Categorie: Relatività
Tags: Lorentz Minkowski quiz relatività ristretta
Scritto da: Vincenzo Zappalà
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QUIZ alternativo (e matematico) sulla simultaneità nel grafico di Minkowski **
Abbiamo disegnato, con qualche difficoltà, le rette che individuano l’asse dei tempi t’ e quello di simultaneità x’ attraverso alcuni ragionamenti legati alla costanza della velocità della luce. Tuttavia, il signor Lorentz mi ha scritto in privato, dicendomi che è alquanto arrabbiato.
Il suo messaggio, in sintesi, dice: “Ho fatto tanta fatica a dimostrare come la mia trasformazione possa servire perfettamente a scrivere la relatività ristretta al signor Einstein; ho fatto altrettanta fatica a far capire al signor Minkowski come l’applicazione puramente geometrica della mia trasformazione possa servire a disegnare tutti i concetti della relatività ristretta in un solo grafico. Ebbene, cosa ho ottenuto nel vostro insignificante circolo? Una costruzione geometrica alquanto farraginosa in cui avete dovuto scomodare un sacco di eventi sparsi nello spaziotempo. Sono abbastanza deluso!”
Che dire? Ha perfettamente ragione… Abbiamo giocato un po’ con l’invio di segnali luminosi che vanno avanti e indietro e abbiamo messo da parte la trasformazione di Lorentz che avrebbe semplificato il tutto. Abbiamo introdotto la matematica e lo studio di funzioni proprio per applicarla al momento giusto e poi…. le lasciamo da parte quando potrebbero aiutarci! Senza tener conto che, se avessimo continuato a non ricordarci della trasformazione del “nervoso” signor Lorentz, avremmo incontrato, tra non molto, ben altre difficoltà nel trovare l’unità di misura comune a tutti i sistemi di riferimento in movimento rispetto a quello preso come base del grafico.
Non ci resta che chiedergli scusa e porre rimedio. Ne viene fuori un nuovo piccolo quiz, più tecnico e meno empirico, di facilità estrema…
Per introdurlo al meglio, basta che andiamo a recuperare quanto scritto dopo aver ricavato la trasformazione di Lorentz. In particolare, basta rileggere il capitolo “spazio e tempo per me pari sono” dell’articolone sulle basi della RR. In esso avevamo veramente trasformato il tempo in una coordinata uguale a una lunghezza spaziale. Era bastato introdurre la coordinata T = ct per avere un tempo misurato in metri o una distanza misurata in secondi (a vostra scelta). In ogni modo, e con qualche banale passaggio matematico, avevamo ottenuto una versione della trasformazione di Lorentz veramente simmetrica ( o quasi, vero Alvy?), che riporto di seguito:
x’ = γ(x – βT)
y’ = y
z’= z
T’ = γ(T – βx)
A questo punto possiamo dimenticarci di y e z dato che non subiscono modificazioni e limitarci a uno spazio tempo piano, in cui le uniche due coordinate sono T e x (e T’ e x’). Sostituendo anche γ con il suo valore in funzione di β, si ha soltanto:
x’ = (x – βT)/(1 – β2)1/2
T’ = (T – βx)/(1 – β2)1/2
Bene, cosa ci dicono queste relazioni? Che il tempo e lo spazio sono strettamente collegati tra loro (Einstein ci perdoni se lo … copiamo, e Galileo e Newton non si offendano se li smentiamo).
Non solo, però. Ci dicono subito quali sono i nuovi assi T’ e x’ e come si possano immediatamente disegnare nello spaziotempo di riferimento (T,x), proprio quello che avevamo ottenuto la volta scorsa in modo puramente grafico.
Basta ricordarci come si definiscono due assi come T’ e x’ e la soluzione è immediata. Vi chiedo quindi di ricavare in modo analitico i due nuovi assi e determinare l’angolo che determina la loro inclinazione, in funzione del solo parametro fisico che contraddistingue il sistema S’ rispetto a S.
Anche la linea percorsa dalla luce diventerà ovvia… Insomma, un banale esercizio di studio di funzione, ma una funzione veramente ridicola!
Forza e coraggio! Se la volta scorsa l’esercizio era, in fondo, molto facile, adesso è veramente banale!
Fatto questo, si potrà poi, con altrettanta facilità, studiare una nuova funzione che ci farà capire l’importanza del tempo proprio nella rappresentazione grafica dello spaziotempo di Minkowski.
