Categorie: Fisica classica
Tags: accelerazioni ghiaccio quiz slitta
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:28
QUIZ: una papaslitta senza motore e senza pendenza… ****
In inverno, il papallago ghiaccia completamente e viene usato come un immenso campo da gioco da moltissimi papallini. Come ben sappiamo, i papallini non possono rotolare, ma solo scivolare. Non è molto facile, quindi, per loro, spostarsi su una lastra ghiacciata e completamente liscia. Hanno perciò inventato una specie di slitta, veramente semplice, che possono costruire da soli anche i più piccoli. Ovviamente, non è un mezzo di trasporto molto efficiente, ma è veramente divertente vedere decine e decine di papallini che la usano sulla bellissima papallastra ghiacciata del papallago.
Ciò che si deve fare, in poche parole, è impartire un certa accelerazione alla slitta in modo che una volta messa in moto lei possa continuare a scivolare per inerzia anche su tratti molto lunghi sfruttando la mancanza assoluta di attriti. Qualcuno potrebbe dire che basterebbe spingerla e poi saltarle sopra… ma il divertimento sarebbe relativo e, inoltre, per impartire l’accelerazione necessaria alla slitta, i papallini dovrebbero strisciare sul ghiaccio, cosa decisamente difficile.
Ecco allora nascere la papaslitta, un semplicissimo marchingegno che ogni papallino si costruisce con poco o niente. Ve ne sono di tutti i colori e di grandezza e “forma” diverse. In realtà, la forma generale è sempre la stessa, ma cambia un certo angolo α che definiamo attraverso la Fig.1.
La papaslitta è in pratica una specie di cuneo (un triangolo se visto di lato), alla cui cima sale papallino attraverso una papascaletta che non si vede nella figura. Il sistema papallino più papaslitta è ovviamente fermo sul lago ghiacciato. Papallino si lascia scivolare lungo il piano inclinato della slitta e, in tal modo, riesce a impartire una certa accelerazione al mezzo di trasporto.
Avete notato che la forma non è certo aerodinamica, ma, come sapete bene, su Papalla non c’è atmosfera e quindi nemmeno resistenza dell’aria. Il vento della regata dell’altra volta era creato artificialmente, ma non chidetemi “come”… segreti papalliani! L’accelerazione di gravità di Papalla è, invece, esattamente uguale a quella terrestre e potete chiamarla g.
La papaslitta, di massa M, deve, ovviamente, essere molto leggera. Il nostro Papallino A, di massa m, ne ha costruito una che pesa esattamente come lui. Ossia m = M. Papallino è molto bravo in matematica e in fisica (non per niente è riuscito a vincere la regata velica) e calcola “facilmente” le accelerazioni della papaslitta e di lui stesso durante la scivolata. Decide di usare un angolo α tale che l’accelerazione della slitta sia uguale esattamente a 1/4 della sua. E’ convinto che sia la scelta migliore tra rischio, divertimento ed efficienza. A noi poco interessa se ha veramente ragione… però vi chiedo:
1) qual è questo angolo?
Nel frattempo, vi chiedo anche:
2) calcolare l’espressione generica (qualsiasi M, m e α) dell’accelerazione a cui è soggetto papallino A lungo la sua discesa sul piano inclinato e l’accelerazione a cui è soggetta la papaslitta lungo la superficie ghiacciata (rispetto a un sistema di riferimento unico, come un osservatore solidale con il lago).
Ovviamente, per rispondere alla (1) sarebbe bene rispondere prima alla (2)…
In poche parole, voglio le accelerazioni e non mi bastano le velocità…
Viva Papalla!
28 commenti
OK, apriamo le danze...
L'espressione generica dell'accelerazione lungo il piano inclinato subita dal Papallino è a=mgsinα/m, semplificando a=gsinα e quindi risulta indipendente da m.
E fin qui ci siamo...
Ora le cose si complicano...
La forza F esercitata dal Papallino, si distribuisce sul peso slitta+Papallino per determinare l'accelerazione della slitta. Ossia essendo a=F/m ed essendo F=mgsinα, sostituendo si ha che, poichè M=m, mgsinα/2m e semplificando a=gsinα/2. (1)
Dobbiamo però considerare la componente orizzontale dell'accelerazione della slitta, quindi la (1) diventa a(slitta)=cosαgsinα/2
Ne consegue che il rapporto a(papallino)/a(slitta) è 4 per gsinα/(cosαgsinα/2) = 2/cosα. Ossia cosα=1/2 per un angolo di 60°.
