QUIZ: Bilanciare la gravità */**
Siete un celebre viaggiatore spaziale (potrei dire che provenite da Papalla, ma è meglio lasciare da parte i nostri amici a “tutto tondo”). State visitando centinaia di sistemi binari privi di pianeti (o, se ci sono, NON influenzano la gravità dovuta ai due astri dominanti). Per potere studiare adeguatamente le coppie stellari e per risparmiare carburante dovete sistemarvi in un punto molto favorevole. Questo punto deve trovarsi lungo la congiungente le due stelle (S1) e (S2), di massa M1 e M2, proprio dove vi sia perfetto equilibrio tra le due forze di gravità. La vostra massa m è, ovviamente, trascurabile. La domanda è molto semplice e veramente ridicola: “Calcolare la distanza della vostra posizione rispetto alla stella S1 (potete anche farlo rispetto a S2, dato che è la stessa cosa)” .
Con la relativa risposta si risolve il problema “fisico”, di una semplicità adatta proprio a tutti i lettori. Sarebbe molto bello, però, fare uso di un po’ di matematica (in attesa di riprendere gli articoli relativi) e quindi vi chiedo: “Determinate una semplice funzione, del tipo y = f(x), che leghi le masse delle due stelle (qualsiasi) e la posizione corrispondente del punto di equilibrio. Scegliete la soluzione più semplice o che più vi piace, concludendo con una rappresentazione grafica (o -almeno- con una descrizione delle sue caratteristiche essenziali)”.
Vi sono molte possibilità, alcune veramente immediate. L’importante è scegliere la variabile x e la variabile y nel modo più utile allo scopo. Una volta disegnato il grafico, sarà interessante e istruttivo calcolare il punto di equilibrio gravitazionale per tutte le coppie di stelle, pianeti, satelliti, ecc., che volete. Ad esempio, quello tra la Terra e il Sole, o tra la Terra e la Luna o -perché no?- quello tra Giove e il Sole… e via dicendo…”. Per ogni coppia scelta, dovete trascurare la gravità di tutto ciò che rimane attorno.
Un giochino più matematico che fisico, ma che può farvi fare un bel ripasso delle funzioni elementari e -a seconda della scelta che fate- anche delle equazioni di secondo grado. Con poca fatica si possono risolvere problemi pratici spesso non valutati quantitativamente o trascurati del tutto.
Buon divertimento…
49 commenti
Dall'eguaglianza della due accelerazioni risulta R1/R2 = (M1/M2)^0.5 = a
Volendo esprimere R1 o R2 in funzione della distanza D tra le due masse basta risolvere il sistemino
R1/R2 = a
R1 + R2 = D
ottenendo
R2 = D(1/(1+a))
R1 = D(a/(1+a))
Troppo elementare!!!!!!
attendo molte altre risposte, ovviamente. Poi premieremo la più elegante...
Che sia elementare è pacifico, ma così spero che rispondano in tanti. Ah... cercate anche di applicarla a oggetti a portata di ... mano!
Ah no, se c'è un premio in palio partecipo anch'io!
Uffa, dimenticavo che le mie soluzioni non sono mai eleganti ...
Caro Enzo mi sono divertito a fare qualche disegnino....
Un bel sistema binario con una stella di massa Ma simile al sole (2 x 10^30 kg) con una compagna di massa 4 volte superiore (8 x 10^30 kg).
http://www.astrobin.com/full/38902/B/
La Forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla stella A è pari a:
Fa= m a
dove m è la massa della nostra astronave ed a l'accelerazione di gravità
a = GMa/ra^2
ra è la distanza dell'astronave dal centro (di gravità) della stella A.
Fa = GmMa/ra^2
Analogamente la stella B esercita sull'astronave una forza di attrazione gravitazionale, pari a:
Fb = GmMb/rb^2
Queste due forze devono equivalersi, ossia annullarsi l'un l'altra, per cui:
Fa -Fb = 0
Fa = Fb
GmMa/ra^2 = GmMb/rb^2
Ma/ra^2 = GmMb/Gm rb^2
Ma/ra^2 = Mb/rb^2
Ma/Mb= ra^2/rb^2
ra^2 = (Ma/Mb) rb^2
ra = (Ma/Mb)^1/2 rb
La relazione che lega i due raggi (ossia la distanza dell'astronave dalla stella A e dalla stella B) dipende dalla radice quadrata del rapporto tra le masse delle due stelle (Ma/Mb)^1/2 .
Dato che le Masse delle due stelle sono quelle che sono, il loro rapporto è costante e rimane tale anche estraendo la radice quadrata.
