In questo articolo cerchiamo di soffermarci un attimo su casi particolari di cubiche, in modo da osservare come si possano avere sia flessi orizzontali che obliqui sia massimi e minimi (ma non sempre). Usiamo solo lettere per affrontare i casi particolari in modo generalizzato. In questo modo, il linguaggio matematico diventa un linguaggio a tutti gli effetti e permette da solo di descrivere il tipo di risultato ottenibile nei vari casi. Un esercizio che reputo fondamentale per diventare sempre più amici delle lettere e non solo dei numeri... Seguite i passaggi con molta calma, riflettete a lungo ed eseguite tutti i disegni che volete...

Consideriamo delle cubiche che siano casi particolari, in modo da verificare le varie possibilità.

Ricominciamo con il caso già trattato in  precedenza, quello più semplice:

y = ax³

Questo caso ha, ovviamente:  b = 0, c = 0, d = 0

Per sapere il numero di soluzioni che annullano la derivata prima, consideriamo la relazione che abbiamo trovato la volta scorsa, ossia b² – 3ac. Se è minore di zero non vi sono soluzioni reali, se è maggiore di zero ne esistono due, se è uguale a zero ne esiste una sola.

b² – 3ac = 0 – 3·1· 0 = 0

siamo nel caso della soluzione unica e quindi abbiamo un flesso orizzontale. Le sue coordinate sono:

x_F = - b/3a = 0/3a = 0

y_F = 0

esattamente ciò che abbiamo trovato analizzando la funzione in dettaglio.

Mettendo a = 1, ritroviamo il caso numerico trattato precedentemente e quindi non c’è bisogno di fare un ulteriore esempio. Il coefficiente a non fa altro che cambiare la pendenza dei rami della curva. Che va comunque a più o meno infinito per x che va a più o meno infinito.

Complichiamola leggermente:

y = ax³ + d

anche in questo caso la derivata prima si annulla in un solo punto poiché:

b² - 3ac = 0   (sia b che c sono uguali a zero)

Segue che, nuovamente, abbiamo un flesso orizzontale:

x_F = 0

y_F = 0 + d = d

Esso si sposta lungo l’asse delle y in funzione del valore del termine noto d. Anche questo caso deriva immediatamente da quello precedente.

Inseriamo, adesso, il termine di primo grado in x:

y = ax³ + cx + d        

Andiamo a prendere di nuovo la radice quadrata che compare quando annulliamo la derivata prima:

b² – 3ac = 0 – 3ac = - 3ac

Cosa succede? Le soluzioni sono due dato che il parametro non va a zero, ma, purtroppo, sembra anche negativo. Cosa possiamo concludere? Le soluzioni sono due ed entrambe reali se

- 3ac > 0

Per ottenere questo risultato basta solo che a e c abbiano segno diverso. Il loro prodotto è sempre negativo e quindi cambiandogli segno abbiamo un risultato positivo.

Le due soluzioni sono, per l’esattezza :

x_1,2 = +/- (-3ac)^1/2/3a = +/- (-3ac/9a²)^1/2 = +/- (- c/3a)^1/2

Notiamo come le due soluzioni che corrispondono a un massimo e a un minimo (o viceversa) siano simmetriche rispetto all’origine. Una sta a destra e l’altra a sinistra (c’è un più e un meno davanti) rispetto all’asse y. Per ottenere le y corrispondenti basta sostituire le due x nella funzione di partenza.

Per sapere cosa sono (massimi o minimi) bisogna guardare la derivata seconda.

y’ = 3ax² + c

y” = 6ax

La prima x ci dà:

y”(- c/3a)^1/2 = 6a(- c/3a)^1/2

se a > 0 deve essere c < 0: la derivata seconda  è sicuramente positiva e quindi abbiamo un minimo

La seconda x ci dà:

y”(- (- c/3a)^1/2) =  - 6a(- c/3a)^1/2

se a > 0,  c < 0: la derivata è sicuramente negativa e  quindi abbiamo un massimo

Oppure… viceversa, per a < 0.

Esiste anche il flesso obliquo, per quanto detto precedentemente. La sua ascissa è data da:

x_F = - b/3a (come ormai sappiamo bene, dato che è il valore di x che annulla la derivata seconda)

Ma b = 0 e quindi il punto di flesso vale ancora

x_F = 0

e

y_F = d

Come nel caso precedente, ma adesso il flesso è obliquo dato che NON annulla la derivata prima.

E’ ascendente o discendente? Bisogna studiare il segno della derivata seconda e vedere quanto vale prima e dopo il punto di flesso (dove si annulla). Beh… la derivata seconda vale:

y” = 6ax

Tutto dipende dal segno di a. Se a è positivo, per x < 0  la derivata è minore di zero (concavità verso il basso) mentre per x > 0 la derivata è maggiore di zero (concavità verso l’alto): il flesso è ascendente. Se a è negativo vale il viceversa e il flesso è discendente.

Resta ancora da trovare la retta tangente nel punto di flesso.

E’ una retta che passa per il punto di flesso è che ha come coefficiente angolare la derivata prima calcolata nel punto di flesso. Proprio quello che abbiamo imparato a fare nella lezione precedente dedicata alla retta.

y – y₀ = m(x – x₀)     ricordate?