Attenzione...
l'accelerazione di m deve tener conto anche dell'accelerazione che subisce in quanto si muove con la slitta e non solo di quella dovuta direttamente alla componente della forza peso. Essa vale giustamente g sin(alfa), ma si distribuisce sia su quella lungo s che lungo x...Temo che si debba comunque partire dalla conservazione della quantità di moto... Cerca di darmi le formule delle due accelerazioni senza pensare ancora al fatto che m=M e poi valuta bene se hai tenuto conto di tutte le componenti in gioco...
Potrei anche aver complicato io la soluzione, ma vorrei una spiegazione più esauriente... per convincermene...
Temo che il rapporto tra le due accelerazioni semplifichi un termine, che però deve esistere comunque nelle due accelerazioni...
Il papallottero scivola lungo il piano inclinato con un’accelerazione pari alla proiezione dell’accelerazione di gravità (dirazione verticale) sul piano inclinato.
Quindi, applicando la trigonometria, si ottiene: ap=g*sinα.
Il papallastro è dunque spinto, lungo il piano inclinato, da una forza pari a Fp=m*g*sinα che è un vettore parallelo al piano inclinato.
Inoltre il papallicchio trasferisce alla slitta, per reazione, un impulso dovuto alla componente orizzontale della forza Fp. Tale componente vale, sempre applicando la trigonometria, Fpo=Fp*cosα.
La slitta sarà sottoposta alla forza Fs, orizzontale e diretta in senso opposto ad Fpo. Dall’uguaglianza degli impulsi ottengo:
Fpo*dt = - Fs*dt
dt rappresenta l’intervallo temporale in cui la forza viene applicata.
Abbiamo che: m*g*sinα*cosα = -Fs = -M*as
In definitiva:
as = (m/M)*g*sinα*cosα
oltre a:
ap=g*sinα.
Per la tranquillità del papallonzo possiamo porre as=0,25*ap e m=M ottenendo:
cosα = 0,25
α = arc-cos 0,25 = 75,5°
Chissà se il papallacchio s'è rotto l'osso del collo.
Correct Enzone?
purtroppo devo dire di no... anche tu hai dimenticato alcune componenti. m viaggia insieme alla slitta e in verso opposto (lungo x) e quindi ci sono due accelerazioni in gioco. Idem per l'accelerazione lungo s (una va in giù e un'altra va in su...). Insomma, è un po' più complicata la faccenda...
Ah, se ho ben capito vuoi l'accelerazione del papallo rispetto alla terraferma e non rispetto alla slitta.
Enzo, non ne sono del tutto convinto... Abbiamo 2 sistemi di riferimento, il primo (rispetto al Papallo) è rappresentato dalla slitta, il secondo (rispetto al papallo+slitta) è esterno (la superficie ghiacciata). Rispetto alla slitta le forze che agiscono sul Papallo sono la forza di gravità e la resistenza normale. La loro somma vettoriale determina la componente parallela al piano inclinato. La componente lungo l'asse x serve per determinare la forza di reazione, uguale e contraria, che agisce sulla slitta, non sul Papallo.
Il rapporto delle due accelerazioni *deve* semplificare poiché deve restituire un valore modulo.
Poi o sei tu che vuoi complicare il tutto o sono io che non sono riuscito a capire cosa intendevi...
Comunque secondo me la slitta non si muove, il Papallo B, invidioso perché ha perso la regata, gli ha inchiodato la slitta!!!
Va bene, va bene, stiamo calmi!
Direi di continuare ad elucubrare con le indicazioni in più che ci ha dato Enzo senza chiederne di ulteriori, altrimenti non c'è gusto.
cerco di chiarirmi meglio...
il sistema è slitta più papallino ed esso è fermo all'istante iniziale. Quando papallino si lascia scivolare, la slitta si muove e , ovviamente, a me interessano entrambi i moti del sistema. Il punto chiave è che il movimento lungo il piano inclinato ha due componenti di accelerazione, così come quello sulla linea del ghiaccio. Ricordiamo che muovendosi la slitta si muove anche papallino e viceversa. le due accelerazioni non possono ricavarsi una alla volta, ma devono essere legate da due relazioni, una secondo s e una secondo x.
Questo è il motivo per cui desidero avere la descrizione completa delle due accelerazioni e non solo del loro rapporto, dove -ovviamente- si eseguono semplificazioni.
