Sospendiamo, brevemente, il lento percorso verso gli integrali e divertiamoci un attimo con la storia della matematica. Il nostro Paolo si è scontrato con la progressione aritmetica e ne ha dato una spiegazione che va più che bene (e che in fondo abbiamo già usato nel capitolo 40). Tuttavia, il calcolo della somma dei termini di una progressione aritmetica è stato risolto analiticamente da un bambino di dieci anni, un po’ sfaticato (non voleva eseguire troppi calcoli inutili), ma piuttosto intelligente! Parliamo di un certo Gauss, considerato il più grande matematico dei tempi moderni…

Lasciamo un attimo da parte l’approccio usato dal nostro Paolo che ci verrà utile tra non molto. Torniamo, invece, indietro nel tempo e immaginiamo di essere in una scuola di fine ‘700.

L’insegnante si diverte a far “divertire” i suoi alunni con calcoli aritmetici piuttosto noiosi e complessi. Più che altro cerca di pensare ai fatti suoi e/o a riposare: un bell’esercizio lungo e faticoso è proprio l’ideale. Niente di male, dato che, non essendoci le calcolatrici elettroniche, le somme e le moltiplicazioni andavano fatte a mano e bisognava acquistare una grande dimestichezza.

Tra gli alunni di una classe vi sono sempre stati sia gli sfaticati che i volenterosi, più o meno dotati. I primi, fingono di svolgere l’esercizio e magari pensano ai fatti loro (ma non disturbano l’insegnante), i secondi eseguono passo dopo passo il compito da svolgere, impiegando un tempo necessariamente lungo (come previsto dall’insegnante).

Tutto bene? Non proprio se tra gli alunni di circa dieci anni ve n’è uno di nome Johann Carl Friedrich e di cognome Gauss! Egli potrebbe anche essere considerato uno sfaticato, nel senso che non ha alcuna voglia di eseguire calcoli lunghissimi. Vuole finire in fretta e allora usa spesso la ragione e la logica per ridurre di molto i tempi di calcolo. Non per niente diventerà il “Principe” dei matematici moderni e sarà contrapposto ad Archimede, il “Principe” degli antichi.

Un certo giorno, l’insegnante decide di fare svolgere delle somme piuttosto laboriose ai suoi allievi, considerando un centinaio di numeri che differivano tra loro dello stesso numero intero. Qualcosa come 2,5,8,11, ecc. che differiscono sempre dello stesso numero 3. Oggi le chiamiamo progressioni aritmetiche. Vi immaginate se oggi venisse proposto nelle scuole elementari un esercizio del genere senza PC o telefonino? I genitori si mangerebbero vivo il maestro e lo accuserebbero di far bruciare il cervello ai loro cari figlioli. A quei tempi sicuramente no… ma si era molto più indietro nella civiltà…

Torniamo al nostro Gauss e al suo compito. Immaginiamo di semplificare un poco l’esercizio proposto (poi lo amplieremo). Già così è abbastanza noioso…

Bisogna sommare tutti numeri interi da 1 a 100. In questo caso, la differenza costante tra i vari numeri è proprio l’unità. Più semplice di così. Tuttavia, senza computer bisogna fare uno più due più tre più quattro più ecc. ecc. fino a più cento. Gli sfaticati tirano fuori qualche passatempo; i laboriosi iniziano la loro fatica; Gauss, invece, pensa e non poi molto.

Lui dice: “Se devo sommare i numeri da 1 a 100 è come se dovessi sommare i numeri da 100 a 1.In entrambi i casi devo ottenere la stessa somma S. Provo a scriverle le due successioni di numeri una sotto l’altra…”  e così fa, molto rapidamente (in realtà non ha nemmeno bisogno di scriverla…).

S₁ =     1    +    2   +    3    +    4   +    5   + …. +  100

S₂ = 100   +  99   +  98   +   97  +   96  + ….  +      1

E’ ovvio che S₁ = S₂. Gauss prova a sommare le coppie di numeri in  colonna… la loro somma è sempre 101 (risultato più che ovvio, basta pensarci un attimo).

Quanto vale, allora, il termine generico della somma? Presto detto:

(1 + 100) = (2 + 99) = (3 + 98) = ….. = (100 + 1) = (1 + n)

Può, perciò, prenderne uno qualsiasi e sa che gli altri sono tutti uguali. Tanto vale prendere il primo che vale proprio (1 + n). Ma quanti ve ne sono di questi termini tutti uguali? Beh… ovviamente n. E allora la somma delle due somme S₁ e S₂ deve valere enne volte il valore enne più uno! Ma S₁ è uguale a S₂, perciò il piccolo Gauss può andare alla lavagna e scrivere subito il risultato:

S₁ + S₂ = 2S = n (n + 1) = 100 · 101 = 10100

S = 10100/2 = 5050

E l’insegnate rimane “fregato” e -soprattutto- a bocca aperta.