Sostituiamo il punto di flesso

y – d = m(x – 0)     retta per l’origine, ovviamente…

y = mx + d

m = y’(0) = 3a(0)² + c = c

La tangente nel punto di flesso obliquo O(0,d) ha come tangente la retta:

y = cx + d

Notiamo che il ragionamento eseguito sul flesso obliquo è del tutto indipendente dal fatto che a e c abbiano segno opposto oppure no. Nel secondo caso non ci sono massimi e minimi (la derivata prima non si annulla mai), ma il punto di flesso esiste ed è del tutto reale. Provare per credere…

Esistono ancora due casi particolari che possiamo svolgere attraverso le lettere: la mancanza del termine in x (c = 0) e quella del termine costante d. L’ultimo caso è banalissimo e lo tratteremo più in là attraverso l’equazione completa.  E’ ovvio, però, che il caso con d = 0 fa scorrere le curve fino a farle passare per l’origine, dato che per x = 0 deve anche essere y = 0.

Dedichiamoci a quello della cubica che manca del termine in x (ossia c = 0).

Diamoci dentro…

y = ax³ + bx² + d

Calcoliamo subito la derivata prima per vedere se esistono soluzioni che l’annullano:

y’ = 3ax² + 2bx = 0

Le soluzioni questa volta sono molto semplici (è un’equazione di secondo grado molto semplificata). Basta mettere in evidenza la x

x(3ax + 2b) = 0

Per annullare la derivata ci sono due possibilità: o x è zero, oppure è zero la parentesi.

Una soluzione è, quindi, x₁ = 0

L’altra è:

x₂ = - 2b/3a

Nessun problema allora. Vi sono sempre due soluzioni reali e quindi avremo un massimo e un minimo (lo verificheremo, ma possiamo già anticiparlo).

Uno di questi ha sempre ascissa uguale zero che porta ad avere anche la sua y uguale a d

y₁ = a · 0 + b · 0 + d = d

y₂ si ottiene, ovviamente, sostituendo il valore di x₂ nella funzione (è inutile farlo con le lettere, lo faremo con i numeri dell’esempio).

Che punti sono però?

Determiniamo subito la derivata seconda

y” = 6ax + 2b

e calcoliamola nei due punti di ascissa x₁ e x₂

y”(0) = 6a · 0 + 2b = 2b

E’ sempre diversa da zero e il suo segno dipende dal segno di b.

y”(- 2b/3a) = 6a(- 2b/3a) + 2b = - 12ab/3a + 2b = - 4b + 2b = - 2b

Anch’essa è sempre diversa da zero e ha segno opposto a quella precedente. Se un punto è un massimo l’altro è un minimo e viceversa.

Andiamo a cercare il flesso obliquo (non può certo esserci un flesso orizzontale dato che gli unici due punti con derivata prima uguale a zero li abbiamo già “piazzati”). Possiamo trovarlo ricordando la famosa formuletta che deriva dall’annullamento della derivata seconda:

x_F = - b/3a

e la relativa y_F che si ottiene, come sempre, andando a sostituire x_F nella funzione di partenza.

L’ascissa del flesso è esattamente a metà strada tra il minimo (o massimo) e il massimo (o minimo). Infatti la metà tra 0 e – 2b/3a è proprio – b/3a. Stessa cosa capita anche per l’ordinata (fidatevi)

Ricapitoliamo brevemente.

Nel caso in cui manchi il termine in x, abbiamo sicuramente un  massimo e un minimo e un flesso posto a metà tra di loro che deve essere obliquo. Non è possibile che ci sia un  flesso orizzontale, perché per qualsiasi coefficiente a e b le derivate prime danno sempre luogo a un massimo e a un minimo (due soluzioni reali e diverse che annullano la derivata prima). Particolarmente importante è il fatto che un massimo o un minimo (a seconda del segno di b) si trova sempre lungo l’asse delle y.

Dovremmo, adesso, vedere se il flesso è ascendente o discendente. E’, però, inutile trafficare troppo con le lettere ed è meglio lasciare questa operazione agli esempi numerici che faremo tra poco, cambiando i segni ai due coefficienti. Vedremo situazioni particolarmente interessanti…

Non ci rimane che determinare l’equazione della retta tangente nel punto di flesso.

E’ inutile scrivere tutta l’equazione (sappiamo farlo molto bene, ormai), ma ci possiamo limitare al coefficiente angolare m che è dato dalla derivata prima calcolata nel punto di flesso.

y’ = 3ax² + 2bx

m = y’(- b/3a) =3a(- b/3a)² + 2b (- b/3a) = 3ab²/9a² – 2b²/3a = - b²/3a

Notate che b compare solo al quadrato. Il che vuol dire che per un certo segno di a, il cambiare b in - b non cambia la direzione della retta tangente nel punto di flesso. Questo risultato porta a soluzioni veramente interessanti.

Nel caso di equazione completa (non l’avevamo trattato la volta scorsa), la tangente ha, invece, un coefficiente angolare che dipende anche da c. Infatti:

y’ = 3ax² + 2bx + c

e, quindi:

m = - b²/3a + c

Va bene, bando alle ciance, passiamo a qualche esempio pratico. Dato che il valore di d non fa altro che spostare in su o in giù la funzione rispetto all’asse delle x, possiamo tranquillamente considerare nei nostri esempi d = 0.

Finora non abbiamo disegnato figure. E’ stato fatto volontariamente per cercare di dedicarci solo e soltanto alle conseguenze che si ricavano dalla pura matematica. Inoltre, lavorando con delle lettere, la faccenda poteva anche confondere maggiormente. Chi vuol provare a sostituire lettere con numeri è, però, liberissimo di farlo… oppure può verificare come evolvano le cubiche al variare dei parametri. C’è un mondo matematico e geometrico da scoprire…

State tranquilli, però: con i futuri casi numerici eseguiremo il disegno della funzione, caso per caso e ritroveremo geometricamente e perfettamente tutto ciò che la matematica ci ha insegnato. Ovviamente, alcuni casi li lascerò a voi…

 

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