Categorie: Struttura Universo
Tags: densità critica destino Universo finito illimitato infinito legge di Hubble Leopardi limitato universo aperto universo chiuso universo piatto verso la RG
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:42
Siamo aperti, chiusi o… piatti? **
Questo articolo è stato inserito nella pagina d'archivio Spaziotempo/Cosmologia
Beh… è bastata l’intrusione di Alvy (era ora!), l’accenno di Umberto e il solito problema di chi parla tanto senza volere prima studiare (non mi riferisco certo a voi!), ed ecco che la frittata è fatta. No, non parlerò di Relatività Generale, ma dell’angoscioso problema del destino dell’Universo e, quindi, della sua “forma”… Attraverso qualche formula che è alla portata di tutti coloro che abbiano digerito la matematica illustrata finora (ma anche meno), ricaviamo nientemeno che la densità critica, data solitamente come risultato di equazioni ben più complicate (ne parleremo quando faremo la relatività generale).
Eliminiamo subito un errore fondamentale che molti fanno e che pochi cercano di spiegare in modo esauriente oltre che intuitivo. L’Universo non ha una FORMA come intendiamo noi. Per un motivo essenziale: non conosciamo affatto l’intero Universo e nemmeno sappiamo se è finito oppure no.
Quando si parla di forma si intende solo e soltanto il tipo di geometria che lo descrive (a livello locale, ovviamente). Purtroppo, per descrivere il tipo di geometria, si fa uso di forme geometriche a due dimensioni, come l’iperboloide, la sfera e il piano. Al pari del celebre imbuto che rappresenta la deformazione dello spaziotempo, così la descrizione di una “forma” attraverso superfici curve crea terribili fraintendimenti, difficilissimi da estirpare, se non si arriva al problema con basi veramente solide.
Chi tenta di evitarle è condannato a portarsi dietro una visione distorta e del tutto inutile per affrontare veramente la Relatività Generale e tutto ciò che ne deriva, come la rappresentazione dell’Universo stesso. Prima di accettare discussioni e disquisizioni varie, bisogna essere capaci di fermare la smania che hanno molti (con poca voglia di studiare, ma molta di parlare) di estrapolare le poche nozioni che conoscono e fare opera di lenta e continua informazione delle basi fondamentali. Compito che, però, è ben più difficile e “antipatico” di quello di lasciare che ognuno corra per la propria strada.
Se si permette a chiunque di volare tra scarsa preparazione e fantasia, si finisce nel caos assoluto e si rafforza soltanto l’ignoranza, intesa come mancanza di comprensione. Ignoranza che si propaga velocemente senza far niente per saziarla. Come ho sempre detto, l’ignoranza è una “dote” fondamentale perché presuppone una fame di conoscenza. Tuttavia, essendo una “fame”, chi la manifesta deve essere nutrito!
Veniamo a noi. Potremmo dire che la geometria locale non è altro che la curvatura dell’Universo locale. Non immaginiamoci, però, un “qualcosa” di apparentemente curvo. Il concetto di “curvo” ha un’interpretazione ben diversa da quella che siamo normalmente abituati a pensare. Prima o poi ne parleremo a lungo, ma, per il momento, pensiamo a lei come a un qualcosa che definisce la “traiettoria” futura di un oggetto che è contenuto nell’Universo.
Facciamo un paragone, che deve, però, restare solo e soltanto un paragone. Tiriamo la solita pallina dall’alto della montagna, come fece a suo tempo Newton. Se essa cade la sua traiettoria stabilisce che la forza gravitazionale ha il sopravvento; se essa se ne va all’infinito, vuol dire che siamo stati più forti noi; se inizia a orbitare vuol dire che abbiamo raggiunto un pareggio onorevole. Tre tipi di traiettoria che definiscono il futuro della nostra pallina.
In modo analogo, ciò che fa una “pallina” nell’Universo, ossia la sua curvatura, indica il destino dell’intero Universo, inteso come l’insieme di tantissime palline. Questo tipo di approccio è quello che porta alla definizione di densità critica e di conseguenza all’Universo aperto, chiuso o piatto, al suo destino e, con tutti i fraintendimenti del caso, alle figure dell’iperboloide, della sfera e del piano. Ma, ribadisco ancora, non mischiamo traiettoria della pallina con curvatura. La curvatura implica un diverso destino, ma non è assimilabile con il tracciato in un piano a due dimensioni... Non dobbiamo avere fretta e ci torneremo a tempo debito...
Eliminiamo queste ultime figure dall'aspetto palesemente curvilineo ma che non definiscono visivamente il tipo di curvatura, ricordando ancora che esse servono solo a definire la geometria che permette di descrivere le varie possibilità, una geometria iperbolica, sferica ed euclidea, ma niente di più. Occupiamoci, invece, della densità critica, proprio quella che decide il futuro delle “palline”.
Normalmente, si dà per scontata la formula che descrive la densità critica o si menziona il modello di Einstein-De Sitter e le equazioni di Friedmann. Giustissimo, ma è quasi un atto di fede che presuppone una conoscenza quasi perfetta della Relatività Generale, ossia diventa un serpente che si morde la coda. Noi, come al solito, cerchiamo, invece di determinarla in modo ben più semplice, rifacendoci proprio alla pallina lanciata da Newton (fatti i dovuti aggiustamenti).
Potrei, perfino, proporvelo come un QUIZ da risolvere da soli, data la matematica molto semplice e i concetti fisici veramente elementari. Tuttavia, nessun problema a svolgere insieme l’esercizio… Non useremo figure proprio per non aiutare i tanto comuni fraintendimenti.
Così come la pallina lanciata in aria, inizialmente, si allontana dalla superficie ma poi vi può ricadere, così le galassie-palline potrebbero trovarsi in una fase di allontanamento provvisorio destinata poi a terminare con una “caduta”, ossia con un collasso globale della materia. Non ci resta, allora, che mettere in gioco le due sole energie che agiscono sulla pallina. Ovviamente, tralasciamo quelle derivanti dai moti locali e quelle che sono ancora decisamente … oscure!
La nostra pallina non è altro che una galassia che risiede all’interno di un ammasso di galassie. Ipotizziamo che l’ammasso abbia forma sferica (in questo caso la forma è proprio quella che conosciamo!). Prendiamo una generica pallina-galassia posta sulla superficie della sfera.