In parole molto più serie e matematiche il “pestifero” Gauss aveva trovato il valore della somma della più semplice progressione aritmetica:

S = n (n + 1)/2

In realtà, a quei tempi gli esercizi erano più complicati e l’insegnante non usava certo numeri da 1 a 100, ma almeno numeri di quattro cifre, come , ad esempio:

4330 + 4331 + 4332 + ….  + 4429

Per Gauss, ovviamente, questo non era certo un problema. A lui bastava sapere quanti numeri ci fossero da sommare (n), eseguire la somma del primo e dell’ultimo della serie, moltiplicarlo per n e dividere per due. Una sciocchezza anche per gli allievi sgobboni… bastava pensare e ragionare.

Sono stato, comunque, ancora troppo buono relativamente al maestro di Gauss. Lui faceva le cose veramente complicate e la differenza tra due numeri non era mai uno, ma, ad esempio, 112! Ossia:

4330 + 4442 + 4554 + …. + 15418

Nessun problema per Gauss, dato che la formula non cambia assolutamente…

Dimostriamolo con le lettere e cerchiamo di essere meno… infantili (si fa per dire…).

Chiamiamo a₁ il primo termine della progressione. La differenza tra i vari termini, costante, sia d e chiamiamola ragione della progressione. Il termine ennesimo vale, allora:

a₁ + (n -1) d

Questa relazione è immediata (non facciamoci sentire dal bimbo Gauss mentre la spieghiamo…).

Il primo termine è

a₁

Il secondo è:

a₂ = a₁ + d

Il terzo è:

a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d

L’ennesimo è:

a_n = a₁ + (n - 1)d

Cosa dobbiamo dimostrare, adesso?

Presto detto:

a₁ + a₂ + a₃ + …. + a_n = n(a₁ + a_n)/2

Eseguiamo, come all’inizio, le due somme (uguali) invertite tra loro:

S = a₁  +  a₂   +  a₃   + …. + a_n

S = a_n + a_n-1 + a_n-2 + …. + a₁

Beh … continua a valere l’uguaglianza:

a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 = a₃ + a_n-2 = .... = a_n + a₁

Infatti, da:

a_n = a₁ + (n - 1)d

si ha subito:

a₁ + a_n = a₁ + a₁ + (n - 1)d

Consideriamo un altro termine qualsiasi, come il secondo

a₂ = a₁ + d

a_n-1 = a₁ + (n - 1 - 1)d = a₁ + (n - 2)d

La loro somma vale:

a₂ + a_n-1 = a₁ + d + a₁ + nd – 2d = a₁ + a₁ + nd – d = a₁ + a₁ + (n - 1)d

Ossia:

a₂ + a_n-1 = a₁ + a_n

Come volevasi dimostrare…

Sommando n volte il termine (a₁ + a_n), uguale a tutti i successivi, si ha:

2S = n(a₁ + a_n)

E, infine:

S = n(a₁ + a_n)/2

Che è la formula generale della somma della serie aritmetica, qualsiasi sia la sua ragione d.

Non ditemi che è stato difficile… Gauss era un matematico immenso, ma aveva solo dieci anni!

Torniamo all’approccio di Paolo o -ancora meglio- a ciò che avevamo visto discutendo di velocità, di accelerazione, di rettangoli e di triangoli.

Calcolare la somma della progressione di  n numeri interi di ragione 1 è proprio calcolare l’area di un triangolo formato dalla retta y = x. Tuttavia, sappiamo benissimo che l’area di un triangolo è sempre uguale all’area di un rettangolo che ha per base la stessa base e per altezza il valor medio della y nell’intervallo considerato (guardate la Fig. 5 del capitolo 40, considerando v = y e t = x). Ne segue che per calcolare l’area del triangolo (ossia la somma dei termini di una progressione aritmetica di ragione 1) basta calcolare il valor medio dell’intervallo della y che varia tra 1 e n, ossia:

y_M = (1 + n)/2

L’area del rettangolo, ossia la somma della progressione, vale, quindi (n è il lato lungo le x):

S = x · y_M = n(1+n)/2

Abbiamo ritrovato la formula di Gauss… Non saremo proprio come lui, ma non siamo poi tanto male…

Tenete conto che variando la ragione d, la retta si inclina sempre di più… e chi vuole divertirsi lo può fare tranquillamente, sia analiticamente che geometricamente. Comunque, torniamo agli integrali…