Categorie: Fisica classica
Tags: cinematica versori vettori
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:33
QUIZ: una guerra pacifica su Papalla **
Nel mondo di Papalla (sempre lui) non esistono guerre… Quando tra due Nazioni sorgono problemi particolarmente critici sono i due Capi di Stato a risolvere la questione in modo sportivo e pacifico. Si sfidano direttamente in qualche prova di abilità e tutto rientra nella normalità. Il presidente A e il re B sono veramente ai ferri corti e decidono di porre fine alla crisi in modo indolore per il loro popolo. Oltretutto, come spesso capita, è la Scienza a vincere e a insegnare qualcosa di più.
Salgono entrambi su una alta torre che sorge proprio al confine delle loro Nazioni, ognuno con una pallina in mano di massa m. Ricordiamo, comunque, che su Papalla non esiste atmosfera. Nello stesso istante t = 0, entrambi i Capi di Stato lanciano la loro pallina in senso orizzontale con la massima forza a loro disposizione. In tal modo imprimono alle due palline le velocità vA e vB. Su Papalla esiste, comunque, la gravità e la sua accelerazione è indicata con g.
Tutti si aspetterebbero di vedere proclamare vincitore chi lancia la pallina più distante. E, invece, la vittoria andrà a chi risolve per primo un quiz di cinematica che vede una elegante applicazione dei vettori e delle loro operazioni.
La richiesta è la seguente: “ Trovare il tempo t90 in cui i vettori velocità delle due palline sono tra loro perpendicolari e calcolare la distanza tra le due palline in quel dato istante”.
Chi si aspettava un “qualcosa” di strettamente collegato alla capacità fisica dei due contendenti rimane deluso: ancora una volta vince la mente rispetto alla forza bruta. La conclusione fa scattare un urlo di gioia da parte di entrambe le popolazioni. La risposta è stata data simultaneamente e la pace torna a regnare sovrana. Papalla è proprio un grande pianeta!
Vi sono vari modi di risolvere l’enigma, noi, però, desideriamo una soluzione che faccia uso dei vettori, della loro capacità di essere scomposti,dei versori e delle loro operazioni… Ne abbiamo discusso a lungo…
La figura che segue riporta lo schema della sfida papalliana…
Caro Alvy, ricorda: “No versori, no risposta!”
33 commenti
Chi ha ritenuto troppo banale il quiz di Ulisse, può iniziare a cimentarsi con questo... In seguito farò divertire chi ama le regate veliche, gli ammiratori di Ercole ed eventuali naufraghi di qualche crociera...
Non ti dimenticare di Piè Veloce Achille: mi sembra abbia avuto qualche problema con una tartaruga. Stanno ancora discutendo su chi ha tagliato per primo il traguardo. Puoi provare a metterli d'accordo?
Alvy, questa volta ti permetto di rispondere (usando i vettori però...). Se non vado errato (il tuo ermetismo a volte mi spaventa...) sei fuori strada...
Diavolo Enzo, tra un pò mi accuserai dei peggiori misfatti dell'umanità!
La mia chiosa riguarda solo il fatto che hai tirato in ballo Ercole e, per SOLE questioni di affinità mitologica, io ho risposto con Achille.
Non c'è alcun nesso con il problema in questione. Accidenti, non vorrei far scoppiare la terza guerra mondiale a causa di un equivoco!
Se mi tratti così, caro Enzo, fai spaventare me!
Forse ho la psicologia d'un potenziale serial killer, un novello Jack the ripper!
Poche ciance e fuori la risposta.... Se no chiamo Ercole!
Ebbene sì, caro Alvy... la colpa del GW è tua e solo tua!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Per il momento alzo bandiera bianca, l'unica cosa che posso dire è che gli oggetti toccheranno contemporaneamente il suolo ed a quel momento i vettori di velocità saranno paralleli...
Poi c'è il caso limite in cui ad uno dei due contendenti scivola la pallina in verticale, allora il t(90) corrisponde al tempo t=0...
Ci penserò ancora...
Anch'io abbandono la nave di Papalla, non ho ancora avuto tempo di leggere gli articoli sui vettori
Ci devo riflettere con calma, però non sono affatto convinto che le due palline tocchino terra nel medesimo istante, ciò a mio avviso accade solo se Va = Vb.
Paolo
No, Paolo, ha ragione Beppe. La velocità iniziale è ininfluente per determinare il tempo di "caduta" al suolo, il vettore velocità è perpendicolare all'accelerazione g, (le masse sono state lanciate perfettamente in orizzontale) quindi non influisce sul tempo di percorrenza della parabola balistica e le due masse toccheranno il suolo nel medesimo istante. La risultante tra i vettori g e v sarà la tangente all'arco di parabola, e sarà in funzione del tempo t. Lascio a qualche volenteroso (uno a caso, Alvy) lo sviluppo delle equazioni della parabola in funzione di v e t.
Hai ragione, cambia la velocità di caduta, ma non il tempo impiegato per raggiungere il suolo.
