Categorie: Matematica Relatività
Tags: relatività ristretta sviluppo in serie
Scritto da: Vincenzo Zappalà
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!!QUIZ: una serie può essere molto … energetica **
L'esercizio richiesto è estremamente semplice: lo sviluppo in serie di Mclaurin di una funzione che, quando la variabile x e la costante k diventano qualcosa di ben definito, acquista un’importanza “stratosferica”. Per adesso, però, limitiamoci alla funzione generica e poi, quando sarà giunta l’ora, eseguiremo i cambiamenti del caso. Guai a creare confusione!
La funzione è la seguente:
f(x) = k/(1 – x)1/2
Ciò che vogliamo scrivere è il suo sviluppo in serie di Mclaurin, tenendo presente che k è una costante. Oltretutto, non dobbiamo andare molto in là e nemmeno trovare il termine generale. Basta e avanza scriverla fino al secondo grado (ossia fermarsi al terzo termine della serie). Un esercizio veramente banale per chi ha capito lo sviluppo in serie.
Scrivetela e guardatela con molto rispetto. La sua importanza sta nella funzione che vogliamo sviluppare, dato che rappresenta una grandezza fondamentale della relatività ristretta, ma ancora di più nel suo sviluppo (bastano i primi due termini…) che apre una finestra meravigliosa sull’Universo relativistico e sulla fisica moderna.
Chi vuole ragionarci sopra può anche scoprire il valore di k e quello di x, che tra un po’ di tempo inseriremo (prima gli integrali, però…). In particolare, occhio al ... titolo. Tuttavia, non chiedetemi di commentare queste eventuali previsioni anticipate. Le tratteremo a tempo debito. Al limite, posso solo dire se sono giuste oppure no, ma non voglio assolutamente discuterle a questo punto. Ogni cosa a suo tempo…
L’esercizio serve a capire che un semplice sviluppo in serie può diventare un'azione fondamentale per comprendere come si ricavi uno dei pilastri della fisica. Per adesso, però, consideriamolo un semplice esercizio matematico…
La sua ricaduta, che daremo a tempo debito, mostrerà quanto la matematica sia ben lontana dall’essere una materia arida e noiosa. In questo caso, il linguaggio della fisica ha permesso di scrivere un vero capolavoro… “letterario”!
Invito molti di voi a risolvere il quiz (veramente facile). Senza ancora saperlo (forse) farete lo stesso passo fondamentale eseguito dal grande Albert… Potrete sentirvi un po’ suoi… colleghi!
Buon divertimento…
9 commenti
f(x)=k (1-x)^(-1/2)
f'(x)=k/2 * (1-x)^(-3/2)
f''(x)=3k/4 * (1-x)^(-5/2)
f(0)=k
f'(0)=k/2
f''(0)=3/4 K
f(x)=k + k/2 x + 3/4 k x^2/2!
se consideriamo x =v^2/c^2, la funzione rappresenta k moltiplicato per il fattore di Lorentz:
f(x)=k (1-v^2/c^2)^(-1/2)
se sostituiamo a x =v^2/c^2 nello sviluppo in serie e consideriamo solo i primi due termini:
f=k + k/2 * v^2/c^2
k deve avere le dimensioni di un energia, potrebbe essere una massa per una velocità al quadrato,
e inoltre essendo k una costante, potremmo scegliere c
cioè m c^2
la formula allora diventa:
E=m c^2 + 1/2 m v^2
se pensiamo all' energia di una particella di massa m che si muove con velocità v questa potrebbe essere l'energia totale, essendo 1/2 m v^2 l'energia cinetica.
deve esserci un legame, tipo quello che lega il tempo proprio di una particella al tempo misurato che è il fattore di Lorentz, e l'energia "propria" di una particella e quella vista
da un altro sistema di riferimento (nel sistema solidale alla particella, l'energia sarebbe solo
m c^2 perchè la velocità è zero,non c'è energia cinetica)
è solo un'analogia, non so dimostrarlo;
Umberto... non dico ancora niente, ovviamente...
Caro Enzo, per risolvere la prima parte del quiz basta applicare quanto descritto nei precedenti articoli sulla serie di Taylor, o meglio su quella di Mclaurin.