Calcoliamo, innanzitutto, la massa dell’ammasso galattico. Il suo volume lo conosciamo bene (matematica elementare) ed è banale calcolarne la massa totale M, ponendo la densità dell’ammasso uguale a ρ e il suo raggio uguale a R:
M = 4 π R3ρ/3
Una galassia di massa m che si trovi proprio sulla superficie dell’ammasso sferico possiede una certa energia potenziale EP, dovuta proprio al campo gravitazionale dell’ammasso. Sappiamo molto bene quanto vale:
EP = - GmM/r = - 4 π G m R2ρ/3
Questa è l’energia dovuta alla gravità, l’unica forza che si può opporre all’espansione dell’Universo.
L’espansione dell’Universo è dettata dalla legge di Hubble (News: dal 2018 si chiama Legge di Hubble-Lemaître), che ci dice che la velocità di allontanamento di ogni pallina dal centro di massa è data da:
v = H R
Attenzione: non voglio certo dire che il centro di massa è il centro dell’Universo! Ma possiamo sempre riferirci a lui che è, a sua volta, in movimento.
Ne segue che la pallina ha una certa energia cinetica EC di allontanamento che è data da:
EC = ½ m v2 = ½ m H2 R2
Questa è l’energia che cerca di strappare la pallina dalla sua casa cosmica.
L’energia totale della pallina-galassia è data, perciò, da:
E = ½ m H2 R2 - 4 π G m R2ρ/3
Tale energia deve rimanere costante.
Tuttavia, il suo segno ci dice subito quale sarà il futuro dell’Universo.
Se E > 0 vuol dire che l’energia cinetica è maggiore di quella potenziale gravitazionale. Ne consegue che la galassia si allontanerà sempre più dalle sue sorelle: l’Universo è aperto
Se E < 0 vuol dire che la gravità vince sull’espansione. Ne consegue che la galassia non potrà mai abbandonare l’ammasso: l’Universo è chiuso. In questo caso non è detto che tutte le galassie cadano verso il centro dell’ammasso, ma alla fine, dopo vari scontri, rimarrà solo un’enorme galassia. Poi, lentamente, esse si avvicineranno fino a unificarsi.
Se E = 0 vuole dire che si raggiunge un equilibrio, una specie di compromesso. Solo in un tempo infinito la gravità riuscirà a scrollarsi di dosso l’espansione che tenderà ad annullarsi: L’universo è piatto.
Generalizzando l’intero discorso a tutto l’Universo e non solo al nostro ammasso, la densità dell’Universo che permette l’ultimo caso è detta proprio densità critica ed è quella che determina il confine tra Universo aperto e Universo chiuso.
Il nostro approccio è decisamente semplificato, ma non errato. L’ideale sarebbe studiare l’evoluzione futura dell’Universo misurando il rallentamento o l’accelerazione delle galassie. In linea di principio potremmo anche farlo, ma i nostri tempi sono troppo limitati per vedere come si muove realmente una galassia-pallina. Qualcuno mi può dire: “Basta utilizzare le galassie lontane e confrontarle con quelle vicine”. Sì, d’accordo, ma ciò che ricaviamo per le prime è legato solo e soltanto al redshift ed esso unisce strettamente distanza e velocità di allontanamento. Come potremmo ricavare in modo indipendente sia la distanza che la velocità di allontanamento? Non confondiamoci con l’apparente accelerazione dell’espansione della galassie vicine, che è stata “accertata” con la misura delle supernove. L’abbiamo esclusa a priori e, oltretutto, le supernove di tipo Ia cominciano a dare segni di poca … costanza!
La cosa migliore è quindi sostituire il dato sulla decelerazione con quello basato sulla densità di materia. Quest’ultima è più “facilmente” misurabile nell’Universo locale osservabile. Poniamo adesso r al posto di R, dato che stiamo estendendo il discorso a tutto l’Universo locale e riprendiamo in mano la formula dell’energia totale che abbiamo ricavato poco fa.
E = ½ m H2 r2 - 4 π G m r2ρ/3
Pasticciamola un po’… mettendo in evidenza la parte con il segno meno ed eseguendo qualche semplificazione. Si ottiene:
E = 4 π G m r2ρ/3 (½ m 3 H2 r2/4 π G m r2ρ – 1) = 4 π G m r2ρ/3 ((3H2 /8 π G) 1/ρ – 1)
Analizziamo con attenzione la quantità 3H2 /8 π G. Quali sono le sue dimensioni? H è una velocità divisa per una distanza e quindi: m s-1/m = s-1. La costante G è espressa in N (Newton) per m2 kg-2.
Si ha, in conclusione:
[3H2 /8 π G] = [s-2/N m2 kg-2]Esprimiamo il Newton in termini di unità base
1N = 1kg m s-2
Sostituendo, si ha:
[3H2 /8 π G] = [s-2/kg m s-2 m2 kg-2] = [kg/m3]Ma chilogrammi per metro cubo sono proprio le dimensioni di una densità!
Possiamo, perciò, definire 3H2 /8 π G come una densità, che chiamiamo densità critica dell’Universo e indichiamo con ρC.
L’Energia totale diventa:
E = 4 π G m r2ρ/3 (3H2 /8 π G ρ – 1) = 4 π G m r2ρ/3 (ρC/ρ – 1)
Il segno dell’energia, e quindi il futuro dell’Universo, dipende, perciò, proprio dal rapporto tra densità critica e densità reale dell’Universo.
Se ρ < ρC, E > 0, l’ Universo è aperto
Se ρ > ρC, E < 0, l’ Universo è chiuso
Se ρ = ρC, E = 0, l’Universo è piatto
Senza formule difficili e utilizzando solo la conservazione dell’energia, abbiamo ricavato la formula che ci descrive il futuro dell’Universo (ovviamente, quello locale, dato che non possiamo conoscere ciò che non si può osservare).
