Questo articolo potrebbe sembrare noioso e -a volte- perfino sovrabbondante nelle sue varie conclusioni. Vi prego di non sottovalutarlo e nemmeno di saltarlo come “inutile”. Solo capendo bene i vari passaggi saremo in grado di comprendere appieno la semplice genialità di Einstein, le basi della relatività ristretta e riuscire a fare il passo decisivo verso il diagramma di Minkowski. Non vogliamo, infatti, descrivere solo la relatività ristretta, ma essere in grado di disegnare su un foglio tutte le linee che vogliamo e capire cosa significano da un  punto di vista relativistico. Allora sì che ci divertiremo davvero!

Ho deciso di presentare prima la derivazione della trasformazione di Lorentz rispetto alle sue conseguenze. Sembrerebbe un procedimento ovvio e, invece, spesso si fa il contrario. Si parte dai fenomeni sperimentali che derivano dai postulati e si trovano abbastanza facilmente le “stranezze” della relatività, come la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze. Da questi risultati di descrivono le trasformazioni matematiche necessarie per ottenerle. Niente di male, ovviamente, dato che la trasformazione di Lorentz nasce in modo indipendente prima dei postulati di Einstein…

Tuttavia, da buon matematico, reputo che sia più giusto (e anche istruttivo) andare per gradi. Al limite, si potrebbe aggiungere, a tempo debito, anche il procedimento inverso, considerandolo come  una specie di esercizio.

Vi sono vari modi per descrivere la derivazione della trasformazione di Lorentz. Alcune sembrano più rapide e semplici, altre più formali e “corrette”. Preferisco usare le seconde perché non mettono polvere sotto al tappeto e non obbligano ad accettare derivazioni logiche poco intuitive e non sempre realmente precise. Se poi, vogliamo usarle, lo possiamo sempre fare…

Bando alle ciance e partiamo, ricordando che usiamo solo e soltanto i due postulati di Einstein con l’aggiunta di quello (apparentemente separato) dell’omogeneità dello spaziotempo.

Abbiamo visto dalla relatività della simultaneità che la trasformazione di Galileo non può funzionare, ma abbiamo anche visto che le relazioni devono essere lineari. Ne segue che esse devono avere questa forma generale

x’ = a₁x + a₂ y + a₃ z + a₄ t

y’ = b₁x + b₂ y + b₃ z + b₄ t

z’ = c₁x + c₂ y + c₃ z + c₄ t

t’ = d₁x + d₂ y + d₃ z + d₄ t         …. (1)

In poche parole, vogliamo trovare i coefficienti a_i, b_i, c_i e d_i che legano le coordinate di un sistema di riferimento a quelle di un altro sistema in moto rettilineo uniforme rispetto a lui (proprio come aveva fatto Galileo).

Notiamo subito un fatto molto importante: il tempo entra in ballo come una qualsiasi coordinata e non è esclusa assolutamente nessuna sua dipendenza delle coordinate spaziali e viceversa. Ricordiamo ancora che Galileo se l’era “cavata” imponendo subito t = t’ (tempo assoluto). Ammissione che ormai sappiamo essere ASSURDA sulla base dei nuovi postulati e della relatività della simultaneità.

Mamma mia, quanti coefficienti da ricavare! Un sistema di quattro equazioni in sedici incognite: impossibile! No, non spaventiamoci… molti di loro si annullano o si determinano in modo intuitivo con piccoli ragionamenti…

Innanzitutto, sappiamo che questi coefficienti devono dipendere dalla velocità del moto relativo dei due sistemi. Infatti, nel caso che la velocità v fosse uguale a zero (sistemi in quiete relativa), è ovvio che dovremmo trovare a₁ = b₂ = c₃ = d₄ = 1 e tutti gli altri uguali a ZERO. E’ l’unico modo per ottenete una NON trasformazione del tipo x’=x, y’=y, z’=z, t’=t, che descriverebbe la perfetta uguaglianza tra le coordinate di due sistemi coincidenti!

Scegliamo una direzione del moto (come avevamo fatto con Galileo) e questa sia proprio l’asse x (possiamo sempre scegliere l’asse x come vogliamo). L’asse x’ coincide, quindi, con l’asse x (ma questo non vuole dire che la x’ di un punto sia uguale alla x del punto! Questo capiterebbe solo se i due sistemi fossero fermi tra loro).