Dato che:
f (x) = k/(1 - x)^1/2
f (0) = k/(1 - 0)^1/2 = K
Si deve calcolare la derivata prima di una costante (K) moltiplicata per la funzione di una funzione ((1 - x)^-1/2)
f(x) = k 1/(1 - x)^1/2 = k (1 - x)^-1/2
derivata di (1 - x)^-1/2 = (-1/2) (1-x)^-3/2 = -1/2(1-x)^3/2
derivata di -x = -1
f'(x) = K (-1/2(1-x)^3/2 (-1)) = k 1/2(1-x)^3/2
f' (0) = K/2 (1-0)^3/2= k/2
Anche la derivata seconda è una costante (K) moltiplicata per la funzione di una funzione
f'(x) = k 1/2 (1-x)^-3/2
derivata di (½) (1-x) ^-3/2 = (-3/4) (1-x)^-5/2 = - 3/4(1-x)^5/2
derivata di -x = -1
f''(x) = K (-3/4(1-x)^5/2 (-1)) = 3k/4(1-x)^5/2
f''(0) = 3k/4(1-0)^5/2 = 3k/4
Ora basta inserire le derivate calcolate in x0=0, nella serie di Maclaurin, ricordando che 1!=1 e 2!=2:
f(x)= f(0) + f’(0) x/1! +f”(0) x²/2!
f(x)= k + (k/2) x/1! + (3k/4) x²/2
f(x)= k + (½) k x + (3/8) k x²
A questo punto inizia la parte più complessa del quiz.
La funzione iniziale f (x) = k/(1 – x)^1/2 assomiglia moltissimo al fattore di Lorentz applicato ad una costante K:
γ = 1/(1- (v²/c²) )^1/2 fattore di Lorentz
ponendo x = (v²/c²) γ = 1/(1- x )^1/2
Quindi la funzione iniziale diventa:
f(x) = f (x) = k γ
e la su approssimazione con la serie di Maclaurin:
f(x) = k + (½) k (v²/c²) + (3/8)k (v²/c²)²
A questo punto dato che in qualche modo k deve avere a che fare con l'Energia e che possiamo usare solo i primi due termini di approssimazione, ammettiamo che K sia l'energia cinetica.
L'Energia cinetica posseduta da un corpo di massa m che si muove a velocità costante, misurata nel proprio sistema di riferimento è data da: Ec= ½ m v²
Lasciamo perdere per un istante che nessun corpo può viaggiare alla velocità della luce, tranne i fotoni (a cui però non viene attribuita alcuna massa).
Voglio provare, però, a far tendere v a c, per vedere cosa succede all'Energia cinetica:
Ec lim v → c = lim v → c ½ m v² = ½ m c²
ma un simile calcolo non tiene conto che man mano che la velocità si avvicina a quella della luce, il sistema di misura del nostro sistema di riferimento non è più valido per quello della particella in movimento.
Tornando alla funzione iniziale f (x) = k/(1 – x)^1/2, riscritta con x = (v²/c²)
f (x) = k γ
Sembra che anche il calcolo dell'Energia sia legato al fattore di Lorentz.
A questo punto uso i primi due termini della serie di Maclaurin:
f(x)= k + (½) k x
f(x) = k + (½) k (v²/c²)
f(x) = k + k (v²/2c²)
f(x) = k + (kv²/2c²)
f(x) = (2c²k + k v²)/2c²
f(x) = k (2c²+ v²)/2c²
Ammettiamo di voler confrontare l'Energia una particella di massa piccolissima che viaggia ipoteticamente alla velocità della luce con quella di una particella che si muove a velocità subluminale v.
f(x) = ½ mc² (2c²+ v²)/2c²
f(x) = m (2c²+ v²)/4
f(x) = (2mc²+ mv²)/4
f(x) = 2mc²/4 + mv²/4
f(x) = ½ mc² + ¼ mv²
In questa funzione compare metà della massa di un corpo che viaggia ipoteticamente alla velocità della luce e ¼ di massa di un corpo che viaggia alla velocità v.
½ mc² (riferita a velocità della luce)
¼ mv² (riferita a velocità v)
ma ¼ mv² = ½ (½ mv²) = 1/2 Ec
se moltiplico entrambi i termini per 2 posso confrontare l'Energia necessaria affinché un corpo di massa m si muova alla velocità della luce e quella cinetica di un corpo che si muove a velocità v
E = (½ mc²) 2 = mc²
Ec = (¼ mv²) 2 = ½ mv²
Il primo termine dovrebbe rappresentare l'Energia necessaria affinché una particella dotata di una massa m viaggi alla velocità della luce ed il secondo termine l'Energia cinetica necessaria affinché una particella viaggi alla velocità v.