Ma diamo tempo al tempo e non facciamo agitare il “nostro” SMA!
19 commenti
Dall'enciclopedia TRECCANI, alla voce ALVY:
- Appellativo attribuito ad un non meglio identificato individuo, la cui esistenza non è mai stata provata, invariabilmente citato nei quiz del noto astrofisico Vincenzo Zappalà.
Sembra che tale abitudine sia nata dall'esigenza di dare corpo ad un immaginario interlocutore, piuttosto sprovveduto, che, al pari del Simplicio nei Dialoghi galileiani, rappresentasse la parte del popolino più facile al pregiudizio.
Per estensione: persona incolta, credulona.
P.S.: meno male che il mio vero nome è un altro!
Ah... questa Treccani è un vero pozzo del sapere universale!!!!
Grande Enzo!
Ma io scherzavo ovviamente... 
Mi auguro di rappresentare degnamente il nostro Circolo e di fare una bella figura, dopotutto è la prima volta che parlo in pubblico e sento un po' l'emozione... spero che nessuno si addormenti durante la mia "chiacchierata"
Grazie ancora per l'incoraggiamento!
Vai SMA, tieni alto l'onore del circolo!
Siamo tutti con te!
Forza SMA, sono sicura che andrà benissimo...
Va bene, va bene... ma nessuna risposta...
Alvy... pensaci tu (SMA è ovviamente dispensato!)... Se fai il bravo ti introduco anche i numeri immaginari per farti tornate il "+" dappertutto... Troppo buono, sono troppo buono... 
Ho appena finito di tradurre l'articolo sulle supernovae.
Lo devo però riguardare con attenzione per meglio definire alcuni punti ... oscuri.
Poi farò un sunto degli aspetti più interessanti da sottoporre al circolo, ovviamente sotto la tua supervisione.
Riguardo al quiz ..... mmmmm .... mmmmm ... beh, lo scambio mi sembra interessante.
Vedrò cosa posso fare ....
io non l'ho ancora letto del tutto... potresti spiegarcelo in semplici parole nei dettagli... dopo il quiz, però... se no niente "i".... ma solo "fiiiiiiii!!!"
Dopo averti denunciato quale perfido ricattatore, propongo la mia soluzione.
, speriamo almeno che sia giusta!).
Probabilmente mi sono dilungato troppo, mah (si lo so, non è elegante
Ripartiamo dalle trasformazioni di Lorentz richiamate da Enzo nel testo del quiz:
x’ = (x – β*T)/(1 – β2)1/2
T’ = (T – β*x)/(1 – β2)1/2
X’ e T’ sono le coordinate spazio-temporali di un generico evento, misurate nel sistema di riferimento S’ da un osservatore solidale a tale sistema.
Per semplicità scelgo una serie di eventi simultanei (se osservati da S’), tali cioè che T’=0 per tutti.
Riscrivo le trasformazioni di Lorentz con la nuova assunzione:
x’ = (x – β*T)/(1 – β2)1/2
0 = (T – β*x)/(1 – β2)1/2
La seconda equazione diviene: T = β*x
Ottengo dunque il definitivo sistema di equazioni:
x’ = (x – β*T)/(1 – β2)1/2 (1)
T = β*x (2)
Ricavo X dalla (1):
x = x’*(1 – β2)1/2 + β*T
e sostituisco in questa il valore T ricavato dalla (2):
x = x’*(1 – β2)1/2 + x*β2
ovvero:
x = x’/(1 – β2)1/2
sostituisco nella (2) il valore di x appena trovato:
T = β*x = β*x’/(1 – β2)1/2
In definitiva, ottengo il sistema di equazioni che riporto:
x = x’/(1 – β2)1/2 (3)
T = β*x = β*x’/(1 – β2)1/2 (4)
In queste equazioni si stabilisce il legame tra le nuove coordinate relative al nuovo sistema di riferimento S (i cui assi x e T devo determinare) e la coordinata spaziale del sistema S’.
Una prima osservazione è che, una volta fissato il valore di β (vale a dire la velocità con cui S è in moto rispetto ad S’), sia x che T sono funzioni lineari di x’. Questo mi porta a dire che l’insieme dei punti di coordinate x;T (per un dato valore di β) deve stare su una retta.
Posso anche dire che tale retta transita per l’origine di S. Se infatti pongo x’=0 ottengo che x=T=0.