La relazione che lega la distanza dell'astronave dalla stella A (ra) e dalla stella B (rb) è identica alla funzione di una retta:
y = m x
basta sostituire ra ad y; rb ad x e (Ma/Mb)^1/2 ad m:
ra = (Ma/Mb)^1/2 rb
http://www.astrobin.com/full/38902/C/
Nell'esempio, che ho usato, si conoscono le Masse delle due stelle, per cui:
m = (Ma/Mb)^1/2
m = (2 (10)^30/ 8 (10)^30) ^1/2
m = (1/4 ) ^1/2
m = ½ = 0,5
per cui:
y = m x
ra = m rb
ra = ½ rb
o anche :
rb = 2 ra
Se la distanza tra i centri delle due stelle è di 3 miliardi di Km, dato che :
d = ra + rb
d = ra + 2ra
d = 3ra
ra = d/3 = 1 miliardo di Km
per cui:
rb= 2 ra
rb = 2 miliardi di Km.
Affinché le forze di gravitazionali si annullino, l'astronave deve mantenere una distanza di 1 miliardo di km dalla stella A e 2 miliardi di Km dalla stella B.
Nell'ultima figura, la stella A di massa minore, ruota intorno alla stella B di massa 4 volte maggiore (per semplicità, non certo perchè davvero è così, l'orbita è circolare ed A ruota intorno la centro di B) e il punto in cui le forze si equivalgono cambia continuamente.... un bel corridoio per la nostra astronave.
http://www.astrobin.com/full/38902/D/
Ho parlato di corridoio, poiché, se le due forze di gravità esercitate dalle due stelle sull'astronave si annullano reciprocamente, nulla disturba la quantità di moto della nostra astronave.
Q= m v
dove q è la quantità di moto, m la massa dell'astronave e v la sua velocità.
Dato che la massa dell'astronave non può cambiare, se q non cambia, anche la velocità non cambia, per cui se arrivo nel punto di equilibrio e seguo il suo spostamento nel tempo dovuto alla rotazione di una stella intorno all'altra, senza usare alcun carburante posso mantenere la velocità iniziale (stando attento a mantenere le stesse distanze ra e rb dalle due stelle).
Inoltre, ovviamente nel punto in cui le due forze di attrazione gravitazionale si annullano, l'astronave risulta in totale assenza di gravità.
Una situazione un po' più reale, se non ho capito male, è quella in cui una forza (fittizia) annulla la forza di gravità, come per esempio un'accelerazione o decelerazione in un moto verticale che per un certo intervallo di tempo “equilibra” la forza di gravità (come in certe simulazioni di assenza di gravità, con un aereo in caduta libera).... o sbaglio?
Paolo
Ops, dimenticavo, se la distanza tra le due stelle non è costante nel tempo, ovviamente devono cambiare di conseguenza anche ra e rb.
La distanza tra le due stelle, rimane però sempre uguale a:
D= ra + rb
dato che ra = m rb
dove m è (Ma/Mb)^1/2
D= m rb + rb = rb (m+1)
rb = D/(m+1)
o anche
rb = ra/m
D = ra + ra/m = (m ra + ra)/m = ra ( m + 1)/m
ra = D m/(m+1)
Paolo
Alcune considerazioni...
(1) per Michele... quale y e quale x prenderesti per meglio rappresentare graficamente il problema? Ricordiamo che quello che si vuole è costruire una funzione tale che entrando con una certa x si ottenga una certa y. Infine, potresti descrivermi questa funzione? Ha dei massimi, minimi, flessi, dove inizia dove finisce, ecc....
Insomma, qualcosa che ti dia subito una risposta per tutti i casi che vuoi risolvere.
Attenzione! Non dico che tu hai sbagliato qualcosa, ma vorrei una conclusione ... matematica... e una piccola discussione su di lei.
(2) Paolo come sempre comprende bene il problema, ma vorrei da lui la stessa cosa che ho chiesto a Michele. Una chiara funzione che risponda in modo conciso e a tutti i casi possibili con una sola curva. Scegliendo corpi celesti diversi, la funzione deve essere sempre la stessa. Si entra con una x e si trova la y finale. La retta che hai trovato non è molto significativa perché trova una distanza rispetto a un'altra distanza che è legata alla prima dalla semplice differenza r1 = d - r2, dove d è la distanza tra le stelle, fissa caso per caso. I ragionamenti finali, in qualche modo, introducono il problema ben più complicato di due campi gravitazionali in rotazione: proprio quello che porta ai punti lagrangiani... di cui abbiamo parlato a vari livelli.
Avendo posto x = a = M1/M2)^0.5 e y = R2/D , la soluzione generale con entrambe le variabili adimensionate e buona per tutte le salse, è l'iperbole equilatera y = 1/(1+x)
L'altra distanza adimensionata è il complemento a uno di y.
Caro Michele... perché non completi la tua trattazione dicendo cosa capita per tre valori fondamentali: M1 = 0, M1=M2, M2 = 0? Così è più facile per chi legge capire l'andamento della funzione... e quali sono i limiti di esistenza di x e y.