Non è difficile ricavare la densità critica, che risulta essere di circa 10-26 kg/m3, corrispondente a circa cinque atomi di idrogeno per metro cubo. Le misure relative alla densità reale (per quello che possono valere) indicano un Universo molto vicino a uno piatto, ossia tale che possa essere descritto attraverso una geometria euclidea. Ma qui il discorso si scontra con la materia oscura e altre cose del genere, perciò teniamoci l’incertezza sul nostro futuro. Forse, è molto meglio non sapere…
Da queste considerazioni si può arrivare velocemente al concetto di finito, limitato, infinito, illimitato… Il caso classico della superficie sferica (bidimensionale) ci dice che tale spazio è sicuramente finito (si può calcolare la superficie), ma non ha alcun confine (attenzione! Viviamo solo sulla superficie e quindi non esiste un sopra e un sotto). Tuttavia, questa superficie è relativa a un certo istante che è diverso da quello precedente e da quello successivo. Un tempo infinito implica perciò anche una superficie infinita? Inoltre, se al di là della superficie sferica esiste solo il nulla, ha senso parlare di finito? Essa rappresenterebbe il TUTTO e potremmo considerarla infinita. Può essere, però, considerato infinito qualcosa che ha avuto origine in un ben definito istante e da una ben definita massa? Forse no… ma se questo qualcosa è un’anomalia creatasi nel mare di Dirac, infinito, non vi sarebbe il NULLA e cadremmo nel caso di un Universo addirittura limitato, immerso in qualcosa di infinito e illimitato. Questo qualcosa è ancora Universo o è addirittura il VERO Universo? Insomma, il concetto di finito e infinito è ben lontano dall’essere risolto. Sicuramente, l’infinito esiste nel contesto puramente matematico, ma in senso fisico non può che far venire mal di testa…
Sarebbe molto meglio appoggiarsi a un Infinito di struggente bellezza:
Sempre caro mi fu quest'ermo colle,
e questa siepe, che da tanta parte
dell'ultimo orizzonte il guardo esclude.
Ma sedendo e mirando, interminati
spazi di là da quella, e sovrumani
silenzi, e profondissima quiete
io nel pensier mi fingo; ove per poco
il cor non si spaura. E come il vento
odo stormir tra queste piante, io quello
infinito silenzio a questa voce
vo comparando: e mi sovvien l'eterno,
e le morte stagioni, e la presente
e viva, e il suon di lei. Così tra questa
immensità s'annega il pensier mio:
e il naufragar m'è dolce in questo mare.
In qualche modo, il mare di... Dirac esce, comunque, allo scoperto…
Va bene, torniamo agli “squallidi” (ma utilissimi) integrali. Possiamo dire di aver fatto anche noi un po’ di Cosmologia, anche se per i… poveri!
Questo articolo fa parte della serie "Verso la RG", in quanto propedeutico alla comprensione della Relatività Generale, QUI trovate tutti quelli che sono stati scritti fino ad ora.
QUI trovate l'approfondimento dedicato alla Relatività Generale
42 commenti
Caro Enzo, vedo che stai centellinando i concetti per condurci piano piano ad avere un'idea corretta del concetto di curvatura dell'universo: mi pare corretto.
Nel bilancio energetico hai portato in conto energia cinetica ed energia potenziale gravitazionale: chi "tira" da un lato chi dall'altro. La densità che vi compare è una densità di massa (ρ=M/V) . Se l'universo fosse giovanissimo si dovrebbe portare in conto anche la densità di radiazione che andrebbe a rafforzare l'azione dell'energia cinetica. E' corretto?
Ovviamente NON ti chiedo una formula (semplificata) dell'energia di radiazione da inserire nella formula .... no, no ,ti prego, non insistere!
Vabbè dai, ti voglio accontentare, dammi 'sta formula ... uffa, che pazienza!
Si è parlato di geometria dell'universo come della traiettoria FUTURA delle sue particelle costituenti (galassie). Visto che, tanto per cambiare, non riusciamo a liberarci del tempo, non è più corretto riferirsi alla geometrai (e relativa curvatura) dello spazio-tempo anzichè del solo spazio?
Ed ora ... non mi uccidere!
Il caso della pallina-galassia lanciata proprio alla velocità di fuga ci consegna un universo in cui:
ρ = ρC → E = 0 → l’Universo è piatto.
In effetti però la traiettoria della pallina è curva (velocià decrescente) per poi "raddrizzarsi" sempre più, fino ad assumere, asintoticamente, un andamento rettilineo, anzi orizzontale (velocità tendente a zero). Quindi l'identificazione della curvatura con la traiettoria funziona solo nella parte finale della storia.
Riprendo ora un commento che ho letto su un altro sito, in cui si fa riferimento ad un universo privo di materia e radiazione che si espande con velocità costante. Si afferma che la geometria di un tale universo è negativa. In effetti l'energia cinetica sopravanza quella potenziale (che non c'è non essendoci materia) e questo riconduce ad un universo aperto. D'altra parte la traiettoria di espansione dello spazio-tempo sembrerebbe rettilinea (velocità costante) consegnadoci, per assimilazione, un universo piatto!
mmmmhh mi sa che è ancora presto per affrontare questi temi ...
Ciao Alvy, l'universo privo di radiazione non mi sembra possibile, perché se è vera la teoria quantistica vi saranno sempre delle vibrazioni dei campi che produrranno una temperatura diversa da zero.
Ciao SMA, tutto bene?
Si, in effetti si tratta di una delle possibilità teoriche offerte dalle equazioni di Einstein: si tratta dell'universo ipotizzato da Milne (così leggo). Che poi sia possibile o meno, beh, è un altro discorso ...
Per essere realisti possiamo forse pensare ad un universo in cui la pressione di radiazione, pur non essendo nulla, sia trascurabile e trascurabile anche la presenza di materia. Il risultato non dovrebbe cambiare molto ...
No Alvy,
non ci siamo (o, almeno, mi sembra...): la curvatura di uno spazio o spaziotempo non ci dice assolutamente la traiettoria della pallina. Continui a pensare alla curvatura come a qualcosa di tracciabile con una matita. Anche in uno spazio piatto posso disegnare qualsiasi curva... La curvatura che si intende è indice solo del tipo di geometria che descrive lo spazio. Io ho parlato di traiettoria solo per fare un paragone intuitivo, ma non certo per identificare la traiettoria della pallina con la curvatura dello spazio in cui è immersa. Anche le figure che normalmente riportano lo spazio in funzione del tempo sono pericolose... La loro curvatura non è certo la curvatura dei relativi spazi.
Comunque, ho inserito questo articoletto fine a se stesso solo per mostrare come certi concetti possono dedursi anche con approcci molto semplici, alla portata di tutti. Assolutamente non voglio usarlo come punto di partenza per discussioni che vadano a ruota libera... La mia critica ad altri siti sta proprio su questo rischio e quindi non voglio assolutamente caderci. Oltretutto, che senso ha parlare di equazioni di Einstein e di conseguenze particolari quando ancora non abbiamo nemmeno finito la RR?
