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La relatività galileiana ci dice che i fenomeni della meccanica restano identici in qualsiasi sistema di riferimento inerziale vengano compiuti e, come ovvia conseguenza, che nessuno può sapere se è fermo o in movimento.

Il sistema deve essere inerziale in quanto l’apparizione di un’accelerazione cambierebbe l’esperimento di meccanica e chi fosse nel sistema si accorgerebbe di essere in moto. Se, mentre versate dell’acqua in un bicchiere, il treno accelera o rallenta l’acqua cade al di fuori del bicchiere…

La relatività speciale s’interessa solo e soltanto dei moti inerziali e di come ciò che succede su un sistema viene visto da un altro sistema. Questo vuole dire scrivere una trasformazione per passare da un sistema a un altro.

Nella relatività galileiana il tempo è una grandezza assoluta e l’unica trasformazione si ha nello spazio. Ciò vuol dire che la trasformazione non è altro che una traslazione lungo l’asse spaziale. Questo tipo di trasformazione implica che ciò che è simultaneo in un sistema lo è anche in tutti gli altri e che le distanze spaziali tra due punti si mantengono in qualsiasi sistema. Il diagramma spazio-tempo descrive il moto di un sistema rispetto a un altro e dimostra come gli spostamenti di un sistema rispetto a un altro siano relativi al sistema da cui si osservano gli altri.

La relatività speciale si estende a tutta la fisica e, per riuscirci, deve accettare che la velocità della luce sia un valore invalicabile e che resti costante in tutti i sistemi di riferimento. Queste ipotesi di partenza legano in modo indissolubile lo spazio con il tempo e viceversa. La trasformazione non è più una traslazione, dato che spazio e tempo sono legati linearmente tra loro. Se cambia il tempo cambia lo spazio (e fin qui poca differenza), ma se cambia lo spazio deve cambiare anche il tempo e qui le cose si complicano. Per potere mantenere l’uguaglianza dei fenomeni fisici in ogni sistema inerziale devono cambiare spazio e tempo per ogni trasformazione da un sistema a un altro.

La trasformazione che si deve utilizzare è quella già formulata da Lorentz.

La sola costanza della velocità della luce impone però un principio di base che dà il via a tutte le successive implicazioni. La simultaneità è variabile da sistema a sistema. In altre parole, ogni sistema è perfettamente uguale a un altro, ma quando viene visto da un altro appare trasformato sia nel tempo che nello spazio. Ciò che appare simultaneo in un sistema non lo è più in un altro.

Partendo da questa semplice constatazione ne derivano le “apparenti” dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze. Attenzione alla parola “apparente”. In ogni sistema il tempo scorre nello stesso modo e le lunghezze rimangono costanti, ma se visti da un altro sistema si “deformano” secondo la trasformazione di Lorentz. Ciò vuol dire che per chi vive in una certa realtà fisica, i tempi e le distanze di un sistema in movimento sono effettivamente cambiati. Se viviamo sulla Terra siamo costretti a osservare e misurare le dilatazioni dei tempi e la contrazione delle lunghezze in ogni sistema che si muove rispetto a noi. Per noi sono quindi realtà a tutti gli effetti (vedi esempio dei muoni).

Tuttavia, vale esattamente la stessa cosa se si cambia il sistema di riferimento. Per chi viaggia velocemente è la Terra che si muove e nella sua realtà è la Terra e il suo sistema solidale a mostrare dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze. Solo in questo modo sia il muone che l’osservatore terrestre assistono allo stesso risultato.

A questo punto non resta che cercare di disegnare un  diagramma in cui si possa riprodurre la trasformazione di coordinate spaziotemporali. Se ne considera uno fisso, quello su cui vive l’osservatore, e si descrivono tutti gli altri come vengono visti dall’osservatore. Il procedimento non è diverso teoricamente da quello del diagramma spaziotemporale di Galileo, ma questa volta non si ha una semplice traslazione spaziale, ma una completa deformazione di ogni sistema di coordinate. La trasformazione di Lorentz dimostra matematicamente che i nuovi assi di riferimento non sono più ortogonali tra loro e che l’unità di misura non si mantiene. Il fatto di non essere ortogonali deriva direttamente dalla simultaneità relativa che è più che sufficiente a tracciare i nuovi assi trasformati.

La non ortogonalità (ossia la non simultaneità) e la variazione dell’unità di misura vista dal sistema dell’osservatore permettono di ritrovare graficamente sia la dilatazione del tempo che la contrazione delle lunghezze. Inoltre, si deduce che questo diagramma non segue una geometria euclidea e che riesce a descrivere perfettamente l’intero spaziotempo dell’Universo.