Abbiamo visto il vostro quiz sul papalurto.... grazie per lo spunto, qui su Papalla siamo sempre in cerca di nuovi giochi.

Sul pianeta Papalla, quando nascono nuovi giochi, immediatamente entra in azione la squadra dei Papalcuriosoni.

Si, proprio loro, quelli che compaiono gridando: “STOP AL PANICO”!

I Papalcuriosoni amano smontare e rimontare ogni gioco per comprenderne il funzionamento.

Perciò abbiamo sottoposto a loro il vostro gioco-quiz sul papalurto, che trovate  QUI.

I papalli, come al solito, quando c'è da giocare non si tirano mai indietro e due PapalAtleti e un amico papalelettrone sono pronti a darci una mano in questa giocosa rappresentazione.

I Papalcursioni, però, non intendono limitarsi a rispondere al quiz, loro nel rimontaggio del gioco vorrebbero trovare qualcosa che sia applicabile anche ad altri giochi simili, con velocità e distanze diverse da quelle indicate nel quiz.

Un'impresa non facile che merita di essere seguita passo dopo passo.

Innanzitutto Papalmatematico consiglia di usare delle definizioni sintetiche per indicare tempi, distanze e velocità:

d₀ = distanza iniziale tra i due PapalAtleti (nel quiz 60 km)

v_p = velocità di ogni PapalAtleta (nel quiz 30 km/h)

v_e = velocità di papalelettrone (nel quiz 60 km/h)

t₀ = tempo iniziale

Papalogica si è subito messa all'opera......smontato i vari movimenti.

I PapalAtleti si muovono sempre alla stessa velocità Vp, quindi il tempo necessario ai due PapalAtleti per incontrarsi è indipendente da ciò che fa papalelettrone. Dato che i PapalAtleti viaggiano alla stessa velocità, ma in verso opposto, non possono che incontrarsi a metà strada.

Il tempo finale T_F  non è altro che quello occorrente ad ogni PapalAtleta per compiere metà tragitto, ossia metà della distanza iniziale d_0.

Il tempo occorrente è uguale allo Spazio percorso diviso la velocità, ossia:

t = S/v

Nel caso del quiz lo spazio percorso da ogni PapalAtleta è:

S = ½ d₀ = 60/2 = 30 km 

che viene percorso alla velocità v_p di 30 km orari:

T_F = 30 km/(30 Km/h) = 1 ora = 60 minuti.

Papalmatematico, non si lascia certo sfuggire questa regola generale che sembra caratterizzare qualunque gioco simile e la traduce sinteticamente come:

T_F = ½ d₀/V_p                                                                        T_F = d₀/2V_p

A questo punto può entrare nel gioco anche papaleleltrone, la cui presenza non cambia ciò che succede ai due PapalAtleti.

Lui parte da inizio pista e viaggia ad una velocità V_e  e dopo un certo tempo, che chiamiamo t₁, raggiunge PapalAtleta Rosso.

Nel medesimo tempo t₁, però, PapalAtleta Rosso si è avvicinato ad inizio pista fino ad incontrare papalelettrone.

E' del tutto evidente che il tratto di pista percorso da papalelettrone S_e sommato al tratto di pista percorso da PapalAtleta Rosso S_{p (Rosso)} devono essere uguali alla distanza iniziale d_0.

Papalmatematico, sintetizza tutto in modo rapido e semplice.

Applicando il linguaggio di Papalmatematico al quiz, si ottiene facilmente che:

t₁ = d₀/(v_e +v_p) = 60 km/(60+30)km/h = 60/90 h = 2/3 ora

t₁ = 2/3 ora = 2/3 60minuti = 40 minuti

Trovato il tempo in cui avviene il primo rimbalzo è facile ricavare lo spazio percorso da Papalelettrone e lo spazio percorso da papalAtleta Rosso:

S_e = v_e t₁ = 60Km/h 2/3 h = 40 km

S_{p (Rosso)} = 30Km/h 2/3 h = 20 km

Papalogica, però, ricorda che mentre scorreva il tempo fino a t₁, PapalAtleta Blu, si è spostato dall'inizio della pista e ne ha compiuto un tratto.

Ovviamente la quantità di spazio è identica a quella che nel frattempo ha compiuto PapalAtleta Rosso , dato che la loro velocità è uguale:

Sp_(blu) = V_p t₁

Essendo trascorso il tempo t₁, i due PapalAtleti hanno accorciato la distanza che li separa ed ora si trovano ad una nuova distanza, indicata come d_1.

Papalmatematico ha inserito vicino alla distanza d il pedice 1 (d₁) per indicare che si tratta del primo rimbalzo di Papalelettrone, così come vicino a t il  pedice 1 (t₁) indica che si tratta del tempo necessario a Papalelettrone per raggiungere PapalAtleta e rimbalzare per la prima volta.

I Papalcuriosoni si consultano un attimo fra loro e affermano che ormai le regole del gioco sono chiare!

C'è una relazione che lega sempre la distanza precedente a quella successiva, rimbalzo dopo rimbalzo.

Papallino, che stava ascoltando i Papalcuriosoni, alza la mano e dice: ma io non ho ancora capito qual è questa strana relazione!

Va bene andiamo con ordine, rispondono i Papalcuriosoni, in fin dei conti per ora abbiamo visto solo cosa succede al primo rimbalzo.

Papalogica invita a soffermarsi sul fatto che, nel medesimo tempo t₁, la distanza iniziale tra i PapalAtleti d₀, si riduce alla distanza d_1.

Papalmatematico mostra volentieri questa ovvietà.

I Papalcuriosi sono sicuri che, la situazione sia destinata a ripetersi all'infinito, ossia:

d₂ = d₁ (v_e – v_p)/(v_e + v_p)

d₃ = d₂ (v_e – v_p)/(v_e + v_p)   ...e così via.... per infiniti rimbalzi...

