Anche se abbiamo concluso (almeno momentaneamente) lo studio delle funzioni, queste ultime rimangono un punto fondamentale della matematica e continuano a essere nel nostro mirino. Vogliamo arrivare al calcolo dei loro integrali e quindi cominciamo con il loro sviluppo in serie, un argomento poco divulgato che è però di importanza fondamentale.

Abbiamo già visto certi numeri molto importanti, ma contemporaneamente molto scorbutici. Uno fra tutti è il numero e (ma anche π): dopo la virgola i decimali si susseguono senza alcun ordine e non finiscono mai. Come poterlo calcolare? Non ditemi che basterebbe avere un PC o una calcolatrice tascabile! Si sposterebbe solo il problema, dato che la “macchina” lo calcola sulla base di formule matematiche che le sono state insegnate e immesse in memoria.

Non possiamo certo pensare di andare a tentativi e aggiungere e togliere quantità numeriche sperando di approssimare sempre più il numero voluto. E’ necessario utilizzare una qualche regola chiara e precisa che ci permetta di sapere istante per istante a che livello di precisione siamo arrivati e, soprattutto, fare in modo che ciò che aggiungiamo al numero ricavato sia sempre più piccolo di quello usato precedentemente. Solo in questo modo possiamo dire di avvicinarci sempre più alla soluzione finale. Una soluzione finale che non può esistere, per definizione, ma che, lavorando con ordine e con sistematicità, possiamo sempre tenere sotto controllo, ossia possiamo sempre sapere l’errore di approssimazione che stiamo commettendo. Se, ad esempio, in un problema di fisica ci basta raggiungere le dimensioni del centimetro, possiamo tranquillamente fermarci a un numero che fornisca esattamente i millimetri (tanto per essere sicuri) e tralasciare tutto ciò che è inferiore al millimetro.

Cercare di approssimare un numero o più in generale una funzione (il numero diventa la funzione calcolata in un punto) attraverso una serie di termini successivi in cui ogni ulteriore aggiunta migliori sempre di più l’approssimazione è di interesse estremo in matematica e di conseguenza in fisica. Alcune funzioni sono complicatissime da trattare e da studiare, ma se riuscissimo a scriverle sotto forma di serie continua di funzioni più semplici, sapendo come e quando fermarci a seconda degli scopi, supereremmo ostacoli insormontabili. Questo problema è tra i più comuni in tutti i campi della fisica, non ultima quella quantistica. Ricordate come Feynman aggiungeva diagrammi sempre più complicati per ottenere la probabilità finale? Ebbene, faceva qualcosa del genere: a seconda della precisione desiderata non doveva far altro che inserire una serie di nuovi diagrammi con un numero crescente di interazioni e sapeva di migliorare sicuramente il risultato finale.

Ma lasciamo da parte la MQ e limitiamoci alla nostra matematica, in attesa di poterla applicare a qualche caso peculiare.

Ciò di cui stiamo parlando sono gli sviluppi in serie di una funzione. In parole molto semplici, cercare di scrivere qualsiasi funzione attraverso uno sviluppo in serie di funzioni (ovviamente più semplici) che possa essere interrotta in qualsiasi momento, conoscendo perfettamente la precisione raggiunta. Lo sviluppo in serie apre un nuovo mondo matematico, che l’introduzione degli infinitesimi e dei concetti di limite e derivata ha semplificato di molto. Noi ci occuperemo della più utilizzata, quella di Taylor e della sua sorella semplificata di Maclaurin, senza pretendere di visitare tutto ciò che gli sta dietro: avremo già imparato molto.

In realtà, il concetto di sviluppo in serie per approssimare una funzione è già insito nel concetto di limite. Ricordate Achille e la tartaruga? Esiste sempre un intervallino piccolo a piacere  che è minore della distanza tra Achille e la tartaruga. Matematicamente Achille è destinato a perdere, ma fisicamente no. Una serie ammette questa differenza e ci permette di fermarci dove la fisica è soddisfatta.

Cercheremo di arrivare alla serie di Taylor avvicinandoci per gradi. Vedremo anche come sia relativamente facile costruire una serie di funzioni anche senza l’utilizzo dei limiti e delle derivate. Vedremo, però, che la loro conoscenza semplifica e generalizza di molto la soluzione. Per ricavare la serie di Taylor useremo due metodi: uno brutalmente empirico (in qualche modo, poco matematico) e poi – se necessario- uno più rigoroso che faccia uso di un paio di teoremi sulle funzioni.

Avvicinandoci a Taylor vedremo subito quale sia il significato delle derivate successive in un contesto di continuo miglioramento dell’approssimazione. Teniamo sempre conto, però, che l’approssimazione rimane valida solo in un intorno più o meno grande del punto in cui si vuole studiare la funzione. Aspettatevi un approccio ben poco usato in genere, ma che penso sia utile per capire prima il concetto generale e solo dopo iniziare a scrivere funzioni più o meno complicate. E’ in fondo il nostro modo di fare e penso che l’iniziale perdita di rigorosità venga utile per una migliore comprensione concettuale del problema.

Lo studio degli sviluppi in serie ci traghetterà verso gli integrali…

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