Disegniamo la Fig. 1, con la traiettoria dell’asteroide che sfiora letteralmente Papalla.

Quando l’asteroide si trova molto lontano da Papalla con velocità (corretta) v_C, il suo momento angolare rispetto a Papalla è:

I_L = m v_C d

L’unica forza che agisce sull’asteroide è la forza di gravità di Papalla, ma essa passa per il centro di Papalla, per cui non aggiunge alcun momento. Ne segue che durante tutto il tragitto il momento angolare dell’asteroide deve rimanere costante (conservazione del momento angolare). In  particolare, nel momento di tangenza a Papalla, vale:

I_T = m R V

Abbiamo la rima relazione:

m v_C d = m R V

ossia:

V = v_C d/R     …. (1)

Durante il viaggio, però si deve conservare anche l’energia totale. Quando l’asteroide è lontano l’energia è solo cinetica, ossia abbiamo:

E_L = ½ m v_C²

Quando l’asteroide arriva al punto di tangenza la sua energia è sia cinetica che potenziale, dovuta alla gravità di Papalla. Abbiamo allora:

E_T = ½ mV² – GMm/R

La conservazione ci impone che:

½ m v_C² = ½ mV² – GMm/R

Ossia:

V² = v_C² + 2GM/R     …. (2)

Uguagliando (1) e (2) si ottiene subito il valore necessario di vC:

v_C² d²/R² = v_C² + 2GM/R

v_C²(d²/R² -1) = 2GM/R

v_C² = 2GM/(R(d²/R² -1)) = 2GM/(R(d² – R²)/R²) = 2GMR/(d² – R²)

v_C = (2GMR/(d² – R²))^1/2

I papalli sono salvi…