Cosa impone questa scelta agli alti due assi x e y (e ai loro fratelli in movimento y’ e z’)? Una cosa molto importante e intuitiva: se y = 0 e z = 0, deve anche essere y’ = 0 e z’ = 0. Non ho detto niente di speciale! Ho solo detto che i punti dell’asse x (quelli per i quali y e z sono uguali a zero) devono trasformarsi nei punti dell’asse x’ (quelli per i quali y’ e z’ sono uguali a zero). In altre parole, l’asse x (definito proprio da y = 0 e z = 0) rimane sempre se stesso, e coincide con l’asse x’. Questo fatto vuol dire che le relazioni tra y e z e y’ e z’ non devono dipendere da x e x’ e da t e t’. Infatti, se y’ dipendesse anche dal termine in x (o in t), quando si ponesse y = 0 e z = 0, si otterrebbe y’ = b₁x (o b₄t), che non potrebbe essere vero per definizione, dato che y’ deve essere sicuramente uguale a zero. Qualche coefficiente comincia ad andarsene…

Possiamo scrivere:

y’ = b₂y + b₃z

z’ = c₂y + c₃z      …. (2)

Ossia:  b₁ = b₄ = c₁ = c₄ = 0

Non basta ancora, però…

Il piano xy deve trasformarsi nel piano x’y’, così come il piano xz deve trasformarsi in x’z’. Il piano xy è definito da z = 0, così come quello xz da y = 0. Ne segue che la relazione y = 0 deve portare anche a y’ = 0 e z = 0 a z’ = 0. Il che vuole dire, in soldoni, che b₃ = c₂ = 0, come si deriva immediatamente dalla (2).

La (2) diventa:

y’ = b₂y

z’ = c₃z      …. (3)

Cosa vuol dire la (3)? Che le coordinate y’ e z’  potrebbero variare linearmente con y e z. In poche parole, se il sistema S’ si muove rispetto a S nella direzione x = x’, le coordinate y e z si potrebbero allungare o accorciare. Capiamo benissimo che questo è un risultato del tutto assurdo, ma la matematica ci impone di essere rigorosi… Consideriamo, allora, il postulato di relatività e applichiamolo al caso in oggetto. Prendiamo la nostra asta rigida e mettiamola lungo l’asse x nel sistema di riferimento S. La sua lunghezza risulta essere uguale a 1. Come la vede l’osservatore in S’? Basta usare la formula precedente che ci porta a:

y’ = b₂∙1

Ora prendiamo la stessa asta rigida di lunghezza unitaria e la portiamo in S’ lungo l’asse y’. L’osservatore posto in S’ non può che concludere che questa asta ha lunghezza uno nel suo sistema di riferimento. Tuttavia, che cosa dice l’osservatore posto in S ? Utilizziamo nuovamente la formula precedente:

y = y’/b₂ = 1/b₂

Il primo postulato, però, non può che “arrabbiarsi”! Esso dice chiaramente che le misure devono dare risultati identici (siamo o non siamo in sistemi in moto rettilineo uniforme?). Se così non fosse i sistemi di riferimento non sarebbero fisicamente equivalenti, ossia non permetterebbero di descrivere nello stesso modo qualsiasi fenomeno fisico.

L’unico modo per cui questo possa succedere (senza fare arrabbiare il primo postulato) è che b₂ = 1/b₂ , ossia:

b₂ = 1

Analogamente, deve anche essere:

c₃ = 1

Tante parole per concludere, finalmente, che:

y’ = y

z’ = z     …. (4)

Le stesse relazioni descritte da Galileo.

Fermiamoci un attimo a riflettere. Avremmo facilmente potuto concludere subito che un moto lungo un asse cartesiano non può influire sulle coordinate perpendicolari. Quante volte è stata usata questa banale conclusione per dire che la contrazione della lunghezza avviene nel verso del moto? In realtà, si usa, spesso, uno spazio a una dimensione (cosa che noi abbiamo fatto e faremo in futuro) e quindi ciò comporta un’automatica ammissione delle (4).

