E’ ora di abbandonare la visione geometrica e dedicarci alla vera essenza dell’integrale definito. Alla fine troviamo che esiste un operatore in grado di farci superare tutte le problematiche legate al calcolo delle aree attraverso tanti rettangolini. Una definizione diversa di integrale (chiamato indefinito) ci permette di definire questa operazione. Questo articolo può sembrare banale, come quelli che l'hanno preceduto. In realtà, è così, ma esso nasconde un salto concettuale non indifferente, per cui vi invito di digerirlo molto bene (solo per questo ho inserito i tre asterischi).

Finora, abbiamo evidenziato soprattutto il fatto che la somma di tante piccole aree di rettangolini infinitesimi ci porta all’area totale della funzione in oggetto, qualsiasi essa sia. Dalla velocità, che ci ha permesso di calcolare lo spazio, siamo passati, infatti, a una visione ben più generale che si applica all’area di qualsiasi funzione f(x), in un certo intervallo. Quest’area è stata chiamata integrale definito. Tutto vero e anche estremamente semplice.

Stiamo attenti, però, a due punti essenziali. E qui è necessaria la massima attenzione. Le definizioni apparentemente ridicole sono terminate e adesso bisogna iniziare a riflettere e a pensare sul serio. Niente di complicato, praticamente, ma fondamentale concettualmente.

Finora, abbiamo identificato geometricamente l’integrale come un area, ma non siamo stati capaci di calcolarne il valore numerico, se non in casi particolari. D’altra parte, fare realmente la somma di moltissimi rettangolini, e magari passare anche al limite, non è certo “cosa” che si può fare in pratica. L’integrale definito è stato descritto molto bene, ma rimane un qualcosa di aleatorio e teorico, che può essere calcolato numericamente solo in pochi casi speciali.

Inoltre, dobbiamo riflettere sul fatto che aver discusso di integrale definito solo in termini di area ha travisato il suo vero concetto, che rimane solo e soltanto il limite di una somma, come il suo stesso simbolo S indica chiaramente. La visione puramente geometrica è stata molto utile dal punto di vista intuitivo, ma ha -forse- limitato il suo significato generale.

Torniamo indietro e riprendiamo in mano la velocità che ci è servita come punto di partenza per dare una visione puramente geometrica dell’integrale definito, inteso come area di una certa funzione in un dato intervallo. Analizziamola di nuovo nel caso più generale possibile e ci accorgeremo che la parte geometrica è del tutto secondaria. Molto bella e intuitiva, ma molto limitativa.

Facciamo molta attenzione, perché adesso è necessaria una visione strettamente matematica. Niente di difficile, soprattutto per chi ha già digerito le derivate, ma che necessita, come già detto, di molta concentrazione. Stiamo per fare un passaggio fondamentale dalla geometria (facilmente esprimibile con le figure) alla matematica pura (facilmente esprimibile con il ragionamento).

Cerchiamo di ridefinire l’integrale definito senza fare uso di figure e di aree. Può sembrare una ripetizione di concetti già espressi, ma il succo è profondamente cambiato. Se riuscite a comprenderne la differenza siete già arrivati a un ottimo livello di comprensione. D’altra parte, pensare che l’importanza degli integrali sia legata solo e soltanto al calcolo delle aree sarebbe una vera offesa per loro…

Supponiamo, nuovamente, di conoscere la velocità v(t) istantanea di un oggetto in movimento. Il nostro scopo è quello di calcolare lo spazio percorso dall’oggetto in un certo intervallo di tempo T, partendo, ad esempio, dall’istante zero.

Suddividiamo l’intervallo di tempo T – 0 in n intervallini dt tutti uguali. Indichiamoli con (t_{k -1}, t_k), con k che va da 1 a n. Questa indicizzazione viene fatta per sapere esattamente con quale intervallino abbiamo a che fare, anche se essi sono tutti uguali tra loro. In altre parole, ciò vuol dire scrivere:

dt = T/n = (t_k-1, t_k)

Chiamiamo s_k lo spazio percorso nell’intervallo (t_k-1,t_k), mentre chiamiamo S lo spazio totale percorso nel tempo T.

Per definizione, deve essere:

S = Σⁿ_{k = 1}s_k

Tuttavia, lo spazio s_k è il prodotto tra la velocità media nell’intervallino (t_k-1,t_k) e il tempo dt impiegato a percorrerlo. Se l’intervallino è estremamente piccolo, si può sostituire la velocità media con la velocità corrispondente al tempo t_k-1. Scriviamo:

s_k ~ dt v(t_k-1) = (t_k-1,t_k) v(t_k-1)

Ripetiamo ancora che potremmo  scrivere sempre dt, ma riportiamo anche l’intervallimo contrassegnato con k solo per ricordare che a ogni intervallino corrisponde una v diversa.

Lo spazio totale percorso risulta:

S ~ Σⁿ_{k = 1} v(t_k-1) (t_k-1, t_k) = Σⁿ_{k = 1} v(t_k-1) dt

Per avere un valore esatto dello spazio percorso non ci resta che passare al limite per n che tende a infinito e si ha:

S = lim _{n → ∞} Σⁿ_{k = 1} v(t_k-1) dt

Definiamo questo limite come integrale definito della velocità v(t) per t che va da 0 a T e lo scriviamo:

S = ∫₀^T v(t) dt.

