Categorie: Matematica Relatività
Tags: energia massa relatività ristretta velocità della luce
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:34
QUIZ: verso E = mc•c ****
Sì, Umberto freme dall’impazienza e non posso dargli torto. Gli integrali sono piuttosto noiosi e lo saranno, forse, ancora di più, tra poco (non demordete, però, perché sono toppo importanti in fisica). D’altra parte, non posso abbandonarli, perché probabilmente li userò più volte presentando la derivazione della celebre formula relativistica in vari modi (non ho ancora deciso quante e quali strade usare…). Durante uno di questi processi logico-matematici ci si imbatte in un simpatico passaggio che può essere presentato come quiz senza influire sul discorso relativistico generale.
Ragionarci sopra già adesso, e tenerlo al caldo, potrebbe anche essere utile per cominciare a capire con chi avremo a che fare. Ci torneremo sopra, ovviamente, ma fatemi “sparare” il quesito:
Dimostrare che:
v·d(γ·v)/dt = c2· dγ/dt
dove v è la velocità, funzione del tempo, c la velocità della luce (costante) e γ = 1/(1 – (v/c)2)1/2 (ben noto a tutti i relativistici…).
Vi posso assicurare che non è difficile, ma è necessario un po’ d’intuito (e di amore) per la matematica (i passaggi non sono complicati). Poi, magari, troverete un sistema ancora migliore di quello che ho usato io. Mai dire mai!
Buon divertimento!
34 commenti
intanto ti ringrazio per la considerazione, ma non ci vedo molto chiaro..
caro Umberto,
(all'interesse si deve rispondere con l'interesse) e poco male, dato che non si può creare confusione, essendo stato ritagliato solo un passaggio. Ma un passaggio fondamentale per cambiare funzione in modo che l'integrale sia poi immediato... Tutto, però, resta nell'ambito della derivata e delle funzioni che dipendono dal tempo... E' più semplice di quanto possa sembrare, un salto mortale matematico che sembrerebbe chiudersi su se stesso e che invece apre una via insperata per l'operazione successiva, in cui la fisica entra da padrona. 
dovere...
derivata del termine di destra:
d γ/dt=d(1-v^2/c^2)^(-1/2)=-1/2(1-v^2/c^2)^(-3/2)*(-2v/c^2)*dv/dt
c^2*d γ/dt=(1-v^2/c^2)^(-3/2)*v * dv/dt A)
derivata del prodotto di sinistra:
d γ/dt * v + γ *dv/dt
ma d γ/dt l'abbiamo già calcolato prima, moltiplichiamo per v e sommiamo
(1-v^2/c^2)^(-3/2) * v^2/c^2 dv/dt + (1-v^2/c^2)^(-1/2) *dv/dt=
al numeratore:
v^2 + c^2(1-v^2/c^2)=c^2 C)
dunque resta c^2 ((1-v^2/c^2)^(-3/2))dv/dt /c^2 B)
quindi i due termini A e B sono uguali
(ho saltato un passaggio in C)
mi riprometto di scriverlo meglio usando latex
caro Umberto... puoi anche fare meno fatica, scrivendo direttamente il termine gamma, raccogliendo i termini (che formano una semplice equazione) e poi derivarlo. Vedrai che è ancora più immediato, senza bisogno di fare derivate "complicate" (si fa per dire...).
Che dire... ti meriti sicuramente la dinamica relativistica!!!!
Aspettiamo Paolo, anche se è pesantemente coinvolto con i suoi papalli vari... Se poi arriva anche qualcun altro ancora meglio!!!!
so di aver fatto dei conti un pò brutali.. ma non mi veniva niente di più semplice
No, no, la via era quella giusta, ma poteva trovarsi una ... scorciatoia...
Seguo da qualche tempo questo interessante blog.