No, mi spiace, ma questo tipo di approccio è negativo e serve a poco. Io non voglio che si parta con discussioni che alla fine confondono e rimangono senza capo né coda. E nemmeno è pensabile spiegare nei commenti qualcosa che si basa su una teoria come la RG. Speravo di essere stato abbastanza chiaro in passato...
Riguardo alla curvatura, ti consiglio di leggere anche solo quanto scritto in Wikipedia, sotto curvatura dello spaziotempo. Già basta per capire che merita ben altro discorso e altra analisi... Curvatura negativa significa proprio spazio che si espande e non traiettoria "reale". Pensa, inoltre, allo spazio piatto che di piatto ha ben poco in quanto viene descritto come qualcosa che rallenta continuamente.
Dimenticavo Alvy...
E' ovvio che si stia parlando di spaziotempo. Una curvatura che descrive un'espansione deve per forza contenere in sé il tempo. Altrimenti cadremmo in una figura geometrica fine a se stessa. E' la stessa cosa che succede con l'imbuto del buco nero...
OK, penso sia meglio attendere gli sviluppi delle trattazioni che hai intrapreso.
Grazie.
cerca di capire caro Alvy,
Abbi pazienza... 
non sono argomenti che possono essere trattati nei commenti... Io ho solo voluto accennare e spiegare semplicemente una problematica spesso mal compresa e fuorviante. Entrare nei dettagli, abbisogna di molto di più...
Per quanto possa valere il mio pensiero, sono perfettamente d'accordo che il concetto di finito e infinito sia ben lontano dall'essere risolto ma appunto per questo un piccola domanda:
dici che
"Non è difficile ricavare la densità critica, che risulta essere di circa 10-26 kg/m3," e
"Le misure relative alla densità reale (per quello che possono valere) indicano un Universo molto vicino a uno piatto, ossia tale che possa essere descritto attraverso una geometria euclidea"
ma se non sappiamo se l'universo è finito o infinito e considerando che sembra che sia in espansione, certo non veloce, ma comunque la densità dovrebbe diminuire, ed abbiamo molti dubbi sulla presunta materia ed energia oscura come possiamo stimare la sua densità reale?
PS siamo riusciti a stimare la velocità di espansione?
caro Walter,
in ogni caso si parla sempre di Universo locale, ossia di quello che si riesce a osservare. Non è assolutamente detto che l'Universo nella sua globalità sia veramente rappresentabile da quello locale. Mentre è relativamente facile dedurre la densità critica, ben più complicato è stimare la densità reale e soprattutto la sua variazione. D'altra parte, la sua determinazione deve tener conto dell'ipotetica materia oscura che giocherebbe un ruolo fondamentale nella gravità. Diciamo, quindi che le stime attuali, prendono per buona la materia oscura. Concordo con te, perciò, che qualsiasi derivazione della densità reale è del tutto teorica o affidata a misure che trascendono i nostri limiti esplicativi.
Il pensare a un Universo piatto deriva anche dal fenomeno dell'inflazione che avrebbe comportato una tale espansione che qualsiasi "pezzo" di Universo osservabile non potrebbe differire di molto da un Universo piatto. Ne avevamo anche parlato durante l'accenno fatto sull'inflazione...
In parole povere, secondo me, ben poco possiamo dire sul futuro dell'Universo... e forse il racconto precedente potrebbe anche essere meno fantasioso del previsto
Diverso è il metodo usato per la misura diretta dell'espansione e non attraverso la densità. Mi riferisco a quello che sfrutta le supernove di tipo Ia. In tal caso la distanza si calcola in modo indipendente dalla velocità insita nella legge di Hubble. Tuttavia, essa può riferirsi solo a galassie relativamente vicine e poco può dirci sull'Universo antico. Sempre che le supernove sia veramente affidabili...
Complimenti Vincenzo per la trattazione chiara e l'abilità di muoverti con la dovuta cautela attraverso le formule!
Il mio contributo: Universo aperto, chiuso o piatto... l'importante è riconoscersi sempre (citando Ungaretti) "una docile fibra dell'Universo", in armonia con lo stesso. L'uomo è microcosmo in un macrocosmo.
grazie Fabio!
Io aggiungerei, pensando alla MQ, che l'uomo è anche macrocosmo in un microcosmo. Riuscirà mai a trovare la sua giusta posizione nell'Universo?
Ah Fabio... complimenti per il tuo blog! Devo leggermelo un po' più attentamente...
La speculazione su universo finito, infinito o piatto si basa sulla ipotesi fondamentale che esista solo il campo gravitazionale sferico. Sappiamo benissimo che quando si considerano gli effetti gravitazionali globali, l'integrazione degli effetti elementari porta a risultati diversi come il campo costante per una distribuzione piana delle masse, oppure un campo con forze integrali proporzionali all'inverso del raggio (non più inverso del quadrato del raggio) per una distribuzione cilindrica delle masse. Che quest'ultima distribuzione non sia una ipotesi tapina viene evidenziato dalla geometria della galassie.
La distribuzione radiale dell'energia potenziale del campo cilindrico è proporzionale al logaritmo naturale del raggio e quindi va a infinito col raggio. La buca di potenziale che tiene legate le masse al campo gravitazionale cilindrico presenta pareti invalicabili sia a destra che a sinistra, nessuna massa può sfuggire ad esso in direzione radiale qualunque sia l'energia totale da essa posseduta.
L'universo può essere solo finito. Lasciamo il concetto di infinito alla metafisica.
scusa Michele,
ma queste speculazioni sulla variabilità del campo gravitazionale da chi sono state accertate e confermate? E cosa intendi per geometria delle galassie? La loro forma a spirale? In quel caso tieni conto che non abbiamo solo un campo gravitazionale, ma anche uno rotazionale... E poi cosa sarebbe il campo gravitazionale cilindrico?
Ti pregherei di non buttare idee e concetti a raffica senza cercare di chiarire. Non è questo il blog in cui ognuno può dire e fantasticare come vuole. Noi abbiamo grande fiducia nei maestri della Scienza e per demolire qualche teoria le prove devono essere perfettamente spiegate e dimostrate.