Altre volte, si utilizzano ragionamenti semplicistici, tipo lo spazio è omogeneo e quindi y e z non possono variare dato che non subiscono l’influenza della velocità v, che si applica solo ai punti dell’asse x. Insomma, ne potete trovare di tutte e di più. E certi ragionamenti “sembrano” rendere più semplice la determinazione delle equazioni di Lorentz.

Non parliamo poi se le ricaviamo DOPO aver visto le conseguenze sperimentali dei postulati di Einstein. In realtà ce lo potevamo anche permettere, dato che l’importante è l’applicazione di qualcosa. Ancora più semplicemente, potevamo riportare le trasformazioni di Lorentz senza dimostrare come si ricavano. In fondo, la descrizione delle conseguenze sperimentali le avrebbero confermate.

Insomma, è una questione di … principio. Abbiamo cercato di usare la matematica e tutti i suoi risvolti decisamente diversi dalla fisica. Abbiamo anche visto, però, che il seguire la sua quasi paranoica ricerca di rigore formale ci ha fatto comprendere molte applicazioni fondamentali per la fisica (come i limiti e le derivate). Accettiamo, quindi, questo “noioso” utilizzo nella trasformazione di Lorentz come un dovuto contributo al linguaggio… della fisica. Poi, potremo anche dimenticarcelo, ma avrà fatto senz’altro fare una bella ginnastica alla nostra mente.

Tuttavia, dato che per introdurre la matematica (e la sua ossessionante ricerca della perfezione) avevamo usato una linea ferroviaria (ricordate?), la proponiamo di nuovo per dare una spiegazione qualitativa della impossibilità di una contrazione o dilatazione delle componenti perpendicolari alla direzione del moto. Seguitemi senza preoccupazioni, dato che la logica è estremamente semplice.

Ragioniamo per assurdo. Ossia, ammettiamo che vi sia una contrazione delle dimensioni trasversali, quando il fenomeno è visto da un sistema in moto relativo. Immaginiamo che ci sia una lunga galleria nella nostra linea ferroviaria. Ammettiamo, ancora, che, per questioni di spesa, la galleria sia solo leggermente più larga dei vagoni del treno. Ossia, il treno ci passi giusto giusto.

Imponiamo la nostra “strana” legge: chi sta fermo nella galleria vede che le dimensioni trasversali del treno (ossia la sua larghezza e/o altezza) diminuiscono all’aumentare della velocità. Saremmo molto contenti: abbiamo speso poco e il treno, a causa della sua velocità, ci aiuta a non avere problemi di urti contro le pareti della galleria.

Purtroppo, la situazione è ben diversa per chi sta sul treno. Per lui è la galleria che si muove a velocità elevata e, quindi, deve valere la stessa regola che vale per il sistema di riferimento precedente (principio di relatività). In poche parole, le dimensioni della galleria (in senso trasversale alla direzione del moto) devono diminuire.

Accidenti, che disastro! La galleria si stringe sempre più e il treno non può che finire incastrato tra le sue pareti: una catastrofe dovuta solo e  soltanto all’aver voluto risparmiare  sulla spesa del tunnel!

No, non è possibile! Si ha un'assurdità perché non può capitare assolutamente che uno stesso fenomeno fisico avvenga (il treno si incastra nelle pareti) o non avvenga (i vagoni scorrono perfettamente) per due osservatori posti in sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme tra loro. I fenomeni fisici devono essere descritti nello stesso modo!

Otterremmo lo stesso risultato assurdo se  l’osservatore fermo in galleria vedesse il treno “allargarsi” sempre più al crescere della velocità. La catastrofe ci sarebbe solo per lui, dato che l’osservatore sul treno vedrebbe la galleria allargarsi sempre più senza alcun timore di “incastro”.

Insomma, scegliete voi la dimostrazione che preferite! Sia attraverso il rigore matematico sia attraverso il solito treno che viaggia verso l’infinito...

Torniamo alle (1), dato che, in fondo, siamo solo all’inizio. Il bello deve ancora venire!