Armeggiando con le formule di questo quiz mi sembra di avere trovato questa altra via
γ=(1-v^2/c^2)^(-1/2)
γ^2=(1-v^2/c^2)^(-1)
v^2=(c^2*γ^2-c^2)/γ^2
γ^2*v^2=(c^2*γ^2-c^2)
(γ*v)^2=c^2*γ^2-c^2
d((γ*v)^2)/dt=d(c^2*γ^2-c^2)/dt
2*(γ*v)*d(γ*v)/dt=c^2*2*γ*dγ/dt
v*d(γ*v)/dt=c^2*dγ/dt
Spero di non avere preso qualche svista.
gira rigira si arriva sempre al punto... bravi...
da come anticipato, il termine di destra servirà per semplificare il calcolo di un integrale,
visto che rappresenta semplicemente c^2 *γ. Non resisto però a chiedere cosa rappresenta fisicamente il termine di sinistra (se è possibile dirlo semplicemente)
caro Umberto,
molto brutalmente, esso deriva dalla definizione di energia cinetica come lavoro svolto da una forza. Entra in ballo quindi la quantità di moto relativistica. Basta poi sostituire a ds il suo valore vdt... (praticamente si ottiene una potenza). Abbi pazienza, ma per dire di più sono necessari i passaggi. Ah... ovviamente non ho inserito m, che vi è in entrambi i termini...
Trovata la via in un verso, ho provato a seguirla nel verso opposto, che mi sembrava più coerente con quanto richiesto.
Ma come spesso mi accade viaggiando, al ritorno c'è qualche bivio che non avevo visto all'andata.
v*d(γ*v)/dt = c^2*dγ/dt
γ*v*d(γ*v)/dt = c^2*γ*dγ/dt
∫ γ*v*d(γ*v)/dt dt = ∫ c^2*γ*dγ /dt dt
∫ γ*v*d(γ*v) = ∫ c^2*γ*dγ
E qui c'è il problema
(γ*v)^2/2 = c^2*γ^2/2+cost, ma quale costante?
Se le costanti di integrazione fossero uguali, cioè cost=0 come ho fatto inizialmente dimenticando la cost,
otterrei:
v^2 = c^2 evidentemente non vera.
Invece va bene per cost = - c^2/2.
Come interpretare?
non mi piace tanto quel differenziale di un prodotto di funzioni... temo che il baco nasca da lì, ma devo studiarci meglio sopra. Al momento, ho grossi problemi di PC e non riesco a entrare nei file... Povero me!!!
In altre parole, ancora, puoi sempre trovare due costanti k1 e k2 tali che l'uguaglianza sia verificata... il che insito nella definizione di integrale indefinito. Tanto poi le costanti hanno derivata zero...
Per essere ancora più chiari (spero): se fai la derivata di una primitiva trovi una sola funzione, ma se fai l'integrale indefinito della funzione trovi infinite primitive...
caro Fabrizio,
scusa per prima ma ero un po' in crisi per un blocco del sito sull'area amministratore. Il problema si è risolto...
Dunque, tornando al problema dell'esecuzione della funzione inversa, direi che non è assolutamente detto che si riesca a trovare lo stesso risultato dell'andata. Mi spiego meglio...
Data una funzione si può calcolare la sua derivata e il valore è unico. Presa questa funzione, però, attraverso l'operazione inversa (l'integrale indefinito) si ottengono infinite funzioni.
Pensa solo all'operazione quadrato e alla sua inversa.
Se prendo -1 posso farne il quadrato e il risultato è solo + 1. Ma se prendo + 1 e ne faccio la radice quadrata trovo come possibili risultati sia +1 che - 1.
Grazie per i chiarimenti.
Quindi, se non ho capito male, in questi casi basta che ci sia un valore della costante che soddisfa l'equazione trovata e la relazione di partenza è dimostrata.
Esattamente Fabrizio (prima ti avevo chiamato Mik... che confusione, ma oggi ho avuto un sacco di problemi). In ogni modo, non c'è bisogno di applicare l'operazione inversa per una verifica. L'importante è avere dimostrato l'uguaglianza.
So che non dovrei ma..penso che qui ci troviamo nello spazio di Mink..ma la particella di massa m non ha velocità costante ,altrimenti non avremmo dovuto fare tutta questa fatica. Quindi non stiamo analizzando un moto uniforme.ma la formula famosa estesa non si applica solo ad una particella libera? E un fatto su cui continuo a confondermi
In breve (molto breve):
stiamo parlando di dinamica e quindi vengono introdotte delle forze e un'accelerazione (non tra i sistemi, ma all'interno di un sistema). Non per niente v è funzione del tempo. Sulla base della RR bisogna modificare la stessa velocità (che non può superare c) e di conseguenza anche la quantità di moto. Portando tutto sull'energia cinetica compare quasi miracolosamente un termine che prima non esisteva, con la massa a riposo. Poi, si può intendere che la massa cambi oppure pensare sempre in termini di gamma... Tuttavia, la formula è ormai nata... Se si ferma la massa, quell'energia non sparisce. Possiamo intendere il tutto come un portare una massa a una certa velocità... Purtroppo, sarebbe necessario spiegare tutti i passaggi sia matematicamente che "fisicamente"...