Dato che sono interessato a entrambi i movimenti è naturale che bisogna riferirsi a un sistema esterno. Forse Celterman ricava prima un'accelerazione rispetto alla slitta e poi un'accelerazione rispetto al ghiaccio... A me interessa il movimento complessivo del sistema rispetto al ghiaccio... Altrimenti non consideriamo il movimento del sistema nel suo complesso.
Sì, è proprio come pensavo...
Celterman ricava l'accelerazione di papallino rispetto alla slitta (in moto accelerato) e poi ricava il moto della slitta rispetto al lago fermo. Io pensavo ovvio che entrambe le accelerazioni venissero riferite a un unico sistema di riferimento (ossia il lago). Non sono stato, però, abbastanza esplicito... Chiedo venia a Celterman per non essere stato abbastanza preciso: quello che a uno sembra ovvio non lo è per gli altri. Si impara sempre qualcosa...
Adesso dovrebbe essere chiaro cosa vorrei vedere (a parte il rapporto tra le accelerazioni)... Ho aggiunto una precisazione nel testo.
Grazie a Celterman per avere evidenziato una possibile diversa interpretazione dell'esercizio, che ora è stato chiarito perfettamente (spero...).
E' vero, Enzo, è sempre una questione... ...relativa!
Intanto il Papallo B (quello che aveva inchiodato x scherzo la slitta), mi ha aiutato a chiarirmi un po' più le idee... Nel senso che un sistema non vincolato come è quello costituito dal Papallo A + la slitta libera NON può avere una energia complessiva superiore a quella del sistema vincolato poichè le forze in gioco sono tutte conservative e non vi è nessun apporto di forze esterne al sistema.
Ne consegue che se il Papallino imprime (tramite una forza F) un'accelerazione (a) alla slitta, per la Legge di Conservazione la stessa quantità deve essere sottratta alla *sua* accelerazione. Detto in altri termini l'accelerazione impressa alla slitta tende a far muovere il Papallino a velocità costante lungo il piano inclinato...
Rivedo la mia precedente soluzione tenendo conto del moto del papallico rispetto alla (papallaferma)terraferma.
Il papallottero accusa l’accelerazione gravitazionale g diretta ovviamente verso il basso (direzione verticale).
Questo vettore può essere scomposto in quattro componenti, frutto, a loro volta, della scomposizione delle due componenti principali.
1^ componente principale (appi): proiezione di g lungo il piano inclinato.
2^ componente principale (apni): proiezione di g normale al piano inclinato.
Scomponiamo ora la 1^ componente principale nelle seguenti due.
1^ sub-componente principale (appio): proiezione di appi lungo l’orizzontale.
2^ sub-componente principale (appiv): proiezione di appi lungo la verticale.
Scomponiamo la 2^ componente principale nelle seguenti due.
3^ sub-componente principale (apnio): proiezione di apni lungo l’orizzontale.
4^ sub-componente principale (apniv): proiezione di apni lungo la verticale.
Calcoliamo le singole componenti:
(appi) = g*sinα
(appio) = (appi)*cosα = g*sinα *cosα
(appiv) = (appi)*sinα = g*sinα *sinα
(apni) = g*cosα
(apnio) = -(apni)*sinα = - g*cosα *sinα
(apniv) = (apni)*cosα = g*cosα *cosα
Il senso positivo orizzontale è diretto verso destra, mentre in verticale è diretto verso il basso.
Si può osservare che (appio) e (apnio) sono vettori della stessa intensità, paralleli e diretti in senso opposto; cosa peraltro da attendersi, visto che il vettore originario g ha direzione verticale.
Cosa succede al papallottero?
Il papallottero scivola lungo il piano inclinato con un’accelerazione, rispetto alla slitta, pari alla proiezione dell’accelerazione di gravità g sul piano inclinato (appi).
D’altra parte la slitta accusa un’accelerazione in senso opposto pari ad (apnio), trasmessa dalla reazione al moto del papallico.
L’accelerazione del papallottero rispetto alla terraferma sarà dovuta solo alla componente verticale (appiv), visto che le componenti orizzontali (appio) e (apnio) si annullano.
Quindi, l’accelerazione del papallottero rispetto alla terraferma dovrebbe essere: (appiv) = g*sinα*sinα diretta verticalmente. Un osservatore esterno lo vedrebbe precipitare con tale accelerazione.
La slitta?