Cominciamo con la relazione che lega t’ alle coordinate del sistema S. Essa vale:

t’ = d₁x + d₂y + d₃z + d₄t

Tuttavia, t’ non può dipendere dalle coordinate y e z. Se così fosse, un orologio posto in y e uno in – y (o in z e in –z’) segnerebbero ore diverse se visti da S’. Ma questo fatto va contro alla simmetria della situazione e, in particolare, contro l’omogeneità dello spazio. L’orologio posto in y e quello in y’ devono comportarsi allo stesso modo. Ne segue che d₂ = d₃ = 0. Ossia:

t’ = d₁x + d₄t

Consideriamo, adesso, la prima equazione:

x’ = a₁x + a₂y + a₃z + a₄t     …. (5)

Siamo proprio nella direzione del moto. Sappiamo che esso avviene con velocità v. Il che vuol dire che per x’ = 0 si deve avere x = vt. Le due relazioni devono essere la stessa cosa: una implica l’altra e viceversa. Vale perciò una relazione del tipo:

x’ = a₁(x – vt)   … (6)

Infatti, per x’ = 0 si ha anche x = vt e viceversa.

Automaticamente si dimostra che y e z non partecipano (come è ormai ovvio) alla trasformazione tra x e t (quindi a₂ = a₃ = 0).

Possiamo scrivere un’uguaglianza banale, ricordando la (5) e la (6):

x’ = a₁(x – vt) = a₁x + a₄t

Risolvendola si ottiene che:

a₄ = - a₁v

Possiamo, adesso, riscrivere le (1), imponendo i valori dei vari coefficienti trovati un po’ alla volta…

x’ = a₁x – a₁vt = a₁(x –vt)

y’ = y

z’ = z

t’ = d₁x + d₄t                       …. (7)

Beh… niente male, da 16 ci siamo portati a 3 coefficienti soltanto! E’ arrivato il momento di mettere in funzione il secondo postulato, quella della costanza della velocità della luce in qualsiasi sistema di riferimento.

Finalmente torniamo alla nostra cara amica “luce” e la trattiamo come un’onda sferica (ma anche come fotoni, tanto è lo stesso...). In realtà, a questo punto, date le relazioni tra y e y’ e tra z e z’, potremmo anche trattarla come un raggio o qualcosa del genere. Ma manteniamo il rigore formale fino in fondo! L’onda parte da O, quando O’ coincide proprio con lui. Una volta partita, l’onda deve essere trattata nello stesso modo nei due sistemi di riferimento, altrimenti il secondo postulato si arrabbierebbe non poco! Qual è il raggio della sfera? Bene è dato dalla distanza di ogni suo punto dall’origine degli assi, ossia:

x² + y² + z² = r²

ma anche da:

x’² + y’² + z’² = r’²

Il raggio non è altro che una distanza e quindi è una velocità moltiplicata per un tempo. Qual è, però, la velocità con cui si propaga l’onda? Beh… proprio c e questo valore DEVE essere lo stesso in entrambi i sistemi! Possiamo allora scrivere l’equazione della sfera come:

x² + y² + z² = c²t²     …. (8)

e anche:

x’² + y’² + z’² = c²t’²     …. (9)

Non ci resta che inserire le equazioni di trasformazione date dalla (7) nell’equazione (9):

a₁²(x –vt)² + y² + z² = c²(d₁x + d₄t)²

Sviluppiamo i calcoli e raccogliamo i termini in x², y², z², t² e xt:

(a₁² – c²d₁²)x² + y² + z² – 2(a₁²v + c²d₁d₄)xt = (c²d₄² – a₁²v²)t²

Questa equazione, però, deve essere uguale alla (8), dato che la sfera è quella che è.

Affinché ciò avvenga deve essere:

a₁² – c²d₁² = 1

a₁²v + c²d₁d₄ = 0

c²d₄² – a₁²v² = c²        …. (10)

Questo è un sistema di tre equazioni in tre incognite che si può risolvere in vari modi e con qualche trucchetto per sveltire i calcoli. Teoricamente, si potrebbe ricavare una variabile da una qualsiasi equazione in funzione delle altre due. Sostituire il risultato in un’altra equazione. Ricavare da questa una variabile in funzione dell’altra e poi, finalmente, sostituire il tutto nella terza equazione. Ormai comparirebbe solo una variabile e si avrebbe il primo risultato. Poi con questo risultato in mano di andrebbe a ritroso ricavando la seconda e, infine, la prima variabile… Insomma, un grande confusione se detto a parole. Meglio passare ai fatti.