I campi di esistenza sono 0 infinito, 10
Per M1 = 0 è x = 0 , y = 1 , R2 = D , R1 = 0
Per M1 = M2 è x = 1 , y = 1/2 , R2 = R1 = D/2
Per M2 = 0 è x = infinito, y = 0 , R2 = 0 , R1 = D
Tutto questo se M1 ed M2 sono fisse. Nel caso in cui esse ruotano attorno al loro baricentro la soluzione suddetta è sempre rigorosamente valida solo se è M1=M2; se ciò non fosse, anche l'astronave ruoterebbe attorno allo stesso punto ed occorrerebbe mettere in conto anche la forza centrifuga agente su di essa, ma l'ipotesi di massa dell'astronave nulla rende valide tutte le soluzioni trovate.
Attenzione, stiamo parlando di L1.
OK Michele.
Per Alvy: l'avevo appena detto in un commento precedente (mai che legge qualcosa... acci!). No, non richiedo la trattazione in rotazione, solo quella fissa in modo da poter calcolare dove finisce l'attrazione gravitazionale di un corpo rispetto a un altro. Ad esempio tra Terra e Luna, Terra e Sole... ecc.
Alla fine disegniamo la curva che ci può dare tutte le informazioni entrando con x e uscendo con y...
Un gioco alla portata di tutti, come ho detto fin dall'inizio.
Bene, allora mi provo anch'io a dare la mia soluzione che differisce da quella di Michele perchè è leggermente diverso l'approccio.
Chiamo:
- m la massa più piccola
- M la massa più grande
- Sm la distanza di m dal punto di equilibrio interno L1 (Lagrange 1)
- SM la distanza di M dallo stesso punto L1
Per l'equilibrio dinamico del sistema scrivo:
G*μ*M/(SM^2) = G*μ*m/(Sm^2)
essendo μ la massa (trascurabile) della sonda esploratrice.
Si ottiene:
Sm/SM = (m/M)^0,5
Per dare senso fisico alla funzione, stabilisco che:
x = m/M
rapporto delle masse.
La funzione è allora:
y = √x
definita da 0 a ∞ (limiti esclusi).
Per m → 0; x → 0; y → 0
si tratta di una posizione indefinita di μ che si troverà a distanza da M tale da uguagliare (quasi) la distanza di m.
Per M → 0; x → ∞; y → ∞
si tratta di una posizione indefinita di μ che si troverà a distanza da m tale da uguagliare (quasi) la distanza di M.
Per M = m; x = 1; y = 1
si tratta di una posizione intermedia di μ che si troverà alla stessa distanza sia da m che da M.
La mia impostazione non prevede la costanza di D = Sm+SM ma valuta il rapporto tra le due distanze rispetto al punto di equilibrio.
La derivata prima y' = 1/(2*√x) è sempre positiva.
La funzione è crescente non presentando punti di massimo o di minimo.
La derivata seconda y'' = -1/[4*√(x^3)] è sempre negativa.
La funzione non presenta flessi ed ha concavità rivolta verso il basso.
Proviamo ad applicare quanto scritto al sistema Terra-Luna, la cui distanza vale Sm+SM = 384.000 km.
m/M = 0,012
Sm/SM = √0,012 = 0,11
SM = 346.000 km.
Il punto di equilibrio L1 si trova a circa 38.000 km dal centro della Luna.
Volevo aggiungere che Arthur C. Clarke decise di parcheggiare la Discovery, comandata da Dave Bowman, nel punto L1 di Giove.
Seguirono perturbazioni che costrinsero a raggiungerla a bordo di una nuova astronave da cui ... il seguito dell'avventura, anzi dell'Odissea ...
caro Alvy... adesso ti martello! Come fai a risolvere un problemino che deve essere di estrema semplicità, e quindi adatto a tutti, inserendo il punto lagrangiano??? Al limite potevi dire che prendevi l'origine nel punto in cui si troverà l'equilibrio. Era molto più elegante e meno alienatico!!!! Linguaccia!!!!!
Ma scusa, lagrangiano non è mica una parolaccia ......
E' solo un termine per definire il punto di equilibrio (o ti piace di più librazione?)
Ma poi scusa, PROPRIO TU hai parlato di punti lagrangiani in una precedente risposta a Paolo ....
O Gesù Gesù, il prof mi vuole far ammattire ....
Una cosa è citarlo e un'altra è usarlo come origine... Ma poi, intanto, io dico, per definizione, sempre il contrario di ciò che dici tu... E' l'unica arma contro voi alieni: stancarvi con azioni psicologiche intense e continuative...
)... 
E poi non è vero... ti ho anche fatto i complimenti (anche se raramente
Aiutooooo Danielaaaaaa!!!
Cara Daniela, visto che ti diverti tanto con i nostri battibecchi, mi puoi spiegare che differenza c'è, dal tuo punto di vista, tra il citare un dato acquisito ed usarlo come origine in un discorso ????