Gli assi dei due sistemi S ed S’ hanno in comune l’origine.
Ora, come faccio a determinare l’inclinazione della retta (in realtà è una semiretta con origine in O, se considero solo i valori positivi) rispetto all’orizzontale rappresentata da x’?
Beh, ogni punto che vado determinando ha coordinate x (ascissa) e T (ordinata). Faccio allora il rapporto T/x sulla base delle equazioni (3-4):
T/x = β
So che, in una retta passante per l’origine, il rapporto ordinata/ascissa rappresenta il parametro angolare della retta che ne definisce l’inclinazione rispetto all’orizzontale, e che vale la tgα, dove α è appunto tale angolo.
Ottengo quindi:
β = tgα
Se β=0, cioè sistemi S ed S’ in quiete relativa, si ha che α=0. I punti stanno tutti sull’asse x’ e non c’è differenza tra i due sistemi di riferimento, come ovvio.
Se β=1, cioè il sistema S fugge via alla velocità della luce, si ha che α=45°. I punti sono tutti sulla bisettrice del primo quadrante. La separazione spazio-temporale √(ΔT^2-Δx^2) in tale sistema luminale vale 0 (Δx=ΔT): linea di universo della radiazione elettromagnetica.
mamma mia Alvy... che matematica contorta avete sul vostro pianeta... Da noi, basta dire che l'asse delle x' è quello che dà T' = 0 e viceversa! E poi parliamo di eleganza... E dire che l'avevi scritto subito, prima di andare a sostituire nella seconda equazione e via dicendo. Poco ci mancava che trovavi 0=0.
Aspetta, aspetta... però... ho paura che tu volessi ricavare qualcosa di diverso... No, mi sa che il procedimento è SBAGLIATO concettualmente. Tu devi disegnare nel sistema di coordinate x e T, le due nuove rette, che devono essere una x funzione di T.... queste nuove rette sono quelle che danno x' = 0 e T' = 0, ossia i due nuovi assi T' e x'... Pensaci bene e mi sa che hai invertito il problema... Infatti scrivi x come funzione di x'...
caro Alvy,
questa volta parlo seriamente... la tua descrizione può portare a gravi confusioni nel lettore e quindi, non volendo dare ancora la soluzione per rispetto a SMA e agli altri, voglio solo ricordarti come si definisce un sistema di coordinate cartesiane: ognuno dei due assi è il luogo dei punti per cui l'altra coordinata è uguale a zero. Ad esempio, nel sistema cartesiano x,y, la y è il luogo dei punti per cui x =0 e viceversa.
La trasformazione di Lorentz trasforma un sistema di riferimento in un altro sistema. Anche per quello "nuovo" deve valere la stessa definizione (non sappiamo ancora come saranno disegnati, ma poco importa). Deve quindi valere che l'asse x' è il luogo dei punti per i quali la coordinata T' è zero. In questo modo si possono disegnare subito i due nuovi assi nel sistema di coordinate del primo sistema...
Spero di essere stato chiaro. Sembra lana caprina, ma non lo è!!!!
Caro Enzo, io ci provo così.
Nel sistema S (fermo) l'origine degli assi del sistema di riferimento P(0;0) è
x = 0 T = 0
Nel sistema in movimento S', quando x'=0
x' = (x – βT)/(1 – β^2)^1/2
x' (1 – β^2)^1/2 = x – βT
0 = x – βT
x = βT
x/T = β
β rappresenta il coefficiente angolare di una retta che passa per l'origine degli assi di S
Il punto x' =0 deve soddisfare la relazione x = βT
Ossia il corrispondente punto in T è uguale al valore di x moltiplicato per β (che varia da 0 a 1)
Quindi :
x/T = β
x/T = V/C
se V = 0
x/T = 0 (m=0)
Ossia se x'= 0, anche x = 0
Con V=0, l'asse x' coincide con l'asse x
se V = 1 ossia se la velocità V è quella della luce
x/T = 1 (m=1)
x =T
Con V = C, l'asse x' è inclinato di 45° rispetto all'asse x
Stesso ragionamento per l'asse T'
Se T'=0
T' = (T – βx)/(1 – β^2)^1/2
T' (1 – β^2)^1/2 = T – βx
0 = T – βx
T= βx
T/x = β
Quindi se
T/x = β
T/x =V/C
se V = 0
T/x = 0 (m=0)
Ossia se T'=0 anche T = 0
Con V=0, l'asse T' coincide con l'asse T
se V = 1 ossia se la velocità V è quella della luce
T/x = 1 (m=1)
T = x
Con V = C, l'asse T' è inclinato di 45° rispetto all'asse T
Dunque il numero adimensionale β , rappresenta il coefficiente angolare(m) sia dell'asse x' rispetto ad x, sia dell'asse t' rispetto a t.
