra.

Tuttavia, sappiamo che l’energia del razzo, quando giunge all’infinito, deve diventare ZERO. Non solo, sappiamo anche che l’energia del razzo deve conservarsi. Ne segue che anche la (1) di partenza deve essere sempre uguale a ZERO. Possiamo scrivere:

½ m v_F² - GMm/r = 0

A questo punto, divertiamoci con banali passaggi matematici, necessari per ricavare proprio v_F che è l’unica incognita.

½ m v_F² = GMm/r

Già questa formula (che è la stessa di prima) ci dice una cosa ovvia, ma da tenere a mente: per abbandonare per sempre la Terra è necessario che l’energia cinetica del razzo sia uguale in modulo all’energia potenziale.

Inoltre, ci accorgiamo di una cosa importantissima che Galileo aveva cercato di dimostrare in tutti i modi: non ha nessuna importanza la massa del missile! Infatti, la sua massa m compare sia a sinistra che a destra e può essere tranquillamente semplificata. Se ne deduce che la velocità di fuga è indipendente dalla massa dell’oggetto che vuole lasciare la Terra o qualsiasi altro corpo celeste.

Un altro semplice passaggio:

v_F² = 2GM/r

E, infine:

v_F = (2GM/r)^1/2     …. (2)

Essa dipende solo e soltanto da due caratteristiche della Terra: il suo raggio r e la sua massa M, dato che G è una costante “universale”.

E’ facilissimo, quindi, calcolarla con quanto sappiamo, ed essa risulta

v_F,T = 11.2 km/sec

Va bene, va bene… tutto molto bello, ma cosa c’entra con i buchi neri? Ancora un attimo di pazienza e ci arriviamo…

La (2) ci dice che se volessimo far partire il missile da una base orbitante (ad esempio dalla stazione spaziale o magari anche da più lontano), il valore di v_F cambierebbe, diventando minore. Infatti, la massa M rimane sempre la stessa, ma aumenterebbe la distanza r. Possiamo, quindi dire, che più ci allontaniamo dalla Terra e minore è la velocità di fuga. Beh… non c’è da stupirsi, dato che la gravità si sente di meno ed è più facile contrastarla.

Come varia la velocità di fuga al variare della distanza r? Basta calcolarla per due valori diversi della distanza r e farne il rapporto.

v_F1 = (2GM/r₁)^1/2

v_F2 = (2GM/r₂)^1/2

v_F2/v_F1 = (2GM/r₂)^1/2 /(2GM/r₁)^1/2 = ((2GM/r₂)(r₁/2GM))^1/2 = (r₁/r₂)^1/2

E, quindi:

v_F2  = v_F1 (r₁/r₂)^1/2     ….(3)

In poche parole, quello che conta è solo e soltanto la distanza r.

Divertiamoci a fare un po’ di calcoli semplicissimi

Consideriamo v_F1 come quella relativa alla superficie terrestre, ossia 11.2 km/sec. Cosa succederebbe se andassimo in un punto dello spazio che ha una distanza dal centro della Terra uguale a 100 volte il suo raggio (r₂ = 100 r₁)?

v_F,100 = 11.2 (1/100)^1/2 = 11.2/10 = 1.12 km/sec

E se il razzo fosse posto a 10 000 volte il raggio della Terra?

v_F,10000 = 11.2 (1/10 000)1/2 = 11.2/100 = 0.112 km/sec

In pratica (considerando r₁ = 6500 km) si ha che a un’altezza di 650 000 km la velocità di fuga dalla Terra si riduce a poco più di 1 km/sec. A un’altezza di 65 000 000 km basterebbe quasi un bel “calcione” per superare la gravità terrestre, solo poco più di 100 m/sec. Ovviamente, questi numeri valgono solo se consideriamo la Terra isolata nello spazio, senza tener conto della Luna, del Sole e degli altri pianeti. Tuttavia, questi sono conti che interessano i futuri astronauti, ma non noi e il nostro buco nero casalingo.

Prendiamo sempre la (3), ma usiamola al contrario, ossia riduciamo la distanza invece di aumentarla. Le cose si fanno più interessanti! Qualcuno mi può dire: “Ma come facciamo a ridurre la distanza? Vorrebbe dire entrare “dentro” alla Terra!”. Beh… non proprio, almeno teoricamente. Immaginiamo, come ci dice Newton, che le formule non cambiano assolutamente se concentriamo tutta la massa M nel baricentro del pianeta, ossia nel suo centro. In queste condizioni possiamo scegliere distanze r dal centro sempre più piccole.

Proviamo a fare qualche calcolo. Scegliamo r₂ = r₁/100 (ossia r₂ = 65 km). La (3) ci dice che:

v_F,1/100 = v_F1 (r₁/r₂)^1/2  = 11.2 ∙ 10 = 112 km/sec

Ci vorrebbe un combustibile eccezionale per riuscire a far partire il nostro missile! Notiamo che, a questo punto, così come abbiamo concentrato la massa M nel baricentro, possiamo benissimo distribuirla su una sfera di raggio uguale a 65 km, dato che le formule non cambierebbero e il nostro razzo sarebbe posizionato su qualcosa di “solido”, la superficie di una Terra di soli 65 km di raggio.