Potete svolgere il procedimento da soli come esercizio di pura matematica elementare. Se poi riuscite a trovare da soli qualche “trucchetto” (tipo moltiplicare una certa equazione per qualcosa e un’altra per qualcos’altro in modo da sommarle ed eliminare le parti uguali e di segno opposto) tanto meglio. Consideratelo un esercizio molto utile per prendere dimestichezza con la matematica. In seguito, inserirò anche la via che a me sembra la più rapida.

Fidatevi! Non è tempo perso e la passione per l’astrofisica e per la spiegazione del “tutto” si ottiene anche con questi lavori da “manovale”….

Le soluzioni sono:

a₁ = 1/(1 – v²/c²)^1/2

d₁ = - (v/c²) /(1 – v²/c²)^1/2

d₄ = a₁ = 1/(1 – v²/c² )^1/2              …. (11)

Infine, sostituendo questi coefficienti nella (7), si ottiene la trasformazione di Lorentz:

x’ = (x – vt)/(1 – v²/c²)^1/2

y’ = y

z’ = z

t’ = (t – vx/c²)/(1 – v²/c²)^1/2         …. (12)

Il rapporto v/c viene spesso indicato con β. La quantità ricorrente 1/(1 – v²/c²)^1/2  =  1/(1 –β²)^1/2   prende il celeberrimo nome di fattore di Lorentz. 

E’ bene ricordarcelo, dato che lo useremo spesso e volentieri

β = v/c

γ = 1/(1 –β²)^1/2   

Prima di passare alla verifica “pratica” e sperimentale della trasformazione (i tanto celebri effetti di dilatazione del tempo e di contrazione delle lunghezze), dobbiamo controllare che la (12) segua due regole fondamentali per la sua validità: (a) le equazioni devono valere anche invertendo S’ con S, (b) per velocità molto basse, devono ridursi alla trasformazione di Galileo.

(a) Basta ricavare x, y, z e t in funzione di x’, y’, z’ e t’, tenendo conto che la velocità v vale adesso –v, dato che se S’ si muove verso destra rispetto a S con velocità v, si ha che S si muove verso sinistra con velocità –v rispetto a S’. Il risultato sarà identico alle (12)… provare per credere!

(b) Dobbiamo metterci nelle condizioni in cui v << c ed eseguire le relative approssimazioni. Sicuramente la quantità v²/c² tende a zero, così come v/c² e le (12) diventano:

x’ = (x – vt)/(1)^1/2

y’ = y

z’ = z

t’ = (t – v·0)/(1)^1/2

Ossia:

x’ = x –vt

y’= y

z’= z

t’ = t                     …. (13)

Le (13) rappresentano proprio la trasformazione di Galileo, che quindi può considerarsi più che sufficiente quando i sistemi di riferimento si muovono reciprocamente a velocità decisamente inferiore a quella della luce. In altre parole, basta lei per inviare una sonda in giro per il  Sistema Solare o per descrivere il mondo che riusciamo a toccare e a vedere…

Soffermiamoci a lungo a controllare la diversità effettiva tra il risultato di Galileo e quello di Einstein e cominciamo a notare come il tempo sia diventato una vera e propria coordinata come le altre. Facciamo anche caso che la quantità ct è una lunghezza, uno spazio, e che, quindi, si misura esattamente come la x, la y e la z. Se ponessimo c = 1 (prendessimo la velocità della luce come unità), ct si scriverebbe t e si misurerebbe in metri! Ci torneremo sopra a tempo debito, ma già potete intuire la rappresentazione di uno spaziotempo relativistico, in cui il tempo t scende a stringere la mano allo spazio s… Minkowski sta, infatti, già sogghignando!

Non ho inserito figure, dato che, in fondo, la figura è la stessa che è servita per la relatività galileiana: due sistemi in moto relativo (uniforme) con l’asse x coincidente con x’ (asse del moto) e gli assi x e y coincidenti con y’ e z’ che vengono trascinati solidalmente… La vera differenza è che un fotone che parte da O, quando coincide con O’, si muove con la stessa velocità c nei due sistemi. In ogni istante le distanze del “fotone” dalle origini dei due sistemi di riferimento è sempre data da ct e da ct’… Costruitevela da soli… è veramente immediata.

Questo articolo sembra semplice (e lo è), ma -come già detto- va digerito molto bene prima di passare agli effetti relativistici ed essere sicuri di affrontarli nel migliore dei modi.