Quando β raggiunge il suo valore massimo, ossia 1, i due assi T' e x' coincidono, poiché entrambi sono inclinati di 45° rispetto ai corrispettivi assi T e x del sistema S (assi perpendicolari fra loro, ossia formano un angolo di 90° e 45°+45° fa 90°)
Paolo
Ops onde evitare confusioni nel post parlo di punto x'=0 oppure T'=0, in realtà si tratta di punti e non di un solo punto.
Tutti i punti con valore x' = 0 significa che sono dislocati sull'asse x', qualunque sia il valore di T', ossia questi punti rappresentano l'asse x' del sistema S' disegnati nel sistema S.
Lo stesso discorso vale per i punti con T'=0, che giacciono tutti sul'asse T'.
Paolo
I punti con valore x' = 0 sono quelli che giacciono sull'asse T' e non sull'asse x'.
I punti con valore t' =0 sono quelli che rappresentano l'asse x'.
Chiedo ancora scusa.
Paolo
Che io abbia invertito i riferimenti, disegnando in S' anzichè in S è senz'altro vero, però non capisco cosa cambi.
Mi sembra che invertire un sistema con l'altro non costituisca un problema, nel segno della reciprocità. Se poi questo ingenera confusione .... meglio, nel senso che mostra la questione da due punti di vista diversi.
Se invece ho commesso errori di altra natura, allora è un'altra questione. Non ho però capito quale delle due!?
Alla luce del madornale errore
ho rivisto tutto il ragionamento (per cui meglio lasciar perdere i post precedenti 
).
Nel sistema in movimento S', l'asse T' corrisponde a tutti i punti con valore x'=0
Quindi se x' = 0
x' = (x – βT)/(1 – β^2)^1/2
x' (1 – β^2)^1/2 = x – βT
0 = x – βT
x = βT
In un sistema di coordinate cartesiane la funzione di una retta è:
y = m x e la sua pendenza, ossia il suo coefficiente angolare è uguale a:
m=y/x = tan(α)
Dove α è l'angolo tra la retta e l'asse x.
Nel sistema di coordinate di S (fermo) l'ordinata y è il tempo T e l'ascissa è lo spazio x
Quindi per trovare il coefficiente angolare della retta che rappresenta T':
x= βT
T = x/β
T/x = 1/β
m= y/x = T/x = 1/β = tan(α)
Il coefficiente angolare della retta che rappresenta T' è uguale ad 1/β
Per cui se V= 0
β = V/c =0/C= 0
m= 1/0 = ∞
Ossia la retta che rappresenta l'asse T' è parallela all'ordinata T, quindi T'=T.
Se V= 0,5 C
β =V/C = 0,5
m= 1/0,5 = 2
Ossia la retta che rappresenta l'asse T' ha un coefficiente angolare uguale a 2
Se V= C
β =V/C = 1
m= 1/1 = 1
Ossia la retta che rappresenta l'asse T' ha un coefficiente angolare uguale a 1, che corrisponde ad una pendenza di 45°.
Dunque la retta che rappresenta l'asse T', può variare in funzione del rapporto V/C, dal coincidere con l'asse T (m=∞) fino a raggiungere un inclinazione minima di 45° (insuperabile come la velocità della luce ossia con β = 1)
Applicando lo stesso ragionamento di prima, all'asse x', questo coincide con tutti i punti con valore T'=0
Quindi se T' = 0
T' = (T – βx)/(1 – β^2)^1/2
T' (1 – β^2)^1/2 = T – βx
0 = T – βx
T = βx
Questa volta la funzione della retta è più semplice dato che T è l'ordinata ed x l'ascissa, quindi per trovare il coefficiente angolare della retta che rappresenta x':
y = mx
m = y/x
β = T/x = tan(α)
Per cui se V= 0
β = V/c =0/C= 0
m= 0 = 0
Ossia la retta che rappresenta l'asse x' coincide con l'asse x (m=0).