Dai... non scalpitare!!!
era per rendermi conto dell'utilità di quel brutto termine di sinistra.Sostanzialmente per calcolare l'energia di un particella possiamo pensare di calcolare il lavoro necessario per portarla ad una certa velocità;dobbiamo quindi integrare una forza con uno spostamento (o l'accelerazione per la massa, ovvero la derivata di una quantità di moto); ore vedo già la formula finale a destra.
resta da chiarire solo l'intervento relativistico di gamma nella quantità di moto .
Non so riesco a prometterti di star zitto (almeno per un pò).
caro Umberto,
non so se ho capito... ma gamma entra nella quantità di moto dato che vi entra la velocità...
per adesso mi accontento così; mi bastava sapere se quello che ho scritto sopra sul calcolo dell'energia usando il lavoro e integrando la quantità di moto con il ds=v dt sia corretto
E' corretto Umberto... la strada (una delle tante) è proprio quella!
Se devo dirti la verità tempo fa avevo cercato trovando però dimostrazioni molto artificiose di cui ho capito poco o niente.qui vedo che come punto di partenza usiamo la fisica classica (lavoro e energia) e il tutto mi sembra più lineare
esattamente Umberto,
io vorrei proprio partire dalla fisica classica e vedere come la RR modifica le formule. Tanto per fare un esempio, la seconda legge della dinamica deve essere modificata dato che porterebbe a velocità anche infinite, mentre sappiamo che v deve sempre essere minore di c. E via dicendo... sempre confrontando quantità di moto ed energia con quelle che conosciamo dalla fisica classica. Cercando sempre di mantenere la conservazione, ovviamente!
Allora capisco che il percorso sarà ancora lungo..meglio così prima bisogna capire bene tutto il resto della dinamica relativistica.
caro Umberto,
non sarà tanto lungo, perché dalla composizione delle velocità e dalla conservazione della quantità di moto si riesce in fretta ad avere la quantità di moto corretta e quindi l'integrale che porta alla formula sopra citata. L'importante è arrivarci tranquillamente, capendo esattamente i vari passaggi e vedendo come il tutto si inserisce nei fondamenti della RR. Le conseguenze saranno, poi, ancora più interessanti...
Composizione..qui abbiamo una particella in moto rispetto ad un sistema inerziale ..rispetto a cosa dobbiamo vedere la velocità relativistica?
caro Umberto,
è difficile non dire cose ambigue quando non si può parlare...
La quantità di moto relativistica si determina riferendosi a due sistemi di riferimento, relativi a due sfere che si urtano: uno che vede entrambe le sfere muoversi e uno solidale con una sfera. Per calcolare le velocità è necessario fare una composizione relativistica delle velocità... Solo così, non tornando la legge di conservazione, è necessario cambiare la definizione di quantità di moto.
Come detto ci sono vari metodi utili per ottenere il risultato, alcuni più matematici e brevi e altri più intuitivi e lunghi. Penso che ne proporrò più di uno. Trovata la quantità di moto relativistica (ossia la massa relativistica...) è poi piuttosto facile arrivare alla famosa formula parlando di energia... ( e quindi forza e derivata della quantità di moto)...
Dai, di più non posso e risulta anche molto più difficile senza nessuna figura... Alla fine creo proprio la confusione che non volevo...
Mi riprometto di..ma ormai la vedevo pronta.
potremmo quasi partire, ma è necessario applicare qualche integrale e uno sviluppo in serie (e poi devo ancora decidere bene quali procedimenti inserire in modo da rendere la faccenda la più chiara possibile, dato che dobbiamo riprendere le trasformazioni di Lorentz applicate a velocità...). Lavorare su due fronti è un po' dura...
Ho visto che è stato inserito il codeCogs equation editor: fantastico! faccio una prova
niente da fare, in anteprima me la dà, ma poi quando si invia il commento sparisce
la formula; è come se non venisse memorizzata