No, non arrabbiatevi… in fondo abbiamo ripetuto passo dopo passo quanto già fatto utilizzando le aree dei rettangolini.  Possiamo però affermare, senza ombra di dubbio, che il metodo usato per identificare l’integrale, definito della velocità, con lo spazio totale percorso dipende essenzialmente dal concetto di limite di una somma e non dal suo significato geometrico.

La definizione precedente si può generalizzare, perciò, a qualsiasi altro tipo di funzione f(x), definita in un intervallo che va da a a b e , quindi, sostituire la velocità e il tempo con altri parametri legati da una qualche legge fisica dello stesso tipo. Possiamo perciò scrivere:

I = ∫_a^b f(x) dx

Che, ripetiamo ancora, si riferisce al limite di una somma.

Attenzione a quello che sto per dire: da come abbiamo lavorato finora, per scrivere la relazione precedente, è necessario che la funzione f(x) si comporti con I nello stesso modo con cui la velocità si comporta con lo spazio percorso. In parole semplicissime (ma ci lavoreremo ancora sopra e come!), la funzione f(x) deve essere la derivata di I. D'altra parte, la velocità è proprio la derivata, fatta rispetto al tempo, dello spazio percorso.

Non possiamo ancora accorgercene completamente, ma abbiamo anche risolto l’altro punto fondamentale, ossia quello relativo al calcolo numerico di un integrale! Inoltre, ci siamo svincolati dalla velocità e/o accelerazione, ma siamo entrati di prepotenza all’interno dei processi fisici più disparati come il lavoro di una forza e moltissimi altri. Sicuramente, a tempo debito, sceglieremo qualche esempio particolarmente indicativo. Mai come nell’integrale si nota un legame strettissimo tra definizione puramente matematica e sua applicazione ampia e generale nella fisica. Il calcolo delle aree diventa solo un giochino, rispetto alle potenzialità enormi che ci regala. E’ veramente un fratello quasi gemello della derivata…

Ripetiamo ancora i concetti affrontati. Abbiamo definito un integrale definito come il limite di una certa somma. Ci siamo accorti (soprattutto quando abbiamo discusso della sua interpretazione geometrica) che dal punto di vista pratico questa definizione ci aiuta ben poco (vi immaginate calcolare le aree dei rettangolini o i termini di una sommatoria per n che va a infinito?).

Tuttavia, quanto abbiamo affrontato in questo articolo ci dice che possiamo sfruttare un altro legame estremamente importante, ossia la relazione tra integrale e derivata. L’abbiamo già intuita, ma conviene esprimerla ancora meglio, dato che in fondo essa rappresenta il teorema fondamentale del calcolo integrale. Un teorema veramente fondamentale in quanto permette di calcolare numericamente ciò che la definizione di integrale come somma non permetterebbe.

In generale, la relazione tra derivata e integrale non è molto evidente (ve lo concedo), quando consideriamo il secondo come limite di una somma, ma il caso particolare della velocità ci ha permesso e ci permetterà sempre meglio di renderla visibile e intuitiva.

Consideriamo di nuovo la definizione di integrale nel caso della velocità

S = ∫₀^T v(t) dt = lim _{n → ∞} Σⁿ_{k = 1} v(t_k-1) dt

Facciamo finta di non sapere cosa sia S. Sappiamo solo che

v(t) = s’(t) = ds/dt

Ossia la velocità è la derivata dello spazio rispetto al tempo.

Il discorso si può allargare immediatamente a qualsiasi funzione f ’(x) che sia la derivata di una funzione f(x). Torniamo comunque alla velocità che rappresenta, comunque, un caso perfettamente generale.

Che cosa rappresenta s’(t)? Beh… ricordiamoci il rapporto incrementale di una funzione s(t) per un h molto piccolo:

s’(t) ~ (s(t + h) – s(t))/h

Si può quindi scrivere:

v(t_k-1) = s’(t_k-1) ~ (s(t_k) – s(t_k-1))/(t_k – t_k-1) = (s(t_k) – s(t_k-1))/dt

E ancora:

Σⁿ_{k = 1} v(t_k-1) dt = Σⁿ_{k = 1} (s(t_k) – s(t_k-1))dt/dt = Σⁿ_{k = 1} (s(t_k) – s(t_k-1))

Eseguiamo la somma finale. Non ci vuole molto a capire che al variare di k si annullano tutti I termini intermedi:

Σⁿ_{k = 1} (s(t_k) – s(t_k-1)) = s(t₁) – s(t₀) + s(t₂) – s(t₁) + s(t₃) – s(t₂) + … + s(t_n) – s(t_n-1) = s(t_n) – s(t₀)

Σⁿ_{k = 1} (s(t_k) – s(t_k-1)) = s(T) – s(0)