Vediamo di fare un esempio calzante immaginando un dialogo tra due individui.
EN: "Che bello trovarci qui a rimirare le meraviglie dell'Universo prodotte dalla mutua attrazione dei corpi celesti"
AL: "Eh si, è davvero straordinario quello che riesce a fare la gravità nel cosmo"
EN: "Eh no, non puoi usare la gravità per descrivere l'Universo"
AL: " Eeehh come?!?!
Aggiungo che librazione discende da LIBRA, parola latina che significa bilancia, da cui il bilanciamento dei campi gravitazionali che si ha nei punti di librazionbe anche detti PUNTI LAGRANGIANI L1-L2-L3-L4-L5.
Come noto, esiste anche una costellazione della BILANCIA, per l'appunto LIBRA in latino.
Ed ora consentitemi una piccola considerazione interiore: PPPPPPRRRRRRRRRRRRRR
Dopo aver un pò giocato con Enzo è giusto chiarire, a scanso di equivoci, che il punto da me trovato non è propriamente il punto L1 (primo punto di Lagrange, interno al sistema M-m).
La situazione descritta nel quiz è semplificata ma non realistica. Se M ed m sono ferme, non ruotanti cioè una intorno all'altra, sono destinate a scontrarsi ponendo fine all'equilibrio.
Qualunque sistema binario è ovviamente in rotazione e questo significa che qualunque punto posto sul segmento che unisce M ed m è anch'esso in rotazione, eccetto il centro di massa del sistema. Anche il punto di equilibrio (L1 per l'appunto) deve quindi ruotare. La condizione di equilibrio prevede, in definitiva, che la forza F esercitata dalla massa maggiore M sia bilanciata dalla somma della forza f esercitata dalla massa minore m e dalla forza centrifuga fc agente sulla sonda di massa trascurabile.
F = f + fc.
In conseguenza di ciò il vero punto lagrangiano L1 del sistema Terra-Luna si trova a circa 323.000 km dalla Terra, ovvero a circa 60.000 km (e non 38.000 km) dalla Luna.
La differenza è la quota parte dovuta alla presenza della forza centrifuga dell'oggetto in L1.
Ha quindi ragione Enzo (e come ti sbagli?) a martellarmi!
Caro Enzo, se il problema era trovare la relazione che lega due rapporti (Ma/Mb e ra/rb), sono arrivato alle medesime conclusioni di Alvy, con una piccola variante (ovviamente considero scontato il ragionamento già fatto nei post precedenti).
Vorrei introdurre nella funzione la distanza tra i centri delle due Masse (nell'esempio le due stelle) per trovare direttamente a quale distanza dalla stella B si trova il punto di equilibrio (così ho un riferimento spaziale fisso).
Se
ra/rb = (Ma/Mb)^1/2
D =ra + rb
Come mostra la figura, D è la distanza tra i centri delle stelle; ra la distanza del punto di equilibrio dal centro della stella A e rb la distanza dal centro della stella B.
http://www.astrobin.com/full/38902/G/
ra = D – rb
D-rb/rb = (Ma/Mb)^1/2
D/rb -rb/rb = (Ma/Mb)^1/2
D/rb -1 = (Ma/Mb)^1/2
D/rb = (Ma/Mb)^1/2 + 1
rb= D/ (Ma/Mb)^1/2 + 1
La funzione consente di ricavare direttamente la distanza del punto di equilibrio dalla stella B (rb, ossia y), in funzione del rapporto tra le masse delle due stelle (Ma/Mb, ossia x) e della loro distanza (D).
y= f (x)
rb= D/(Ma/Mb)^1/2 + 1
y = D/ (x)^1/2 + 1
Se D è costante si può anche sostituirla con un valore unitario 1, ma se l'orbita tra le due stelle è ellittica e non circolare, D cambia nel tempo, per cui lascio la funzione così com'è.
Per conoscere la distanza del punto di equilibrio dalla massa B, basta usare la funzione trovata:
y = D/ (x)^1/2 + 1
Per cui, se x = 0, ossia se Ma è piccolissimo rispetto a Mb:
Ma/Mb = 0,00000000000000000000000000000000000000000001/Mb = quasi 0
rb = D/ 0 + 1 = D
Ossia, se Ma non esercita alcuna forza di gravità, rb è uguale a D, mentre:
ra = D – rb = D -D = 0
Se x = 1, ossia se Ma è uguale a Mb:
Ma/Mb = Ma/Ma = 1
rb = D/1 + 1 = ½ D
ra = D – rb = D - ½ D = ½ D
Il punto di equilibrio si trova a metà tra i centri delle due masse.