Paolo
cari amici,
posso dirvi che la soluzione mi è stata mandata (in privato) da Alvy, ma , sebbene giusta, non mi ha soddisfatto: troppa trigonometria e pochi vettori! Se vengono usati nel modo giusto la soluzione è veramente immediata... Anche la seconda versione di Alvy (migliorata di molto) non è ancora abbastanza elegante!
Paolo... ricorda tutti quei bei calcoletti sui versori...
Questa mattina ho ricevuto un messaggio dal pianeta Papalla.
Sembra che il presidente ed il re abbiano iniziato a discutere sull'altezza della torre da costruire.
La questione non si è risolta; d'altra parte sono due personaggi politici e, come tali, sicuramente furbi ma, altrettanto sicuramente, poco intelligenti.
Hanno infine deciso di chiedere aiuto alla loro Dea della sapienza, Papallade Atena (:mrgreen:, e vabbè, ciascuno ha i propri dei). La dea, disturbata mentre era a colloquio con il suo pari grado Apopollo e con uno dei dioscuri (Popolluce) , ha deciso di fornire una risposta ... sibillina.
"Amici miei, l'altezza della torre non potrà essere inferiore al rapporto tra il prodotto delle vostre capacità muscolari ed il doppio della capacità muscolare del pianeta".
Sembra che alla Musica Dea, nel mentre che lasciava il consesso, girassero le papalle!
sì, sì, però potresti risolverlo ancora meglio...
Senti Enzone, ho provato a fare prodotti vettoriali e scalari tra versori di tutti i tipi.
Ho moltiplicato vettorialmente iVA e jVgA (ortogonali) in modo da ottenere il vettore k(VA*VgA);
So che il prodotto vettoriale di VtA e VtB (quando ortogonali) dà luogo al vettore k(VtA*VtB) , essendo VtA = VA + VgA (analogamente VtB).
Li ho girati e rigirati ma …. non ho cavato un ragno dal buco.
Porca pupazza, vuoi vedere che mi devo arrendere?!?!
P.S.: mi sembra che i caratteri in neretto non vengano evidenziati ma, insomma, sappiamo di cosa parliamo.
dai, non dannarti troppo! Hai fatto un lavoro egregio e sono fiero di te!
Come sono buono...
Oggi ho fatto fare due passi a Barbara... (due nel senso letterale della parola, ma già tantissimo!).
Eh si, mi sa che sei stato vittima di un attacco di buonismo.
Sono sicuro che lo debellerai quanto prima!
Per Barbara sono proprio contento.
Scusa Enzo ho una domanda da porre.
Nella soluzione su cui sto ragionando (basata su vettori, versori e rispettive operazioni matematiche), il tempo impiegato affinchè le traiettorie delle due palline siano perpendicolare, ottengo una relazione tra Va, Vb e g, per cui il risultato cambia a secondo del valore delle velocità delle due palline...
Se invece il tempo impiegato è indipendente da Va e Vb, allora sono ancora lontano dalla soluzione.
La domanda perciò è se t90 sia determinabile, al di là del conoscere il valore di Va e Vb.
Paolo
caro Paolo,
vai tranquillo. Il moto di una pallina che viene lanciata orizzontalmente è parabolico, per cui al variare di v cambia sicuramente la tangente alla curva (ossia la velocità totale). Ne segue che il tempo DEVE dipendere dalle due velocità impartite all'inizio. Il risultato deve essere funzione delle velocità... Il moto è composto da due moti: uno rettilineo uniforme (lungo l'asse orizzontale) e uno rettilineo uniformemente accelerato diretto verso il basso. Quest'ultimo è sempre lo stesso, per cui...
E' proprio quello su cui stavo ragionando e per fissare la condizione che le due velocità risultanti siano perpendicolari (90°) ho usato una proprietà del prodotto di due vettori...
Dopo questo chiarimento, non mi resta che cotruire qualche figura e provare a risolvere il quiz, usando vettori e versori.
Grazie.
Paolo
caro Paolo,
un innocente aiutino: non c'è assolutamente bisogno di fare delle figure! Basta ricordare cosa significa il fatto che una certa operazione vettoriale porti a un certo... risultato... Basta un passaggio, te lo assicuro!
Le figure mi servono solo per descrivere il perchè, il risultato matematico l'ho già trovato (poi che questo sia giusto o meno si vedrà).
Paolo
perfetto!
Caro Enzo, la figura contiene soluzione (matematica) e relativa spiegazione... spero sia giusta...
http://www.astrobin.com/full/34209/H/
La figura nasce dalla considerazione che entrambe le palline possiedono una propria velocità costante orizzontale ed una velocità in comune verso il basso che muta nel tempo (ossia un'accelerazione, nel nostro caso quella di gravità).
Considerato che la quantità di moto non è altro che il prodotto della massa per la velocità:
q=mv
i grafici mostrano il confronto tra velocità aventi direzioni diverse che agiscono sulla pallina A e su quella B....e non la traiettoria (parabolica) delle due palline nello spazio.