Passando al limite la sommatoria porta a un valore esatto:

lim _{n → ∞} Σⁿ_{k = 1} v(t_k-1) dt = s(T) – s(0)

Ma il primo membro non è altro che l’integrale definito della funzione v(t), ossia:

∫₀^T v(t) dt = s(T) – s(0)

Nei passaggi precedenti (ripetiamolo ancora), l’unica proprietà di v(t) che abbiamo utilizzato è stata quella di essere derivata di s(t). Ciò significa che avremmo potuto sostituire a v(t) qualsiasi funzione e il risultato sarebbe stato lo stesso. Un risultato che possiamo sintetizzare come segue:

Data una funzione f(x), di cui vogliamo calcolare l’integrale, si deve cercare un’altra funzione F(x), chiamata PRIMITIVA, di cui f(x) sia la derivata. Ossia:

f(x) = F ’(x).

Trovata questa funzione primitiva, l’integrale definito di f(x), tra due estremi di integrazione a e b, è dato semplicemente dalla differenza tra il valore di F(x) assunto nei due estremi dell’intervallo di integrazione:

∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)     …. (1)

In generale, però, non possiamo sapere a priori qual è la funzione F(x) e quindi ciò che bisogna fare è cercare una funzione primitiva F(x) la cui derivata sia proprio f(x), come dice la (1). A questo punto il problema del calcolo dell’integrale definito è immediato (e quindi anche il calcolo numerico delle aree).

RICAPITOLIAMO: per calcolare un integrale di una funzione qualsiasi f(x) è necessario trovare una funzione F(x) tale che la sua derivata sia f(x). Dato che questa funzione ha per derivata la funzione da integrare, possiamo dire senza avere più dubbi che l’integrazione è l’operazione inversa della derivata.

Nello stesso modo in cui definiamo l’operazione quadrato:

y = x²

e poi la sua inversa, radice quadrata:

x = √y

Essa ci dona il valore numerico il cui quadrato è proprio la y.

Nel nostro caso, F(x) è proprio la funzione la cui derivata è f(x).

Ci siamo resi conto che l’integrale definito è un valore numerico che si riferisce a un certo intervallo di integrazione. Tuttavia, l’operazione necessaria a trovare la primitiva della funzione da integrare non è assolutamente legata ad alcun intervallo di integrazione. L’integrale descritto come operazione inversa della derivata prende il nome di integrale indefinito.

Ma su questo concetto ci torneremo presto sopra.

Siamo, però già in grado di calcolare l’integrale definito di una certa funzione in un certo intervallo. Proviamo?

Calcoliamo l’integrale definito della funzione f(x) = x tra x = 2 e x = 4.

∫₂⁴ x dx

Conosciamo una funzione primitiva F(x) che abbia come derivata x? Beh… sicuramente sì. Essa può essere:

F(x) = x²/2

Proviamo?

F ’(x) = 2x/2 = x

Perfetto. Allora possiamo scrivere:

∫₂⁴ x dx = F(4) – F(2) = 4²/2 - 2²/2 = (16 – 4)/2 = 12/2 = 6

La funzione è veramente ridicola, ma possiamo subito verificare il risultato con la Fig. 1. Disegniamo la funzione f(x) = x e calcoliamone l’area nell’intervallo tra x = 2 e x = 4.

La funzione è la retta a 45° e l’area cercata non è altro che la differenza tra l’area del triangolo OAB e il triangolo OCD. Il primo ha area 4·4 /2; il secondo 2·2/2. La differenza vale proprio 8 – 2 = 6. Si poteva anche calcolare contando i quadratini unitari…

No, non ditemi che era più semplice agire in questo modo… La formula utilizzata prima non ha paura di funzioni ben più complicate (sempre che si riesca a trovare la primitiva), la cui area non avreste mai potuto calcolare con una semplice figura.

In linea di massima, saremmo già pronti a calcolare gli integrali definiti di parecchie funzioni, attraverso la determinazione della primitiva. Abbiamo praticamente anche dimostrato, attraverso il caso particolare della velocità, nientemeno che il teorema fondamentale del calcolo integrale. Chi non intende entrare nei dettagli potrebbe anche limitarsi a questa trattazione. Tuttavia, l’integrale indefinito e il concetto di primitiva meritano qualche parola in più. D’altra parte la vera difficoltà dell’integrazione è quella di trovare la primitiva. Poi basta solo calcolarla nei punti estremi dell’intervallo. Inoltre, il teorema fondamentale di Torricelli-Barrow ha un’importanza tale che è un vero peccato averlo trattato in modo così rapido e, in fondo, parziale.

Bene… la prossima volta torneremo ancora sull’integrale indefinito e sul concetto di primitiva, ma dimostreremo anche, in modo formale, il teorema fondamentale. I più bravi si saranno già accorti che mentre esiste una e una sola derivata di una funzione, esistono, invece, infinite funzioni primitive…

Vi invito, perciò, ad andare avanti e -al limite-  saltare la dimostrazione del teorema, accettando le sue conclusioni (che, in pratica, già conosciamo).

 

QUI il capitolo precedente

QUI il capitolo successivo

QUI l'intero corso di matematica