Se x = ∞, ossia se Ma è infinitamente maggiore di Mb:
Ma/Mb = ∞
rb = D/∞+ 1 = D/∞ = 0
ra = D – rb = D - 0 = D
Nella figura ho realizzato la curva corrispondente alla funzione.
http://www.astrobin.com/full/38902/F/
Per quanto riguarda la derivata prima della funzione (con D costante, per cui si può considerare come valore unitario 1), questa vale:
y = 1/ (x)^1/2 + 1
ricordando che 1/x^1/2 = x^-1/2
y'= -1/2 (x)^(-1/2 -1)
y'= -1/2 (x)^-3/2
y'= -1/2(x)^3/2
Solo con x = infinito la derivata si annulla, per cui non ci sono Minimi o Massimi o flessi orizzontali.
La derivata seconda vale:
y'= -1/2 1/(x)^3/2
y''= -3/2 -1/2 (x) -^3/2 -1
y''= 4/2 (x)^-5/2
y''= 2/(x)^5/2
Solo con x = infinito la derivata si annulla, per cui non ci sono flessi obliqui.
Applicando la funzione al sistema Luna-Terra.
rb= D/ (Ma/Mb)^1/2 + 1
Rt =D /(Ml/Mt)^1/2 +1
Ml/Mt = 7,3477 (10)^22 Kg /597,36 (10)^22 Kg = 0,123
Quando D = 384.000 Km
Rt =384.000 Km/(0,0123)^1/2+1
Rt =384.000 Km/0,1109 +1 = 345.665 Km
Quando la distanza Terra -Luna è di 384.000 Km, il Punto di equilibrio dista dal centro della Terra (Rt) 345.665 Km, mentre dista dal centro della Luna:
Rl = D – Rt = 384.000 – 345.665 = 38.335 km
Ovviamente tale punto si trova sulla retta che congiunge i centri delle due Masse.
Quando D = 406.000 Km (Apogeo)
Rt =406.000 Km/0,1109 +1 = 365.469 Km
Rl = D – Rt = 406.000 – 365.469 = 40.531 km
Quando D = 362.000 Km (Perigeo)
Rt =362.000 Km/0,1109 +1 = 325.861 Km
Rl = D – Rt = 362.000 Km – 325.861 = 36.139 km
La distanza del punto di equilibrio dal centro di Mb, varia al variare della distanza tra le due Masse, Ma e Mb ed ovviamente la sua posizione dipende proprio dal rapporto tra queste.
A questo punto si potrebbe provare a proseguire nel ragionamento, facendo alcune considerazioni preliminari.
Le due figure mostrano due casi diversi.
Nel primo caso la stella A compie un'orbita circolare, per cui la distanza tra i centri delle due stelle rimane costante nel tempo
http://www.astrobin.com/full/38902/H/
I punti di equilibrio sono segnati in rosso....
Così a prima vista le coordinate di questo punto, con questo tipo di rappresentazione (a due dimensioni), corrispondono rispettivamente a:
coordinata x = rb cos α
coordinata y = rb sen α
L'angolo α è quello tra l'asse delle ascisse e il raggio rb, per cui se il moto è circolare uniforme questo varia in maniera costante nel tempo.
Conoscendo la velocità di rotazione, non dovrebbe essere difficile trovare la posizione del punto di equilibrio istante per istante.
Nella figura ho introdotto un ulteriore cerchio, centrato sulla stella B, sulla cui circonferenza ruota la stella A (il suo centro).
Il raggio rb è una porzione di questo segmento (D), per cui ruota con lui, ossia il punto di equilibrio percorre anch'esso una circonferenza concentrica rispetto a quella della Stella A
Nel secondo caso l'orbita della stella A è ellittica, per cui anche D (distanza tra le stelle) cambia nel tempo, e il centro della stella A percorre l'ellisse, per cui lo stesso accade al punto di equilibrio.
Nella figura infatti i punti di equilibrio giacciono su un'ellisse “concentrica” (passatemi il termine) rispetto a quella descritta dal centro della stella A durante la rotazione intorno alla stella B.
http://www.astrobin.com/full/38902/I/
Se, per esempio, la distanza terra -luna varia nel tempo, dato che l'orbita della luna è leggermente ellittica, significa che ad ogni rotazione della luna (360° o anche 2π radianti), questa si trova periodicamente due volte alla distanza minima e due volte a quella massima, in pratica si potrebbe provare a trovare una funzione che lega la variazione della distanza (il bastone che si allunga o si accorcia) alla velocità con cui viene compiuta una rotazione completa (variazione dell'angolo)...
però non vorrei finire per confondere e confondermi le idee, tra velocità quantità di moto, conservazione dell'energia e del momento angolare e periodicità.....