La meccanica dei corpi interagenti è la stessa indipendentemente dal fatto che le azioni scambiate siano di natura gravitazionale o elettrica. Io sto limitandomi a non escludere che in scala cosmica si verifichino distribuzioni particolari delle masse analoghe a quelle delle cariche elettriche che determinano i campi elettrostatici elementari, tutti sperimentalmente verificati perché riproducibili in scala umana. Tra questi quello cilindrico (campo generato da cariche distribuite su barra cilindrica) è l'unico ad avere ha la particolarità di non ammettere alcuna velocità di fuga nella direzione radiale per le particelle cariche.
Per geometria intendo la forma geometrica del solido che rappresenta più da vicino la galassia a spirale ossia un cilindro molto piatto che è uno degli esempi ricorrenti nello studio dei campi elettrostatici con il teorema di Gauss.
Più rigorosi di così!!!!!!!
caro Michele,
sarà una mia limitazione... ma non riesco a capire bene cosa intendi dire nel tuo commento precedente. Potresti spiegarti con maggiore chiarezza? Grazie...
caro Enzo,
mi riesce difficile sintetizzare il mio pensiero oltre quello che ho già fatto a livello personale in brevi appunti che porterei volentieri a conoscenza tua e degli altri se utilizzi il mio indirizzo mail che conosci per farmi sapere come inviartelo.
Geometria del Universo--Collen. Su you tube,è una musica riposante se vi incuriosisce.
caro Michele,
il mio indirizzo lo trovi in alto nei contatti...
Caro enzo,
devo inviare un pdf e non vedo la possibilità di farlo nella pagina dei contatti
Provo a utilizzare caratteri speciali e immagini. Spero non abbia fatto pasticci.
Mi limito a rileggere in termini gravitazionali quanto viene esposto in elettrostatica per i campi elettrici ponendo attenzione alle condizioni che assicurano l'auto sostentamento dei corpi su orbite circolari e/o ellittiche e la possibilità di sottrarsi ai vincoli della gravitazione.
1 - MASSE PUNTUALI
I campi gravitazionali si presentano in natura e nell’universo con molteplici caratteristiche derivanti dalla sovrapposizione degli effetti delle azioni elementari di gravitazione che definiscono l’attrazione reciproca tra due particelle puntiformi di masse rispettivamente M ed m poste alla distanza r, che è diretta secondo r e vale
F/m = g = KM/r² ≡ M/r²
La massa M crea nello spazio circostante un campo gravitazionale sferico che decresce iperbolicamente col quadrato della distanza e ammette potenziale U(r) = -KM/r ≡ -M/r.
In questo campo una particella esploratrice di massa unitaria posta in un punto qualsiasi dello spazio precipita sulla massa M a meno che l’accelerazione di gravità g che ne cau-serebbe la caduta non sia contrastata da un’accelerazione centrifuga v²/r conseguente alla sua rotazione attorno a M.
Il caso più semplice di equilibrio dinamico nel campo gravitazionale è rappresentato dal moto circolare uniforme nel quale le due accelerazioni si equivalgono: KM/r² = v²/r. Ne de-riva:
• velocità radiale nulla
• velocità orbitale v ≡ √(M/r)
• energia cinetica Ec = v²/2 = (KM/r)/2 = -U(r)/2
• energia totale Et = -(KM/r)/2 = U(r)/2.
Sono possibili anche orbite di equilibrio dinamico non circolari, tutte soddisfacenti alla condizione della costanza del momento della quantità di moto ℓ = rvt. L’accelerazione centrifuga v²/r può esprimersi in questo caso come ℓ²/r³ ed ammette potenziale centrifugo U(r)=ℓ²/(2r²).
Il potenziale efficace (potenziale complessivo) risulta Ueff = -KM/r + ℓ²/(2r²) che vale +∞ per r=0, zero per r = +∞ e presenta una buca di potenziale per r > ℓ²/(2KM) nella zona dove esso risulta negativo. Ne segue che la particella esplorativa resta legata alla massa M se possiede energia totale negativa, sfugge all’attrazione di M se la sua energia totale è nulla o positiva.
2 - INTERNO A UNA SFERA AVENTE RAGGIO R
La densità volumica ρ all’interno della sfera si suppone costante. In questo caso la massa contenuta nella sfera di raggio r varia in ragione di ρr³ mentre il flusso del campo varia in ragione di gr². Consegue che il campo è g ≡ ρr. Esso cresce linearmente col raggio ed as-sume sul contorno della sfera il valore g ≡ ρR ≡ (M/R³)R ≡ M/R² come se l’intera massa fosse concentrata nel centro della sfera; ammette inoltre potenziale U(r) ≡ ρr² che assume il valore U(r) ≡ M/R al contorno come se l’intera massa fosse puntiforme salvo che per il segno che in questo caso è positivo.
Sono possibili moti su orbite circolari a condizione che sia g = v²/r ≡ ρr che è equivalente a v ≡ r√ρ. Anche la velocità orbitale cresce linearmente col raggio ed assume sul limite della sfera il valore v ≡ R√ρ ≡ R√(M/R³) ≡ √(M/R) come se se l’intera massa fosse concentrata nel centro della sfera.
Sono possibili anche in questo caso orbite di equilibrio dinamico non circolari, a condizione che si abbia la costanza del momento della quantità di moto. L’accelerazione centrifuga ammette potenziale centrifugo U(r)= ℓ²/(2r²).
Il potenziale efficace risulta Ueff ≡ ρr² + ℓ²/(2r²) che vale +∞ per r=0, M/R + ℓ²/(2r²) sul con-torno e presenta una buca di potenziale per r < ℓ²/(2KM) purché sia ℓ < √(KMR).
3 – CAMPO COMPLESSIVO A SIMMETRIA SFERICA
Le caratteristiche complessive del campo si evidenziano chiaramente dai grafici qualitativi che raccolgono le grandezze peculiari.
Campo e velocità orbitale su traiettoria circolare crescono linearmente all’interno della sfera, hanno valori comuni sul contorno dove presentano una discontinuità con massi-mo/minimo relativo a cuspide, decrescono iperbolicamente all’esterno della sfera.
[img]http://it.tinypic.com/r/4huxxd/9[/img]
Il potenziale effettivo presenta una buca di potenziale all’interno della sfera dove sono possibili legami gravitazionali con energie totali positive. Le masse che hanno energia sufficiente per raggiungere il contorno della sfera vengono a trovarsi in condizioni di equilibrio instabile ed appena entrano nel campo esterno alla sfera non esiste più alcuna possibilità di mantenerle legate ad essa e vengono catapultate a perdersi all’infinito.