Non so se questo approccio è corretto, poiché si basa più che altro su similitudini.
Dato che la velocità della luce non è superabile il valore massimo di Energia “posseduta” da un corpo non può superare E =mc²
Ovviamente la somma successiva (della funzione approssimata) non è applicabile, poiché nessuna velocità può sommarsi a c.
Paolo
La soluzione proposta da Umberto mi sembra più convincente.
In effetti dato che k è una costante basta abbinarla a qualcosa che è costante in qualunque sistema di riferimento, come la velocità della luce.
Quindi nulla vieta di attribuire a k il valore di mc²
Ne segue che la serie di Mclaurin diventa:
f(x) = k + (½) k (v²/c²)
f(x) = mc² + (½) mc² (v²/c²)
f(x) = mc² + ½ m v²
Se f(x) è l'Energia...
E = mc² + ½ m v²
E = m (c² + ½ v²) ma la velocità della luce non è superabile per cui nessuna velocità può sommarsi ad essa, quindi:
E = m c²
Paolo
beh, ragazzi... l'esercizio è stato risolto brillantemente (non avevo dubbi in proposito...
), mentre il suo significato è vicinissimo al vero... E' infatti uno dei tanti metodi usati (io penso di usarne un paio) per arrivare alla celebre formula. Tuttavia, prima bisogna fare altri calcoli, ricordando, soprattutto, che nella RR bisogna che si mantengano le famose conservazioni. Ma, per ottenere questo, bisogna cambiare il momento e l'energia cinetica...
Comunque, per adesso lasciamo stare, ma mi compiaccio per l'intuizione!!!
Ciò non vuol dire che altri non cerchino di darmi il risultato...
Beh... ve lo meritate vi scrivo la serie...
K = mc^2 + mv^2/2 + ...
K è l'energia cinetica corretta che vale:
K = mc^2/(1 - (v/c)^2)^1/2
Da cui... ecc., ecc.
Basta, basta, se no non mi fermo più, ma abbiamo ancora bisogno degli integrali!!!
ma voi c'eravate già arrivati... bravissimi!!!!
Caro Enzo, mi è rimasto comunque un dubbio, ossia da dove arriva quel mc²...
Ho cercato di darmi una spiegazione ed ho formulato un'ipotesi …. mi interessa solo sapere se è una sciocchezza o se c'è del vero... c'è ancora parecchio da fare con gli integrali prima di affrontare rigorosamente l'argomento.
L'idea
è quella di bloccare “istantaneamente” una particella che si muove ipoteticamente alla velocità della luce.
Ciò che mi sono chiesto è quanto vale l'Energia necessaria per bloccare “istantaneamente” il movimento della particella?
Lo Spazio che la particella percorre alla velocità della luce è uguale a:
S= Ct
t = S/C
Nel medesimo tempo t deve agire una Forza capace di imprimere una decelerazione tale da passare da C a V= 0:
a = (V - C)/t = (0 – C)/t = -C/t
t = - C/a
Eguagliando il tempo:
t = S/C = - C/a
S = -C²/a
a = - C²/S
Per frenare il movimento si deve applicare una Forza
F = ma = - mC²/S
L'energia necessaria per frenare la particella dovrebbe valere:
E = F S
E = -mC²/S S
E = - m C²
Questa dovrebbe essere l'Energia necessaria per bloccare “istantaneamente” la particella (da qui il segno negativo) ossia per passare da velocità C a velocità zero!
Ne segue che questo è anche il valore dell'Energia di un corpo che viaggia ipoteticamente alla velocità della luce, ossia la massima Energia posseduta da un corpo:
E = m C²
Potrebbe derivare da un simile ragionamento quel k = m C², a cui la funzione applica il fattore di Lorentz, per passare da un sistema di riferimento a un altro?
Paolo
caro Paolo,
la faccenda è molto più semplice (?) e parte tutto dalla quantità di moto. In realtà, quella è proprio l'energia di chi sta fermo... Comunque, è meglio aspettare e parlarne in modo disteso e regolare... Abbi pazienza. Il tuo approccio, però, non è certo da buttar via... a parte il fatto che una particella NON può viaggiare alla velocità della luce. Lo può fare solo chi non ha massa... Tutto nasce proprio dal fatto che la velocità non può seguire il secondo principio della dinamica e deve essere modificata per non rischiare di andare oltre a c. Dai... fermiamoci se no creiamo confusione...
Tra poco, introdurremo gli integrali e di esercizi ce ne saranno a iosa!