Spero che il ragionamento sia corretto.
Paolo
Aggiungo solo due figure.
La prima per mostrare come variano nel tempo: la distanza tra le due palline e lo spazio percorso dalle palline verso il suolo.
http://www.astrobin.com/full/34209/K/
La seconda per mostrare le traiettorie paraboliche delle due palline (una simulazione del percorso, usando 5 intervalli di tempo) e la variazione dell'altezza dal suolo nel tempo.
http://www.astrobin.com/full/34209/J/
Paolo
caro paolo,
la tua analisi è stata perfetta! L'importante era solo lavorare con i vettori dopo averli scomposti secondo due direzioni particolarmente favorevoli. Le figure, in fondo, srvono solo per mostrare ciò che capita, ma sono ininfluenti per la determinazione di parametri aggiuntivi, tipo angoli e distanze varie..
Le tue figure sono ottime, tranne che per un piccolo errore nella scrittura del prodotto scalare. Hai giustamente usato il prodotto tra le componenti ma hai scritto vAi VBi e termini analoghi... dato che siamo ancora nella somma di tanti prodotti scalari tra vettori è giusto scrivere vAi x vBi. Non esiste il prodotto ij, ma solo quello iXj e via dicendo.
So benissimo che è stato un modo semplificato di scrivere ciò che avevi in testa, ma è bene trattare e scrivere i passaggi sempre in modo rigoroso. Purtroppo la matematica non ammette scorciatoie "linguistiche"...
Per il resto tutto OK
bravo!!!!!
Capito Alvy?.... bastava scrivere un prodotto scalare... e una somma di vettori
mmmh , le cose troppo facili non sono per me.
Progetto cattedrali per costruire ... appartamentini.
Riporto il breve calcolo da fare per individuare la minima altezza della torre.
La componente verticale del moto è gestita dall’accelerazione di gravità g, per cui il dislivello H che separa la sommità della torre dal punto in cui VtA e VtB sono ortogonali è:
H = ½*g*t90^2 = = ½*g*(VA*VB)/g^2 = (VA*VB)/(2*g)
Se la torre è alta H le due palline atterreranno (anzi ... appapalleranno) con traiettorie le cui tangenti (vettori velocità) saranno ortogonali.
Concludo dicendo che, a causa della presenza di VA e VB (componenti orizzontali dei moti) le due traiettorie non potranno mai essere parallele, a parte l'istante iniziale in cui l'accelerazione di gravità non si sarà ancora manifestata ... sensibilmente.
Questo considerando parallele le linee di forza del campo gravitazionale; se però queste linee manifestassero la vera natura del campo, mostrando la simmetria radiale e la conseguente convergenza ... beh ... ecco pronto il prossimo quiz di Enzo!
Corretto?
Non cercare di gettare fumo negli occhi, caro Alvy, per nascondere il piccolo "flop" sui vettori!!! Il prossimo quiz sarà di ben altra natura e tu godrai come pochi!!!
Ma dai cerco solo di rendermi utile.
Bene bene, attendiamo il quizzone di Enzone!
Caro Enzo hai ragione la forma è importante e il prodotto non è tra numeri o grandezze scalari, ma tra grandezze vettoriali.
In effetti scritta così: Vai Vbi chi legge potrebbe pure concludere che il risultato sia VaVb i^2, mentre scritta Vai x Vbi è chiaro che si tratta del prodotto scalare di due vettori.
Certo sono vettori molto particolari, versori, che grazie al fatto che i e J sono tra loro perpendicolari consentono di semplificare le operazioni, poiché i x i o J xJ daranno sempre come risultato 1, mentre J x i o i x J, zero.
Tra l'altro giusto per confermare quanto dicevi le proporzioni per costruire le prime due figure le ho ricavate prima dalle operazioni matematiche (con i versori) e non viceversa, ossia le figure le ho costruite dopo.
Le proporzioni dell'ultima figura (traiettorie paraboliche), invece sono ad occhio (lo scopo era solo mostrare approssimativamente le traiettorie), le reali proporzioni si ricavano dallo spazio x e y percorso nel tempo.
Comunque, il tentativo di realizzare una figura, spesso mi aiuta a inquadrare, ad analizzare, il problema per cercare la soluzione.... ben inteso non sempre riesco a trovarla, ma anche in tal caso si impara sempre qualcosa, emergono le proprie lacune da colmare, si arricchiscono i propri schemi mentali.
Paolo
caro Paolo,
la penso perfettamente come te. Anch'io ho sempre cercato di fare figure anche per sintetizzare concetti apparentemente solo astratti (vedi geometria 3). E' sempre utilissimo, soprattutto per chi ha una visione geometrica delle cose. Io parlavo di "non necessità" di fare figure solo per aiutare nella soluzione... Appena "posto" la soluzione (è sempre meglio scriverla bene in chiaro) vedrai che anch'io userò due figure...