[img]http://it.tinypic.com/r/2rnefi8/9[/img]
Le masse attratte dal campo della sfera ed aventi energia inferiore al minimo della buca di potenziale sono destinate a precipitare nel centro non avendo nessuna possibilità di so-stentamento dinamico, dove stratificano idrostaticamente.
4 - MASSE PUNTUALI DISTRIBUITE LUNGO UNA RETTA
La densità lineare λ = M/L si suppone costante. In questo caso per ottenere il valore del campo si possono sommare tutti i contributi elementari dg=Kλdl/r² agenti nello stesso pun-to dello spazio oppure applicare Gauss ottenendo
F/m = g ≡ λ/r
sempre normale alla retta delle masse, decrescente iperbolicamente con la distanza e con potenziale U(r) ≡ λln(r).
Nel caso di orbita circolare in un piano ortogonale all’asse del campo cilindrico l’equilibrio della particella esploratrice è legato all’uguaglianza Kλ/r = v²/r. Si hanno in questo caso:
• velocità radiale nulla
• velocità tangenziale v ≡ √λ = costante
Le orbite non circolari soddisfano tutte la condizione della costanza del momento della quantità di moto ℓ = rv. L’accelerazione centrifuga v²/r è sempre ℓ²/r³ ed ammette potenziale centrifugo ℓ²/(2r²).
Il potenziale efficace Kλln(r) + L²/(2r²) vale +∞ sia per r = 0 che per r = +∞. La buca di po-tenziale si estende a tutto il campo di r e ciò significa che una massa non può mai es-sere sottratta all’azione del campo gravitazionale cilindrico, comunque se ne elevi l’energia totale. La particella può abbandonare il campo cilindrico solo se “aspirata” da un campo esterno più forte.
5 - INTERNO DI UN CILINDRO INDEFINITO
La massa è distribuita uniformemente nello spazio con densità volumica ρ costante fino al raggio R. Considerando un cilindro di raggio r < R ed altezza unitaria ed applicando Gauss, sulla superficie cilindrica laterale è presente il campo
F/m = g ≡ ρr
Il campo gravitazionale cresce linearmente col raggio e ammette potenziale U(r) ≡ ρr².
L’uguaglianza Kρr = v²/r nel moto circolare uniforme in un piano ortogonale all’asse del cilindro comporta:
• velocità radiale nulla
• velocità tangenziale v ≡ r
Anche la velocità orbitale su traiettoria circolare cresce linearmente col raggio.
Il potenziale efficace Kλln(r) + ℓ²/(2r²) vale +∞ sull’asse del cilindro ed assume un valore finito per r = R. All’interno del cilindro esiste una buca di potenziale per valori del mo-mento specifico della quantità di moto ℓ ≤ KR². Sono possibili orbite circolari o ellittiche se l’energia totale Et ≤ 0.25KρR² + ℓ²/(2r²).
Tenendo presente che ρ = λ/(πR2) sulla superficie esterna del cilindro si ottengono:
• g ≡ λ/R
• U ≡ λ
• v ≡ √λ
La stessa superficie può essere considerata appartenente al campo esterno alla massa distribuita linearmente per il quale si ottengono:
• g ≡ λ/R
• Ug ≡ λln(R)
• vt ≡ √λ
6 – CAMPO COMPLESSIVO A SIMMETRIA CILINDRICA
Le caratteristiche complessive del campo si evidenziano chiaramente dai grafici qualitativi che raccolgono le grandezze peculiari.
Campo e velocità orbitale su traiettoria circolare crescono linearmente all’interno del cilin-dro, hanno valori comuni sul contorno dove presentano una discontinuità con massi-mo/minimo relativo a cuspide, il campo decresce iperbolicamente all’esterno del cilindro, la velocità orbitale resta costante.
L’andamento della velocità ben si concilia con i risultati sperimentali di misurazione della velocità delle stelle in tutta la nostra galassia soprattutto se si tiene conto che il diagramma reale delle velocità è una curva esponenziale della quale i tratti rettilinei costituiscono gli asintoti rispettivamente nell’origine e all’infinito. Tutto ciò rende incomprensibile come mai si sia fatto ricorso alla fantomatica materia oscura per interpretare i risultati ottenuti.
[img]http://it.tinypic.com/r/w9i2s8/9[/img]
Il potenziale effettivo presenta una buca di potenziale all’interno del cilindro dove sono possibili legami gravitazionali. Le masse che hanno energia sufficiente per raggiungere il contorno del cilindro vengono a trovarsi in condizioni di equilibrio instabile ed una volta nel campo esterno si allontanano dall’asse ma vengono a trovarsi in una seconda buca di potenziale che le lega sempre e comunque al campo gravitazionale cilindrico. Non esiste alcuna possibilità di espellerle dal campo qualunque sia l’energia impiegata.
[img]http://it.tinypic.com/r/fjqaz7/9[/img]
7 - MASSA DISTRIBUITA SU UN PIANO
Il campo gravitazionale è uniforme. Questo caso presenta poco interesse per le sue impli-cazioni non esistendo alcuna possibilità di auto sostentamento dinamico in esso. Potreb-be indicare benissimo la gravità nello spazio nella direzione ortogonale al piano galattico.
8 – CAMPO CILINDRICO FINITO
Consideriamo un cilindro sottile Q’Q, di lunghezza finita L, nel quale è uniformemente di-stribuita una massa M, cosicché la densità lineare di massa nel cilindro risulta essere λ=M/L. Il campo gravitazionale g prodotto da questa distribuzione di masse nel punto P di coordinate generiche (x,y), scelto un sistema di riferimento come in figura, si ottiene appli-cando il principio di sovrapposizione degli effetti come somma di tutti i contributi infinitesimi
dg = Kλdx’/√((x-x’)² +y²) = dgx + dgy = dgcosα + dgsinα
dati dai cilindretti di altezza dx’, integrando nell’intervallo –L/2≤x’≤+L/2
[img]http://it.tinypic.com/r/azjsox/9[/img]
Le due componenti del campo risultano:
[img]http://it.tinypic.com/r/2556hbt/9[/img]
[img]http://it.tinypic.com/r/v33azq/9[/img]
Le formule sono derivate da
http://www.fisica.unisa.it/fisica.ingegneria/EserciziFisicaII/CampoElettricoDelFilo.pdf
L’andamento qualitativo delle due componenti è diagrammato nella figura seguente per x compreso tra –L/2 e +L/2 e mostra che:
• gx è nulla nel piano mediano del cilindro (x=0) ossia sul piano galattico
• cambia di segno nel passaggio dalle ascisse negative a quelle positive
• cresce linearmente con la distanza dal piano mediano, comportandosi come una forza di riporto elastico.
