Per dimostrare graficamente la relazione che lega le lunghezze della trasformazione di Lorentz, continuiamo a usare il nostro orologio a luce. Dobbiamo, però, aver già ricavato la relazione che “dilata” i tempi. Questa volta sistemiamo l’orologio a luce in posizione orizzontale, lungo l’asse dello spazio, ossia dell’ascissa x. Ci sistemiamo in un sistema di riferimento “fermo” S e osserviamo ciò che avviene a un orologio a luce posto nel sistema S’ che si muove rispetto a noi con velocità v.

Lo specchio A coincida con un certo punto dell’asse x che chiamiamo x_A nel momento in cui la luce parte da A (Fig. 1a).

Il tempo relativo, misurato con un orologio posto in x_A sia t₀. La luce viaggia, ma viaggia anche l’orologio a luce. A un certo tempo t₁ la luce colpisce lo specchio B, giunto nella posizione B₁ e viene rimandata indietro (Fig. 1b). Questa posizione la chiamiamo x_B1. Nello stesso istante lo specchio A si trova in A₁ di ascissa  x_A1. La distanza tra A₁ e B₁ è misurata nello stesso istante da due orologi sincronizzati del sistema S ed è pari alla lunghezza L dell’orologio a luce. Qual è la distanza d₁ percorsa dalla luce che è partita da A all’istante t₀ e arriva in B₁ all’istante t₁?

La Fig. 1b ce lo dice subito:

d₁ = (x_A1 – x_A) + L      …. (1)

ma

x_A1 – x_A = v(t₁ – t₀)

Per semplicità scriviamo:

Δt₁ = (t₁ – t₀)

Da cui

d₁ = v Δt₁ + L

Andiamo avanti e stabiliamo il nuovo tempo t₂ in cui la luce che è tornata indietro colpisce lo specchio A che si è portato in A₂. Ovviamente, il tempo è misurato dall’orologio posto in A₂. Quanto vale, adesso la distanza d₂ percorsa dalla luce che è partita da B₁ all’istante t₁ ed è arrivata in A₂ al tempo t₂?

Non è difficile rispondere guardando la Fig. 1c. La luce è partita dal punto di ascissa x_B1 e torna indietro al punto di ascissa x_A2. Notando che x_B1 non è altro che d₁, possiamo allora scrivere:

d₂ = d₁ – (x_A2 – x_A) = (x_A1 – x_A) + L - (x_A2 – x_A) = (x_A1 – x_A) + L – ((x_A2 – x_A1) + (x_A1 - x_A)) = x_A1 – x_A + L - x_A2 + x_A1 - x_A1 + x_A

d₂ = L – (x_A2 - x_A1)

Ma

x_A2 – x_A1 = v(t₂ – t₁)

Ponendo, come prima:

Δt₂ = t₂ – t₁

Si ha

d₂ =  L - v Δt₂

Tuttavia, dobbiamo ricordare che la distanza d₁ è il percorso compiuto dalla luce per andare dallo specchio A allo specchio B e d₂ è il percorso compiuto dalla luce per tornare da B ad A.

Ne segue che

d₁ = c Δt₁

e

d₂ = c Δt₂

Da cui:

d₁ = v Δt₁ + L = c Δt₁

e

d₂ = L - v Δt₂ = c Δt₂

Dalla prima si ottiene:

Δt₁ = L/(c – v)

Dalla seconda:

Δt₂ = L/(c + v)

Sommando:

Δt = Δt₁ + Δt₂ = L/(c – v) + L/(c + v) = (L c + L v + L c – L v)/(c² – v²) = 2L c/(c² – v²)

Mettendo in evidenza c² al denominatore, abbiamo:

Δt = (2L c/c²)(1/(1 – v²/c²)) =  (2L/c)(1/ (1 – v²/c²))   …. (2)

Ma, quando abbiamo ricavato lo stesso valore la volta scorsa (poco prima di giungere alla relazione relativa al tempo della trasformazione di Lorentz), si era ottenuto:

Δt = (2L₀/c)(1/(1– v₂/c₂)^1/2)     …. (3)

Il sistema di riferimento è lo stesso e quindi la  (2 ) e la (3) devono coincidere!

Questo capita se e solo se:

L = L₀ (1– v²/c²)^1/2

Che è proprio la relazione della trasformazione di Lorentz che dimostra la contrazione delle lunghezze.

Se ne conclude che  la dilatazione dei tempi implica la contrazione delle lunghezze e viceversa.