La slitta sarà mossa verso sinistra dalla reazione prodotta dall’impulso del moto del papallottero. Posso uguagliare i due impulsi (che è poi un altro modo d’imporre la conservazione della quantità di moto: F*dt = m*(dv/dt)*dt = m*dv)
Fp*dt = -Fs*dt
m*(appio)*dt = - M*as*dt
m*g*sinα*cosα = - M*as
da cui:
as = (m/M)*g*sinα*cosα
Se l’accelerazione della slitta deve essere 0,25 volte quella del papallottero, con m = M:
g*sinα*cosα = 0,25*g*sinα*sinα
cosα = 0,25*sinα
tgα = 4
α = arctg4 ≈ 76°
Beninteso, per accelerazione del papallottero intendo quella rispetto alla terraferma.
Se ho toppato, caro Enzo, mi puoi esporre al pubblico ludibrio!
No, Alvy, non ci siamo...
teniamo presente che l'accelerazione del papallino (che avviene solo lungo una direzione) è composta da due componenti (una verso destra e una verso sinistra...), mentre il moto della slitta no o quantomeno dipende dalla conservazione di qualcosa. In poche parole, secondo la "mia" soluzione per risolvere entrambe le accelerazioni lungo x (slitta) e lungo s (papallino) bisogna risolvere un sistema di due equazioni in due incognite... Le due accelerazioni vanno risolte insieme attraverso il sistema e non una alla volta (a meno che non ci sia un metodo diverso... in fisica ci sono sempre vari modi per ottenere qualcosa...).
Ricordatevi che ho parlato di derivate... e -secondo me- ci vogliono...
va bene, va bene... ancora un aiutino (forse era un po' troppo difficile...): il moto lungo l'asse x ha bisogno della conservazione della qm. Il moto lungo s solo della gravità, tenendo però conto dell'accelerazione indotta sulla slitta. Non so se aiuta... ma di più non posso dire...
Caro Enzo, tutte le cose che hai scritto mi tornano.
Cioè a dire:
L’accelerazione del papallino (che avviene solo lungo una direzione) è composta da due componenti (una verso destra e una verso sinistra…).
Il moto lungo s ha bisogno solo della gravità, tenendo però conto dell’accelerazione indotta sulla slitta.
Il moto della slitta dipende dalla conservazione di qualcosa, cioè la qm.
In effetti nei miei calcoli c'è tutto ciò. Naturalmente questo non basta ad asserire che la mia soluzione sia corretta ma ... è che non riesco a vedere altro.
Permetimi una procedura poco ... ortodossa. La tua soluzione (che è ovviamente quella corretta) conduce ad un risultato diverso dal mio?
Caro Alvy,
i risultati non tornano... proprio perché nelle tue formule delle accelerazioni tu "riesci" a separarle, mentre esse sono sempre legate sia nel moto lungo s che lungo x... Poi tu parli di accelerazione perpendicolare, il che non ha senso nel piano inclinato, come dimostrato dall'utilizzo fattone da Galileo...
E' più facile di quanto si pensi, te lo assicuro... ma bisogna avere pazienza e separare il moto lungo x da quello lungo s... In entrambi giocano le due accelerazioni che cerchiamo...
Caro Enzo, penso di aver commesso un grave errore logico. Vorrei dividere la mia trattazione in due parti in modo da trattare nella prima, cioè questa, una questione generale che mi sembra molto interessante e che mi ha portato fuori strada.
Intanto affrontiamo la questione della conservazione della quantità di moto. Se la slitta si muove orizzontalmente verso sinistra di moto accelerato è perché le è stata applicata orizzontalmente una forza (e quindi un’accelerazione) diretta nella stessa direzione e verso.
Sappiamo che esiste il principio di conservazione della quantità di moto che può essere applicato in assenza di forze esterne. Ragioniamo allora sulle velocità tralasciando le accelerazioni.
M*vs = m*vpot
Quanto vale vp, cioè la velocità del papallottero lungo il piano inclinato?
Beh, sappiamo che il papallottero si muove lungo il piano inclinato con accelerazione ap = g*sinα.
La velocità corrispondente sarà: vp = g*sinα*t. Valore relativo alla slitta.
Si deve ora calcolare la componente orizzontale vpo della velocità del papallottero:
vpo = g*sinα*cosα*t
questa è però la componente orizzontale rispetto alla slitta in movimento. Siccome la slitta è spinta verso sinistra con velocità vs, avrò che la velocità vpot, cioè rispetto alla terraferma, varrà:
vpot = g*sinα*cosα*t – vs.