Divertiamoci un po’… e scegliamo un raggio r₂ = r₁/10 000, ossia riduciamo il nostro pianeta a una sfera di soli 0.65 km, poco più di mezzo chilometro, e calcoliamo la velocità di fuga:

v_F,1/10000 = v_F1 (r₁/r₂)^1/2  = 11.2 ∙ 100 = 1120 km/sec

Ricordiamo sempre che la massa rimane costante e, quindi, la nostra Terra avrebbe una densità spaventosa…

Sappiamo che un punto matematico non ha dimensioni e che quello fisico può diminuire ancora di molto. Possiamo, perciò, ridurre ancora il raggio fino a un valore tale che v_F2 sia uguale a 300 000 km/sec. Usiamo la (3) al contrario, ossia conosciamo già v_F1 e r₁ e vogliamo calcolare il raggio r_c che comporti questa straordinaria velocità di fuga.

r_c = (v_F1²/v_F2²) r₁ = (300 000²/11.2²) ∙ 6500 = 0.9 cm

Mamma mia, abbiamo ridotto la Terra a una sferetta di meno di un centimetro di raggio, ma ce l’abbiamo fatta!

Potevamo fare molto prima a calcolare questo valore, utilizzando direttamente la (2), ossia:

v_F = (2GM/r)^1/2      …. (2)

Avremmo, però, dovuto sapere la massa della Terra e il valore della costante G. Con il nostro metodo un  po’ più lungo, ma altrettanto intuitivo, abbiamo ottenuto lo stesso scopo…

Tuttavia, non ci è certo sfuggito che questa “particolare” velocità di fuga non è altro che quella della luce c. Usiamo, adesso, la (2) per ricavare il raggio che abbiamo appena trovato con la strada più lunga…

c = (2GM/r_c)^1/2

c² = 2GM/r_c

r_c = 2GM/c²     …. (4)

Una formula che non è certo sconosciuta ai lettori più esperti, dato che esprime nientemeno che il raggio di Schwarzschild, ossia il raggio dell’orizzonte degli eventi di un buco nero “moderno”! Siamo o non siamo entrati prepotentemente nel loro regno?

Cosa abbiamo voluto dimostrare con questo lungo, ma elementare, discorso? Innanzitutto che non è difficile, teoricamente, trasformare la nostra Terra in una sferetta talmente piccola (che conservi la sua massa, però) che per lanciare nello spazio qualsiasi cosa si voglia, per leggera che sia, è necessario impartirle una velocità di fuga uguale alla velocità della luce. Ciò vuole anche dire che, per raggi più piccoli di quello che è stato determinato, nemmeno la luce potrebbe scappare dalla Terra.

Questa frase, però, non ci giunge nuova: è proprio quella che si usa per definire un buco nero: “Un oggetto talmente massiccio che nemmeno la luce riesce a uscire da esso”. In modo più corretto, abbiamo descritto l’orizzonte degli eventi di un buco nero, ossia quella ipotetica “sfera” che ha un raggio tale da non fare uscire nemmeno la luce. Il buco nero, vero e proprio, potrebbe essere anche più piccolo, così come lo poteva essere anche la nostra Terra “ridotta”. Vedremo che teoreticamente il buco nero può proprio diventare un punto “matematico”, di dimensioni nulle, ma per adesso soprassediamo.

In conclusione, abbiamo introdotto il concetto di buco nero e, in particolare, di orizzonte degli eventi utilizzando soltanto la meccanica newtoniana. In altre parole, anche Newton era in grado di definire un buco nero! Non solo, però. Abbiamo visto che anche la Terra può “facilmente” trasformarsi in un buco nero. Basta “schiacciarla” fino a ridurla a una sferetta di poco meno di un centimetro. Sì, sì, va bene… lo so che non è molto semplice comprimere un pianeta. Però, però… lo potremmo fare anche con qualcosa di più maneggevole, utilizzando la (2). Ad esempio una bella sfera di “qualcosa” che pesi un chilo. Il valore di G ve lo posso anche dare:

G = 6.67 10 ^-11 m³ kg^-1 sec ^-2

E’ già tutto “a posto”. Se scriviamo la massa in chilogrammi e se consideriamo la velocità c in m/sec, si trova il raggio dell’orizzonte degli eventi necessario allo scopo: un bel buco nero casalingo. Problemi? Beh… sicuramente sì… Ad esempio, avere una "pressa" speciale che riesca a ridurre il volume in cui contenere la massa di partenza. Beh… non tutto può essere banale… basta ingegnarsi e ognuno avrà il “suo” buco nero da appendere, magari, all’albero di Natale.

Provate voi a calcolarne le dimensioni…