Paolo
una prima considerazione: in fondo anche Alvy è UMANO come noi!!!! Il suo punto lagrangiano si è rimesso in linea...
una seconda considerazione: speravo che la semplicità del problemino mettesse in moto molti più lettori nel rispondere... e invece abbiamo sempre gli stessi (più o meno). E' proprio vero che la fisica e la matematica incutono sempre un po' di timore, come fossero loro veramente gli alieni...
terza considerazione: mi sarebbe piaciuto introdurre un nuovo "concetto" matematico... Vi invito, allora, a scrivere la funzione con questi vincoli:
1) la x sia pure il rapporto tra le masse.
2) la y sia la distanza del punto di equilibrio dalla PRIMA stella
3) la distanza delle stelle sia posta uguali a 1.
Non è il modo più semplice ma ci serve per trovare qualcosa di simpatico...
Ovviamente, il problemino si riferiva a un certo istante fisso e quindi l'orbita non conta...
P.S.: per essere onesto, siamo praticamente nelle condizioni da voi poste, ma volevo mettere in evidenza una cosa che è stata solo sfiorata da Paolo... (da un punta di vista puramente matematico)
Ma intendi dire di impostare la funzione così:
ra/rb = (Ma/Mb) ^1/2
ra +rb = 1
rb = 1-ra
ra/rb = (Ma/Mb) ^1/2
ra/(1-ra) = (Ma/Mb) ^1/2
ra = (Ma/Mb) ^1/2 (1-ra)
ra = (Ma/Mb) ^1/2 - ra (Ma/Mb) ^1/2
ra + ra (Ma/Mb) ^1/2 = (Ma/Mb) ^1/2
ra ( 1+ (Ma/Mb) ^1/2 ) = (Ma/Mb) ^1/2
ra = (Ma/Mb) ^1/2 / (Ma/Mb) ^1/2 ) +1
ossia:
y = (x)^1/2 / (x)^1/2 + 1
Paolo
esattamente!!!! guarda un po' cosa capita nel punto zero (origine)...
Forse, forse vorresti dire che se considero il raggio dal centro della Massa A pari a zero, ossia ridotto ad un punto, la Massa contenuta nel "punto" centrale è nulla, per cui è nulla anche la forza di gravità
O sbaglio?
Paolo
No, Paolo... molto di meno... volevo solo sapere la tangente alla curva...un piccolo esercizio di matematica (elementare per te...).
Giusto per spiegare meglio ciò che intendo.
La curva che rappresenta la nuova funzione è inversa rispetto a quella che rappresentava rb.
http://www.astrobin.com/full/38902/J/
ra = (Ma/Mb) ^1/2 / (Ma/Mb) ^1/2 ) +1
y = (x)^1/2 / (x)^1/2 + 1
Se x = 0 anche y = 0
Cosa significa x = 0 ?
x = Ma/Mb
Significa che Ma è uguale a zero.
Se si ragiona più a fondo, significa anche che esiste un punto di equilibrio proprio al centro della Massa A (ossia se ra =0)
Come è possibile?
Se ci trovassimo esattamente al centro della Massa A, tutta la massa si troverebbe intorno a noi e trattandosi di una sfera in qualunque direzione avremmo sempre la stessa quantità di massa.
Ciò significa che tutti i vettori dovuti alla forza di attrazione gravitazionale si annullerebbero l'un l'altro (ogni vettore ha un suo simile, stessa direzione, stesso modulo, ma verso opposto).
Quindi quando il raggio (ra) diventa uguale a zero, si ottiene un punto di equilibrio gravitazionale, ma questa volta non centra la massa della stella B, ma solo la massa A, equamente posizionata intorno a noi.
Paolo
La tangente alla curva nel punto P (0;0) non è altro che l'asse delle ordinate y, ossia una retta con m = ∞
La derivata prima della funzione y = (x)^1/2 / (x)^1/2 + 1 dovrebbe essere uguale a:
y' = (1/2 (x)^1/2 -1) (-1/2 (x)^-1/2 -1)
y' = (1/2 (x)^-1/2) (-1/2 (x)^-3/2)
y' = - 1/4 (x)^1/2 (x)^3/2
y' = - 1/ 4x^2
Se x = 0 y' = -∞
Paolo
caro Paolo,
prova a considerare come ascissa x = sqrt(M1/M2)... le cose si semplificano...
anche se vale sempre che per M1 = 0 x =0, per M1=M2 x = 1 e per M2 = 0 x = inf ...
fammi un bel disegnino
Scusa Enzo, ma non mi è chiaro come costruire il disegnino (oggi non ho molto tempo, ma potrei provarci), o meglio non mi è chiaro cosa porre come ascissa.
Cosa devo intendere per sqrt?
La distanza D che varia nel tempo?
qr sembra il momento angolare, che dovrebbe rimanere costante ...
S = ? t dovrebbe essere il tempo...
Se così fosse, ossia se sqrt indica la variazione di D nel tempo :
ra = sqrt (Ma/Mb)^1/2/ (Ma/Mb)^1/2 +1
rb = sqrt /(Ma/Mb) +1
Come vedi non mi è chiaro cosa disegnare...