Posso così impostare il sistema delle due equazioni in due incognite cui hai fatto riferimento:
M*vs = m*vpot
vpot = g*sinα*cosα*t – vs.
fatti i vari passaggi si ottiene:
vpot = [M/M+m)]*g*sinα*cosα*t
vs = [m/M+m)]*g*sinα*cosα*t
Si può passare all’accelerazione derivando rispetto al tempo, per ottenere:
as = [m/M+m)]*g*sinα*cosα
accelerazione a cui è soggetta la slitta. Per l’accelerazione (totale) del papallottero rimando alla seconda parte perché ora mi sta a cuore un’altra faccenda su cui vorrei ti esprimessi. E’ una questione concettuale piuttosto interessante.
---------------------------------------------------
Cambiamo orizzonte sostituendo una sfera alla slitta. Immaginiamo di applicare alla sfera una forza costante in modulo, verso e direzione. Pensiamo però che il vettore forza scenda, sempre mantenendo la direzione originaria, lungo la superficie della sfera.
Nell’istante iniziale sia tangente alla sfera. In questo caso la forza produrrà una coppia che farà ruotare SUL POSTO la sfera.
Nel tempo il vettore forza scenderà ed allora potremo pensare di scomporre tale vettore in due componenti: una tangente alla sfera nel punto di contatto e l’altra normale alla sfera nel punto di contatto (la cui direttrice passerà per il centro della sfera).
La prima componente produrrà, di nuovo, una coppia e la conseguente rotazione SUL POSTO, la seconda spingerà la sfera facendola muovere.
Questa seconda componente varia nel tempo, in modulo e direzione. Quando la forza è applicata lungo la direttrice che conduce al centro della sfera esisterà solo la seconda componente.
Nel nostro caso la slitta può muoversi solo in senso orizzontale e la spinta che produce, per reazione, tale moto è variabile al variare della posizione del papallottero.
In conclusione io non posso scrivere:
Fs*dt = Fp*dt
perché la componente di Fpo che produce movimento, per quanto visto, varia nel tempo mentre io porto in conto un valore costante che conduce ad as =(m/M)*g*sinα*cosα.
A ben vedere l’accelerazione computata in questo modo è superiore a quella corretta e penso che ciò accada proprio perché non tolgo quella parte della forza che produce la sola coppia.
Allora il “principio di conservazione dell’impulso” è valido a patto che se faccia un uso corretto!
D’altra parte le forze (e le relative accelerazioni) sono le cause che producono le velocità. Per non sbagliare si deve capire esattamente qual è la componente che genera l’effetto preso in considerazione ed io non l’ho capito!
Bene, caro Enzo, cosa ne dici?
Della seconda parte parliamo domani, semprechè sia corretta la prima!
Bravo, Alvy. Enzo aveva chiesto una derivata e tu l'hai accontentato! Speriamo che ora sia contento!!!
L'unica cosa è che hai espresso l'accelerazione della slitta (as) praticamente con la stessa formulazione che avevo fatto io (a(slitta)=cosαgsinα/2), e quella non gli stava bene...
Temo perciò che manchi ancora qualcosa, ma forse lo spiegherai nella seconda parte (traslazione di sistema inerziale?)...
Ciao DRUIDO (se Celterman vuol dire uomo più celtico, cosa c'è di più celtico di un druido?
)
Non mettiamo il carro davanti ai buoi ed aspettiamoci fulmini e saette da parte del buon Enzo!
Ok, attendiamo il responso dell'oracolo!!!
P.S. No, non ho origini celtiche... Ma (le origini) sono... ...ancora più antiche...
devo fermarti subito Alvy... la conservazione della quantità di moto non va bene... dato che la slitta trascina con sé anche il paperottolo... Ricominciamo meglio...
Bene. Azzeriamo tutto e iniziamo dai massimi sistemi.
Un osservatore esterno vede, inizialmente, slitta e papallerottolo fermi.
Non appena il papallino si muove, sotto l’effetto dell’unica forza presente (la gravità), l’osservatore vede muovere anche la slitta per garantire la conservazione della quantità di moto.
Per quest’ultima ragione, qualcosa si deve muovere verso destra e qualcos’altro verso sinistra, ciascuno con le rispettive velocità, sempre viste dall’osservatore esterno.
La slitta, sotto l’impulso ricevuto dal papallico, si dovrà muovere verso sinistra, con velocità vs (qualunque essa sia).
Di conseguenza il papallottero si muoverà verso destra, con velocità vpo, qualunque essa sia.
