35. Approssimiamo un polinomio con un polinomio… **
Abbiamo iniziato una specie di gioco che sta diventando un piccolo “giallo”. Continuiamo senza preoccuparci più di tanto della visione molto empirica e poco matematica…La mettiamo velocemente alla prova.
Proviamo a vedere se la nostra “intuizione” che fa uso delle derivate successive è corretta oppure no. La cosa migliore da fare è applicarla a un… vero polinomio. Il risultato deve dare esattamente la funzione di partenza.
Consideriamo come funzione:
y = x3 + x2 + x
Come punto in cui approssimare la funzione scegliamo proprio l’origine degli assi, ossia x = 0 (è necessario farlo, altrimenti ci troveremmo nei guai. Guai, però, che si risolveranno da soli).
Vediamo quanto valgono la funzione e le sue derivate successive, calcolate in quel punto:
f(0) = 0
f ’(x) = 3x2 + 2x + 1
f ’0) = 1
f ”(x) = 6x + 2
f ”(0) = 2
f III (x) = 6
f III (0) = 6
f IV(x) = 0
f IV(0) = 0
Prendiamo la forma empirica che avevamo ricavato la volta scorsa e applichiamola al nostro caso, senza pensare all’errore, ossia immaginando di proseguire con le derivate successive. Ovviamente ci fermiamo quando la derivata diventa zero, dato che saranno zero anche tutte quelle successive. L'errore deve diventare zero...
f(x) = f(x0) + f ’(x0) (x – x0) + f ”(x0) (x – x0)2 + f III(x0) (x – x0)3 + fIV(x0) (x – x0)4 + …
f(x) = f(0) + f ’(0) x + f ”(0) x 2 + f III(0) x03 + f IV(x0) (x – x0)4 + …
f(x) = 0 + 1 x + 2 x2 + 6 x3 + 0 x4 + ….
Alla fine otteniamo:
f(x) = x + 2x2 + 6x3
Accidenti, ci siamo quasi, ma non tornano i coefficienti dei vari termini in x…
Un’idea di come fare ce l’avremmo anche, ma… è meglio provare con una funzione di grado più elevato. Vediamo se conferma la nostra ipotesi un po’ balzana (ce l’avete anche voi, vero?).
f(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x
Calcoliamo di nuovo le derivate per x = 0
f(0) = 0
f ’(x) = 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1
f ’(0) = 1
f ”(x) = 20x3 + 12x2 + 6x + 2
f ”(0) = 2
f III (x) = 60x2 + 24x + 6
f III (0) = 6
f IV(x) = 120x + 24
f IV(0) = 24
f V(x) = 120
f V(0) = 120
f VI(x) = 0
f VI(0) = 0
Da cui:
f(x) = x + 2x2 + 6x3 + 24x4 + 120x5
La funzione non è quella di partenza, ma la nostra idea balzana sembra proprio funzionare…
L’idea balzana (che adesso non è più tanta balzana) è che per fare tornare la funzione di partenza è necessario dividere i coefficienti numerici per un qualcosa che non è difficile da determinare in modo generale e che dipende solo e soltanto dall’esponente di x. Qualcosa che è sempre legato alla derivata di una potenza...
Provate a pensarci e ci risentiamo presto…
QUI il capitolo precedente
QUI il capitolo successivo
QUI l'intero corso di matematica
4 commenti
Caro Enzo, a me pare che per “trovare” la funzione iniziale con i coefficienti corretti sia necessario ragionare sulle derivate e su come si calcolano in presenza di una potenza:
x^n = n x^(n-1), come ad esempio: x^5 = 5 x^(5-1) = 5 x^4
Se uso una sequenza di derivate, ad ogni passaggio si abbassa il grado (ossia l’esponente a cui la x è elevata), ma l’esponente (grado) precedente compare come coefficiente, ed in una sequenza tali coefficienti si moltiplicano fra loro:
y= x^5
y’ = 5 x^(5-1) = 5 x^4
y’’ = (5) (4) x^(4-1) = 20 x³
y’’’= (5) (4) (3) x^(3-1) = 60 x²
y’’’’=(5) (4) (3) (2) x^(2-1) = 120 x
y’’’’’= (5) (4) (3) (2) (1) x^(1-1) = 120
Tornando alla funzione approssimata, dato che le derivate sono calcolate con x=0, ad ogni derivata successiva rimane solo l’ultimo termine (quello che nel passaggio precedente aveva solo la x, o meglio x¹), sotto forma di un coefficiente che dipende da quanti passaggi precedenti sono stati eseguiti.
Provo a spiegarmi meglio, se ci riesco, partendo dalla funzione approssimata ricavata prima: f(x) = x + 2 x² + 6 x³ + 24 x^4+ 120 x^5
Il coefficiente del secondo termine (2 x²) è 2, ossia è uguale al prodotto tra l’esponente a cui è elevato il primo termine x (ossia 1) e quello a cui è elevato il secondo x² (ossia 2): (2) (1) = 2
Il coefficiente del terzo termine (6 x³) è 6, ossia è uguale al prodotto tra l’esponente a cui è elevato il primo termine x (1), quello a cui è elevato il secondo termine (2) e quello a cui è elevato il terzo termine (3): (2) (1) (3) = 6
Il coefficiente del quarto termine (24 x^4) è 24, ossia è uguale al prodotto tra l’esponente a cui è elevato il primo termine x (1), quello a cui è elevato il secondo termine (2), quello a cui è elevato il terzo termine (3), e quello a cui è elevato il quarto termine(4): (2) (1) (3) (4) = 24
Il coefficiente angolare del quinto termine (120 x^5) è 120, ossia è uguale al prodotto tra l’esponente a cui è elevato il primo termine x (1), quello a cui è elevato il secondo termine (2), quello a cui è elevato il terzo termine (3), quello a cui è elevato il quarto termine (4) e quello a cui è elevato il quinto termine (5): (1) (2) (3) (4) (5) = 120
Con questo metodo potrei continuare anche oltre la funzione approssimata
f(x) = x + 2x² + 6x³ + 24x^4+ 120x^5+ 720 x^6 + 5040 x^7 …….
Quindi per ricostruire la funzione iniziale, basta dividere il coefficiente di ogni termine, così come risulta nella funzione approssimata, per il prodotto degli esponenti dei termini precedenti moltiplicato per l’esponente del termine in questione, quindi:
f(x) = x + 2 x² + 6 x³ + 24 x^4+ 120 x^5
f(x)= x + 2x²/(2)(1) +6 x³/(3)(2)(1) +24 x^4 /(4)(3)(2)(1) +120 x^5/(5)(4)(3)(2)(1)
Sbaglio
Paolo
no, non sbagli
Scusi , sono capitato di sfuggita nel sito , ma in prima battuta non è la formula di Taylor con punto iniziale x0=0? Che nel caso di un polinomio , restituisce un polinomio (semplicemente traslato se l'origine non è il punto x0=0)
caro Angheran,
sto proprio cercando di dedurre empiricamente la formula di Taylor... di cui la Mclaurin è un caso particolare. E' chiaro che applicandola a un polinomio si deve riottenere il polinomio...O, forse, non ho capito cosa intendi dire...