Paolo
no, no Paolo,
non voglio confonderti...per sqrt intendevo solo considerare come ascissa la radice quadrata del rapporto delle masse, in modo da avere una funzione decisamente più semplice da trattare. Ma, non preoccuparti, sono io che sto seguendo il filo del mio ragionamento e non riesco a spiegarmi bene... vorrei solo fare diventare un banale problema di fisica l'occasione per trafficare un po' con funzioni e derivate. Tutto lì... ma adesso butto giù il mio schema e potrai divertirti a fare alcuni calcoli...
Scusa Alvy, se rispondo solo ora alla tua richiesta d'aiuto, ma l'ho letta in questo momento...
a tua difesa posso solo dire che, nonostante la mia infinita ignoranza in materia, appena ho letto il quiz ho pensato che, per risolverlo, sarebbe stato sufficiente ricercare in internet le formule per determinare i punti di Lagrange...
Quindi, Prof., non ti arrabbiare per i suggerimenti di Alvy: se ci sono arrivata io, sicuramente lo hanno fatto anche il 99,99% degli altri frequentatori del "Circolo Pickwick"
P.S.
Forse sono affezionata ai punti di Lagrange perché è l'esempio a cui ricorro quando cerco di fare capire alle mie figlie quanto sia importante la matematica applicata alla ricerca scientifica pura: di sicuro Lagrange (anzi De La Grangia, torinese e non francese - come ci ha raccontato il Prof. un po' di tempo fa - anche se sbandierato come gloria nazionale addirittura sulla Torre Eiffel) non immaginava che i suoi calcoli sarebbero stati utilizzati per mettere in orbita satelliti artificiali duecento anni dopo!!! Per fortuna la sua ricerca non era improntata alla logica del ritorno economico...
cara Daniela,
).
non preoccuparti: io mi arrabbio con Alvy per partito preso! Ricordi il film "non ci resta che piangere" con Troisi-Benigni? Beh... il professor Benigni diceva: "io quello studente lo boccio comunque!". Ebbene... io "con quell'Alvy non posso andare d'accordo!". Se non avesse parlato di punti lagrangiani gli avrei detto" e nemmeno un richiamo ai punti lagrangiani?" Se no che Circolo Pickwick sarebbe mai?!
A parte gli scherzi, appena ho un po' di tempo vorrei provare a spiegare un po' dettagliatamente il problema dei lobi di Roche e cose del genere (mi sembra di non averlo ancora fatto, ma ormai sto perdendo la memoria storica di quello che ho scritto...
Ciao Daniela, ti ringrazio per la solidarietà
, in effetti ha però ragione Enzo 
Il punto Lagrangiano L1 (come del resto gli altri quattro) è sì un punto di equilibrio ma di un sistema binario REALE. Un sistema binario reale è necessariamente in rotazione altrimenti collasserebbe a causa della mutua attrazione gravitazionale delle due stelle componenti.
Nel sistema IPOTIZZATO da Enzo per il quiz non è prevista rotazione, in modo da rendere più semplice la trattazione.
Potresti chiedere: "Beh, dov'è la differenza?"
La differenza, non da poco per la verità, sta nel fatto che nel punto di Lagrange si deve portare in conto anche la forza centrifuga che compete alla rotazione dell'oggetto in equilibrio, mentre nel sistema di Enzo (statico) non c'è forza centrifuga non essendoci rotazione.
In pratica si cerca, in entrambi i sistemi, il punto di equilibrio.
Siccome non tutti i guai vengono per nuocere, mi sono divertito a calcolare la distanza tra questi due punti (L1 ed il punto ... Enziano) nel sistema Terra-Luna, come riportato in uno precedente commento.
Ciao e Buona Pasqua.
P.S.: sembra che l'idea del circolo sia ben vista
ah, dimenticavo Enzo ...
Grazie ad entrambi per le spiegazioni e... continuate così perché mi diverto troppo!
Riguardo ai Lobi di Roche, Prof., ho fatto una ricerca tra gli articoli che ho salvato e ho trovato diversi riferimenti, ma non un articolo dedicato solo a questo argomento.
Ho, invece, trovato diverse spiegazioni sul Limite di Roche.
Buona Pasqua a tutti e in particolare a Barbara!!
Grazie ragazzi!!!!! Tanti auguri anche a voi e un abbraccio a tutti di vero cuore.
Promesso Daniela... appena riesco mi cimenterò con un sistema binario rotante e con i punti lagrangiani...
Un abbraccio particolare anche ad Alvy (malgrado le sue sette braccia da alieno...)
Scusa Enzo, adesso ho capito cosa intendi.... tu andavi verso la semplificazione io mi stavi complicando la vita....