La componente radiale è massima sul piano mediano e tende a diminuire allonta-nandosi da esso.
Se la massa in rotazione attorno all’asse del cilindro (asse x) è stabilmente contenuta nel suo piano mediano il moto è di pura e semplice rotazione. Se invece essa viene a tro-varsi per un motivo qualsiasi ad una distanza x dal piano mediano, al moto circolare si sovrappone un moto armonico nella direzione dell’asse del cilindro, come avviene per il sistema solare nel suo moto all’interno della galassia.
[img]http://it.tinypic.com/r/2lt33fm/9[/img]
Mi auguro di essere riuscito a chiarire il mio pensiero.
Purtroppo le immagini non compaiono. Pazienza.
figura 1:
michele stai attento ai link per le immagini
per esempio:
l'ultima immagine l'src è http://oi68.tinypic.com/2lt33fm.jpg e non http://it.tinypic.com/view.php?pic=2lt33fm&s=9#.Vo1q81lUXcg
io ho provato a inserire il codice ma non funziona forse perchè è filtrata...
riprovo
riprovo un'ultima volta
È una distribuzione di pesi su un sacco di patate molto grande,le patate si muovono a seconda di come lo sistemi
Dopo questa mia erudita considerazione semiseria ne scrivo un'altra non mia:"L'eliminazione d'incoerenze logiche richiede di modificare concetti ordinari di spazio e tempo sostituendoli con concetti più profondi e non evidenti".
Dal mio punto di vista la spiegazione di Enzo è la più centrata come semplicità concettuale di quelle che ho letto fino adesso orientate a persone di media cultura,oltre questa si entra nella matematica per addetti ai lavori.Comunque rimango dell'idea che se esiste qualcosa che non sia il nulla,esiste l'eternità,dal nulla non nasce nulla e lo spazio dal quale nasce la materia è entità dinamica.Se esiste l'eternità e lo spaziotempo è reale anche lo spazio deve essere eterno,magari in un sistema di Brane? o qualcos'altro infinito.C è una costante (che potrebbe rivelarsi con il tempo non essere una costante fondamentale, ma solo un elemento di conversione)che Lorentz usa indifferentemente anche per il tempo,così h tagliata per l'energia,e quando finalmente si uniranno le quattro forze fondamentali,magari qualche nuova idea uscirà.
P.S. Nell'ultimo periodo che ho scritto la C sembra che sia un C 'è--intendo C velocità della luce
caro Michele,
il tuo sarà anche un approccio coerente e corretto, tuttavia viene meno a quanto si cerca di fare in questo sito: spiegare a tutti nella maniera più semplice. Tutto ciò che hai detto può essere semplificato pensando al problema degli n corpi. La gravitazione è l'unica forza che contrasta l'espansione e nelle strutture complesse, come un ammasso di galassie, la gravitazione non si riduce alla gravità tra una coppia, ma tra n corpi. Tuttavia, si può sempre semplificare portando la massa nel baricentro e considerare la forza agente sulla singola particella. L'approccio è più che sufficiente per avere l'ordine di grandezza giusto e per ricavare la formula che nasce dall'equazione di Friedmann. Insomma, come già detto spesso e volentieri, in questo circolo non vogliamo complicare o mostrare di saperne di più,ma solo allargare le conoscenze dell'Universo al maggior numero di persone. Se tutti pubblicassero le loro idee, per giuste che siano, ne verrebbe fuori una torre di babele, come si può notare in altri siti.
Accontentiamoci di capire la fisica classica e la fisica moderna, ce n'è già davanzo. Per tutto il resto e per fare astrofisica professionistica esistono le riviste specializzate, dove, però, bisogna passare il giudizio dei referee.
Grazie Michele per la tua comprensione... Ovviamente, se non reputi giusta e utile la strada che ho cercato di tracciare, con tutte le sue limitazioni, puoi sempre aprire un blog di approfondimento scientifico (ce ne sono tanti). Tuttavia, ti consiglio di non lasciare che tutti, sia colti che impreparati dicano la propria... non servirebbe a niente e a nessuno!
Caro Enzo
La mia non voleva essere una esibizione fine a se stessa. Ho allargato il discorso su tua sollecitazione. Mi spiace che io non sia riuscito a inserire immagini. La conclusione del mio commento mira a evidenziare con tutti i limiti delle mie conoscenze al riguardo che l'aggregazione della materia in galassie è l'unica a garantire la conservazione della massa nei campi gravitazionali. Ne deduco che l'intero universo (per me sicuramente finito) debba configurarsi come un enorme ciambellone dal quale nulla di materiale può sfuggire.
caro Michele,
capisco sicuramente la tua buona fede, ma allargare e cercare di rendere sempre più comprensibile un concetto, non impone una visione più o meno alternativa. Cerchiamo di non strabordare e di mantenerci nel semplice. La gravità, sia newtoniana che einsteniana, è più che sufficiente a spiegare l'esistenza e la stabilità delle galassie e degli ammassi. Cerchiamo di rendere più comprensibile ancora questo semplice concetto senza complicarlo ulteriormente, senza un effettiva necessità. Spero di essermi spiegato abbastanza bene. D'altra parte, l'inizio della tua lunga descrizione non fa altro che introdurre il campo gravitazionale classico, già trattato varie volte. Accontentiamoci di questo e dell'aggiunta della rotazione. In fondo abbiamo condizioni simili a quelle che hanno portato alla definizione dei punti lagrangiani e dei lobi di Roche, nel caso di due singole masse.
riprovo con immagine
[IMG]http://i66.tinypic.com/21ozomw.jpg[/IMG]
riprovo
caro Michele,
ti prego di leggere il mio commento precedente e di evitare di volere fare comunque di testa tua...
Se riesci a dire qualcosa di più rimanendo nel campo di un campo gravitazionale rotante, OK... ma senza formule o figure alternative. Dai, non ne abbiamo bisogno!
Caro Enzo,
sono stato assente alcuni giorni, prima della partenza ho rifatto altri due tentativi di inserimento delle immagini, senza esito. Riprendo il discorso.