Le velocità sono sempre relative all’osservatore esterno, immobile sulla terra…ferma.
Sarà quindi:
M*vs + m*vpo = 0 (1)
Vs/vpo = m/M
Fin qui mi pare ci sia poco da discutere.
Ora, calcoliamo la velocità del papalloidale rispetto alla slitta:
vpi = g*sinα*t
Questo vettore ha direzione obliqua, parallela al piano inclinato.
Siccome vs è orizzontale, la conservazione della quantità di moto (che è una conservazione vettoriale) impone che il valore del vettore da inserire nella (1) sia quello della componente orizzontale:
vpio = g*sinα*cosα*t
Non basta. Questo vettore è si orizzontale, ma ancora relativo alla slitta. Ci occorre riferire la velocità alla terraferma.
Il papallauro, restando aderente al piano inclinato, si sposta verso sinistra solidalmente alla slitta, quindi:
vpo = vpio – vs = g*sinα*cosα*t – vs.
Da ultimo, sostituendo nella (1):
M*vs = m*(g*sinα*cosα*t – vs)
Vs = [m/(M+m)]*g*sinα*cosα*t
Vpo = [M/(M+m)]*g*sinα*cosα*t
Rimanendo confermato che:
Vs/vpo = m/M
L’accelerazione della slitta sarà:
as = [m/(M+m)]*g*sinα*cosα
Sono quindi giunto alla conclusione che hai già bocciato.
Non so, non riesco a vedere altro.
Alvy, forse Enzo ha bocciato la soluzione non perchè sia sbagliata, ma perchè non è completa...
Rileggendo bene la domanda, vuole che calcoliamo l'espressione generica dell'accelerazione del papallo "rispetto a un sistema di riferimento unico, come un osservatore solidale con il lago".
Quella della slitta è già stata fornita.
Rimane quindi solo il movimento del papallo rispetto a un riferimento esterno.
Altrimenti non so più a cosa pensare...
Caro Celterman, se sapessi cos'ha in testa Enzo, sarei pronto per il Nobel
Comunque, pur ammettendo che ho scoperto l'acqua calda, vorrei capire dov'è l'errore logico nell'ultimo ragionamento che ho riportato.
Non penso che i commenti di Enzo dipendano dal fatto che la mia risposta è incompleta, perchè questo l'ho già segnalato. Prima di procedere però voglio essere certo che fin qui ... ci siamo!
Altrimenti vorrà dire che riprenderò il libro di fisica delle elementari!
Ah, dimenticavo.
Enzo chiede ANCHE l'accelerazione della slitta!
Io intanto ho fornito quella (semprechè sia giusta!).
Alvy, secondo me l'accelerazione della slitta è corretta ed è calcolata rispetto al riferimento esterno.
Per quanto riguarda il libro delle elementari, lo trovo fuorviante... Su quello che usò mio figlio c'era scritto che il nostro Sole è composto di idrogeno e ossigeno!!!
All'epoca scrissi alla casa ed., lo stesso ha fatto l'UAI al quale avevo segnalato il fatto, ma ovviamente (forse per la vergogna) non hanno mai risposto...
Guarda Celterman, se Enzo mi risponde che l'accelerazione della slitta è sbagliata farò un passo indietro autoescludendomi dal blog per ... manifesta incompetenza!
Più o meno come fanno i politici ... ahò!
caro Alvy,
dunque... innanzitutto la relazione
M*vs + m*vpot = 0 (1)
NON è giusta!
Inoltre, ti consiglio di ricavare le due equazioni con le due incognite già espresse come accelerazioni. Almeno io l'ho risolto così... Quel tempo t mi dà un po' fastidio pensando che NON è v = s/t, ma v =ds/dt...
Infine, g sin alfa non è SOLO uguale all'accelerazione del papallino in discesa, ma deve tener conto anche dell'accelerazione di papallino che accelera con la slitta. Ricordiamo che l'unica forza agente è la gravità che subisce papallino e quindi anche l'accelerazione della slitta deve dipendere da lei, se no chi la creerebbe?
Comincia a scrivere la conservazione della quantità di moto e lascia scritte tranquillamente le due incognite dx2/dt2 e ds2/dt2. Poi fai cosa analoga con le accelerazioni lungo s tenendo però conto che sono di nuovo due che devono però nascere entrambe dalla gravità...
E, per adesso lasciamo stare la sfera che rotola... non complichiamo ancora una faccenda già abbastanza complessa, direi....