Comunque era da un pò che avevo notato quel
y= x/x+1, considerando come x (Ma/Mb)^1/2
Ora sto andando a cena da amici, per cui il disegnino lo faccio domani, come sorpresa pasquale.
Buona Pasqua a tutti e tutte
Paolo
perfetto Paolo... buon appetito!!!!!
Dimenticavo la derivata prima di una simile funzione sarebbe (se non ho sbagliato i calcoli):
y' = 1- 1/x^2
Dato che x = (Ma/Mb)^1/2
y' = 1 - 1/(Ma/Mb)
la radice quadrata elevata al quadrato scompare.
Paolo
con calma... ti divertirai con le derivate... domani, se no non digerisci!!!
Ciao Paolo, ti faccio i miei complimenti per lo scambio di battute con il Dr. Gabriele Surcis. Io purtoppo mi devo contentare di ... Enzo
Potresti essere il portavoce del CIRCOLO verso il mondo accademico.
La derivata che vuoi ricavare va calcolata tenendo presente che la funzione primitiva è un rapporto di funzioni; devi quindi applicare la relativa regola. Non ricordo se Enzone l'ha descritta (mmhh, avverto fulmini in arrivo...) ma comunque è abbastanza semplice e puoi anche trovarla sul web. Non te la dico per non rovinarti il divertimento.
caro Paolo,
non curarti del rumore di fondo che inquina l'aria pasquale... Tira avanti da solo... e in silenzio: il NEMICO ti ascolta!!!!
Mi spiace Enzo, ma noi alieni siamo dotati di recettori mentali che colgono i cambiamenti di campo magnetico indotti dall'attività elettrica del cervello.
Non devo certo spiegarti che una carica elettrica in moto crea un campo magnetico, oltre all'elettrico.
Siamo inoltre in grado di assorbire e decrittare le fluttuazioni quantistiche prodotte dai pensieri. Forse non lo sai ma esiste un entanglement che lega le menti degli esseri viventi: quando si dice che un gemello "sa" cosa sta succedendo all'altro si parla appunto di questo effetto.
Quindi non basta restare in silenzio, bisognerebbe anche evitare di pensare.
mmmmm, devo ammettere che alla vostra specie questo riesce benissimo!
linguaccia pasquale!!!!!
Anche se un po' in ritardo ecco le figure (una per la funzione di ra e l'altra per la funzione inversa di rb):
Per mostrare la curva la scala dell'asse y è 10 volte quella dell'asse x.
http://www.astrobin.com/full/38902/K/
http://www.astrobin.com/full/38902/L/
Per quanto riguarda il calcolo delle derivate, hai Ragione Alvy.... mi era venuto il dubbio che dovevo trattarla come il rapporto tra due funzioni.
Riprovo quindi a calcolare la derivata prima:
y = x/ x+ 1
se y = f(x) /g(x)
y' = (f'(x) g(x)- f(x) g'(x))/ g(x)^2
f(x) = x
g(x) = (x + 1)
f'(x) = 1
g'(x) = 1
y' = ((1) (x + 1)- (x) (1))/ (x + 1)^2
y' = x + 1 - x/ (x + 1)^2
y' = 1 /(x + 1)^2
Prendendo i considerazione la funzione per rb:
rb = 1/(Ma/Mb)^1/2 +1
y = 1/(x+1)
La derivata prima dovrebbe essere:
y' = -x^-2 = -1/x^2
Spero stavolta di non aver nuovamente sbagliato il calcolo delle derivate.
Paolo
Ciao Paolo.
La derivata della prima funzione l'hai centrata, la seconda no.
Comunque, è sufficiente tenere a mente le seguenti procedure.
1) derivata del rapporto di due funzioni:
d [f(x)/g(x)]/dx = [f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)]/[g(x)^2]
2) derivata del prodotto di due funzioni:
d [f(x)*g(x)]/dx = [f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)]
Nel caso in cui si abbia:
y = 1/(x+1)
y' = -1/[(x+1)^2]
Non ti preoccupare, c'è solo da tenerle a mente oppure scriversele da qualche parte.
Grazie Alvy
, le formule su prodotto e rapporto di due funzioni le conosco, il mio errore è come ho trattato (x+1).
Mi sa che quel (x+1) costringe a trattare anche la seconda funzione come un rapporto tra funzioni, di cui una è una costante:
y = 1/(x+1)
y = f(x)/g(x)
f(x) = 1
f'(x) = 0 derivata di una costante
g (x) = (x+1)
g' (x) = 1
y' = (f'(x) g (x) – f(x) g'(x))/g(x)^2
y' = ((0) (x+1) – (1) (1))/(x+1)^2
y' = 0 – 1/(x+1)^2
y' = – 1/(x+1)^2
Così dovrebbe andar bene, grazie.
Paolo
caro Paolo,
ti consiglio di fare le derivate seguendo le soluzioni che ho dato nell'articolo dopo... avrai di che divertirti...