Se V= 0,5 C
β =V/C = 0,5
m= 0,5
Ossia la retta che rappresenta l'asse T' ha un coefficiente angolare uguale a 0,5
Se V= C
β =V/C = 1
m= 1
Ossia la retta che rappresenta l'asse T' ha un coefficiente angolare uguale a 1, ossia ha una pendenza di 45°.
E' del tutto evidente che in quest'ultimo caso l'asse T' e l'asse x' hanno lo stesso coefficiente angolare m=1, ossia la stessa pendenza di 45°, per cui coincidono.
La figura mostra quanto appena descritto:
http://www.astrobin.com/full/64862/E/
Ho evidenziato, usando l'esempio di V=0,5C, come fissando una velocità V (tra S' e S), l'angolo tra T'' e T sia uguale all'angolo tra X'' e X, grazie ai due valori angolari che sono uno l'inverso dell'altro (per T' m=1/β; per x' m = β).
Paolo
caro Paolo,
malgrado un po' di ripensamenti il concetto è giusto!
caro Alvy,
tu hai eseguito un doppio passaggio del tutto inutile e dispersivo. Si chiedeva espressamente come disegnare il nuovo sistema nel vecchio. E, in ogni modo, tu hai cercato un legame tra x e x' che non ha senso (quella è proprio la trasformazione). Al limite dovevi cercarlo tra x' e T' ponendo x = 0 e T = 0. In ogni modo, è stata una strada molto contorta, quando la soluzione era immediata... non arrampichiamoci sugli specchi. Il diagramma di Minkowski, come abbiamo già visto nella costruzione geometrica pura, si basa su un sistema considerato fermo, su cui si descrivono i sistemi in movimento rispetto a lui. E' quindi ovvio che si chiede come devono essere descritte le rette del sistema in movimento e quindi x' e T' nel sistema che si considera fermo. Che si chiamino pure x' e T', esse non sono altro che rette descritte nel sistema x e T e quindi della forma x = f(T) e/o T = g(x). Il succo concettuale è tutto qui...
Tu, hai, invece cominciato ponendo x' = 0... (e/o T' = o). Proprio la cosa giusta, ma nel sistema x,T e non x',T'. Insomma, non è niente di grave, ma sembra che non si faccia uso della definizione di asse come luogo dei punti... E questo può creare inutile confusione...
Pensaci bene e mi darai ragione...
Questo era chiesto nella domanda:
"...Ci dicono subito quali sono i nuovi assi T’ e x’ e come si possano immediatamente disegnare nello spaziotempo di riferimento (T,x), proprio quello che avevamo ottenuto la volta scorsa in modo puramente grafico..."
Caro Enzo, ripensamenti doverosi quando ci si accorge che c'è qualcosa che non va
...
Nel primo post ho intuito la strada da percorrere, ma conteneva un errore di impostazione su come descrivere gli assi x' e T' (un errore di una banalità mostruosa).
Appena mi sono accorto dell'errore ho rivisitato l'intero ragionamento...
Tra l'altro anche l'ultimo post contiene due refusi
, negli ultimi due casi citati (V=0,5 C e V=C) ovviamente la retta decrive l'asse x' e non T' come erroneamente riportato (la figura invece riporta correttamente gli assi x' e T').
Paolo
caro Paolo (e caro Alvy)
questi due "quiz" mi sono solo serviti per impostare il cambiamento di assi che introduce il diagramma di Minkowski. Proprio perché è il primo passo in un mondo "nuovo", non euclideo, è necessario sgomberare il campo da incertezze e piccole o grandi confusioni.
Vi sono molti modi per farlo, ma ho pensato che la logica grafica e la matematica legata alle funzioni fossero i più intuitivi per inserire la relatività in un singolo disegno. Lo stesso Minkowski ha usato un approccio simile come vedremo inserendo una figura fatta proprio da lui. Per questo carattere di "introduzione" era necessario non utilizzare metodi più o meno contorti, ma rimanere legati all'estrema semplicità. Già così non sarà banale destreggiarsi tra linee di tempo e linee di spazio, tra contrazioni e dilatazioni, tra simultaneità e non simultaneità, tra eventi osservati con un solo orologio o con due, ecc., ecc.
Ogni tanto si deve essere molto precisi...
Comunque, ieri sera SMA ha tenuto la sua conferenza e aspettiamo tutti il resoconto (sicuri che sia stata un successo!). Stamattina, pubblico la soluzione (che già avete indicato), in modo molto formale e sarà anche il primo capitolo della seconda parte della RR...