Tutte le mie considerazioni sono strettamente confinate nell'ambito della meccanica classica. Quanto esposto nel mio precedente commento è incompleto in quanto considera della rotazione solo quanto necessario a giustificare il bilanciamento della forza gravitazionale mediante la forza centrifuga che funge da "portanza".
Considerando due corpi dei quali uno (A) fermo e l'altro (B) che gli ruota attorno su traiettoria circolare di raggio R per effetto della sola forza gravitazionale F, non possiamo trascurare il fatto che anche le due forze agenti sui due corpi stanno ruotando sia attorno al punto occupato da A che attorno a quello occupato da B con variazioni nel tempo di intensità ωF, parallele alla velocità di B, verso opposto, il cui rotore -ω(FR) rappresenta la coppia FR sviluppata alla velocità angolare ω dalla resistenza alla rotazione opposta dalle due forze. Il corpo B, per poter ruotare attorno ad A, deve vincere questa resistenza e lo fa mediante il prodotto vettoriale Vb x F che corrisponde al rotore ω(FR) uguale ed opposto al precedente e che rappresenta la coppia motrice FR sviluppata alla velocità angolare ω che trascina in rotazione entrambe le forze.
Senza trascinamento in rotazione delle forze non si ha moto circolare di B attorno ad A. Il moto di B si sviluppa in un campo gravitazionale rotante che esso stesso provoca, caratterizzato dal fatto che il rotore Vb x F generato nel punto occupato da B agisce anche nel punto occupato da A dove la forza gravitazionale subisce la stessa coppia resistente che in B. Il rotore generato nel punto occupato da B si trasmette anche al punto occupato da A.
Conseguenza di ciò è che se il corpo A si muove con velocità Va, l'effetto combinato della velocità e del rotore dovuto a B è la comparsa di una forza Fa di tipo giroscopico, che possiamo chiamare anche gravito-magnetrica in quanto analoga a quella elettro-magnetica, tale che sia Va x Fa = Vb x F. Tale forza che risulta sempre ortogonale a Va non è altro che la forza gravitazionale F corretta del rapporto Vb/Va.
Ciò comporta anche una modifica delle situazioni di equilibrio dinamico stabile instauratesi nel cosmo.
caro Michele,
prima di addentraci nei rotori, argomento non certo alla portata di tutti i lettori del circolo, vorrei capire cosa intendi con:
"non possiamo trascurare il fatto che anche le due forze agenti sui due corpi stanno ruotando sia attorno al punto occupato da A che attorno a quello occupato da B con variazioni nel tempo di intensità ωF...".
Quali sono queste forze? Se tu intendi che nella rotazione di materia questa si scontra con altra materia e la loro rotazione è differenziata, posso solo dirti che è proprio quello che, in parole povere, si pensa possa causare un effetto dinamo, come ciò che capita nel centro della Terra. Niente di nuovo, quindi...
Ma forse non ho capito... ti prego, comunque, di evitare rotori e cose del genere. cerca di essere il più semplice possibile.
caro Enzo,
1) B in alto rispetto ad A, forza che A applica a B verticale diretta verso il basso, forza che B applica ad A verticale diretta verso l'alto.
2) B a destra rispetto ad A (rotazione di 90° oraria), forza applicata da A a B orizzontale diretta verso sinistra (rotazione di 90° oraria), forza applicata da B ad A orizzontale diretta verso destra(rotazione di 90° oraria).
in altre parole, tu introduci un mezzo che cerca di opporsi alla rotazione dei vettori. Attenzione, però, che i vettori non sono quantità fisiche. Ciò che conta è la forza che si esercita tra le due masse: essa può essere aumentata o diminuita a seconda della materia che perturba la situazione. Mi spiego meglio, nella rotazione di B attorno ad A, B viene a trovarsi in condizioni diverse rispetto a masse esterne o interne che ruotano in modo diverso da B. E' così?
caro Enzo,
le masse A e B sono le sole esistenti, non vi sono interferenze esterne. Le due forze che ruotano generano esse stesse la resistenza alla rotazione, che non è dovuta ad un mezzo esterno.
Esiste integralmente il sillogismo:
- una carica in moto genera il campo elettro-magnetico VxFe
- una massa in moto genera il campo gravito-magnetico VxFg
Nulla di nuovo sotto il sole.
Forse, finalmente, ho capito... tu pensi a quanto previsto dalla teoria della RG riguardo alla rotazione di un corpo e alla creazione di un campo gravitomagnetico (che però ben poco ha a che fare con il campo magnetico). Si ipotizza che la rotazione di un corpo di massa M produce un ulteriore componente del suo potenziale gravitazionale, detto potenziale gravitomagnetico in cui compare anche il momento angolare. Il campo che ne risulta assomiglia al campo magnetico di una calamita. Le conseguenze potrebbero vedersi sull'orientazione di un giroscopio e sull'attorcigliamento dei raggi di luce attorno al corpo rotante. Effetti, però, mai realmente misurati finora.
Ero stato sviato pensando a un vero campo magnetico, col quale, invece, ha solo una somiglianza "estetica"...
Forse ci siamo veramente capiti ... o non ancora?
caro Enzo,
l'analogia è sostanziale. Lo studio del moto dei corpi interagenti gravitazionalmente dovrebbe farsi con una formula avente la stessa struttura di quella di Lorentz in elettrodinamica.
Un quesito. Perché lo spessore assiale di una galassia a spirale è di alcune migliaia di anni luce e non nulla come nel sistema solare?
Eh... qui si cade - malamente - sulla filosofia.
@ Mauro
Non mi trovi affatto d'accordo. Tutti conosciamo bene l'esperienza di Ampere sui conduttori accostati percorsi da corrente. Non vi è alcuna differenza se si hanno masse in movimento anziché elettroni, unica differenza che le forze gravito-magnetiche, generate da corpi che si attraggono, hanno segno opposto rispetto a quelle generate dagli elettroni che invece si respingono. In particolare due masse che si muovono con velocità uguali e concordi si respingono con una forza uguale ed opposta a quella di gravità che le attrae. Si ha quindi una ulteriore condizione di equilibrio, le due masse non precipitano l'una sull'altra.
Un ultimo accenno. Il campo gravito-magnetico generato dalle masse in movimento giustifica la comparsa del momento della quantità di moto dell'intero universo senza che vi sia necessità di intervento di azioni esterne in quanto crea vorticità auto-indotta nel pieno rispetto della conservazione dell'energia.
Altro che filosofia!