Fidarsi è bene, ma potrebbe pure esserci lo zampino di Papalscherzone, per cui meglio verificare questa strana predizione.

Vediamo cosa succede al secondo rimbalzo di Papalelettrone.

Papalmatematico è soddisfatto, perchè nell'intervallo di tempo t₂ tra il primo e il secondo rimbalzo, accade come predetto, nuovamente la stessa cosa:

Ma qual è la misura di questa nuova distanza d₂?

Figura 12: Quanto misura la nuova distanza d2?

Usando il linguaggio di  Papalmatematico..... nel caso del Quiz, si ottiene:

d₂ = 60 (60 - 30)/(60 + 30) (60 – 30)/(60 + 30) = 60 (30)/(90) (30)/(90)

d₂ = 60 (1/3) (1/3) = 60 (1/9) = 6,66 km

Come trovare il tempo tra il primo e il secondo rimbalzo, era già stato indicato da Papalmatematico:

t₂ = d₂/(v_e -v_p) = 6,66/(60-30) = 6,66/30 = 0,22 ore

t₂ = 0,22 ore = 0,22 (60 minuti) = 13,33 minuti

Infine lo spazio percorso dai PapalAtleti e quello da Papalelettrone:

S_e = v_e t₂ = 60 km/h 0,22 ore = 13,33 Km

S_p = v_p t₂ = 30 km/h 0,22 ore = 6,66 Km

Papalogica invita a concentrarsi solo su ciò che succede a Papalelettrone.

Poco importa da quale PapalAtleta parte, poiché lui viaggia sempre più veloce del PapalAtleta su cui è appena rimbalzato, per cui è sempre un passo avanti rispetto a lui e anche se l'altro PapalAtleta si sta avvicinando Papalelettrone lo raggiunge prima del PapalAtleta da cui è partito.

Tale situazione si ripete ad ogni nuovo rimbalzo ed il povero Papalelettrone sembra destinato a rimbalzare un numero infinito di volte tra i PapalAtleti.

Papalmatematico, sorride nuovamente, poiché le predizioni si sono dimostrate esatte.

Più le distanze si accorciano, più si riduce il tempo tra un rimbalzo e l'altro!

Grazie a Papalmatematico è possibile conoscere ad ogni rimbalzo quanto distano i due PapalAtleti e quanto tempo è trascorso dal rimbalzo precedente.

Anche Papalmatematico, con i suoi calcoli, conferma che il numero di rimbalzi di Papalelettrone è infinito...

Più aumenta il numero di rimbalzi, più diminuisce la distanza tra i due PapalAtleti, finché questa al tempo T_F si riduce a zero.

Più la distanza si avvicina a zero, più il numero di rimbalzi cresce e si avvicina a infinito.

Eppure i due PapalAtleti impiegano sicuramente un tempo finito, indicato come T_F, per incontrarsi e nello stesso tempo la distanza tra loro deve ridursi a zero!

Questo è un dato di fatto e peraltro il tempo necessario ai due PapalAtleti per incontrarsi non dipende da ciò che fa Papalelettrone.

Papalogica, utilizza un gioco assai più noto per mostrare come la somma di infiniti piccolissimi segmenti possa produrre un risultato finito.

La similitudine proposta da Papalogica è facilmente applicabile anche al gioco che i Papalcuriosoni hanno ormai smontato in più pezzi.

Papalmatematico lo mostra in un attimo!

Nel caso indicato dal quiz la somma delle distanze è uguale alla metà della distanza iniziale d₀/2.

Smontando il gioco i Papalcuriosi sono in grado di applicare le sue regole ad ogni gioco simile, anche con distanza iniziale o velocità diverse da quelle proposte dal quiz (purché la velocità dei due PapalAtleti sia uguale).

Papalmatematico sintetizza tutto come solo il linguaggio matematico sa fare.

I Papalcuriosoni saranno anche soddisfatti che infiniti rimbalzi producano un esito finito e scontato, ossia l'urto finale tra i due PalaAtleti nel tempo previsto T_F , ma Papalelettrone è un po' preoccupato di tutti quei rimbalzi.

E come in tutte queste occasioni echeggia l'urlo dei PapalCuriosoni: STOP AL PANICO!

Papalelettrone pur essendo davvero minuscolo ha un diametro  stimato in 5,635 10^-18 Km, perciò ha  una dimensione fisica.

Se la distanza tra i due PapalAtleti si riduce ad una dimensione inferiore al suo diametro, è evidente che per Papalelettrone non c'è più spazio per rimbalzare, lui è inesorabilmente incastrato tra i due PapalAtleti.

Come al solito per calcolare dopo quanti rimbalzi Papalelettrone si incastra tra i due PapalAtleti ci pensa Papalmatematico.

Papalelettrone, con tutti quei rimbalzi infiniti che lo aspettavano, può tirare un sospiro di sollievo..... e di rimbalzi può limitarsi a farne solo quaranta...

Ora che il gioco è stato completamente smontato si può rimontare!

Grazie ai calcoli di Papalmatematico, PapalGrafico ha tradotto il linguaggio matematico in linguaggio grafico ed ha realizzato un'animazione del nuovo gioco. ... altro che la matematica non serve a niente!

Ad ogni rimbalzo viene misurata la distanza tra i due PapalAtleti mentre il cronometro segna il tempo trascorso tra un rimbalzo e l'altro..... la scala dell'immagine (papalli esclusi) è stata continuamente aumentata per mostrare distanze sempre più piccole.

Quando Papalelttrone si incastra tra i PapalAtleti le grandezze sono nell'ordine dei millesimi di miliardesimi di millimetro per le distanze e nell'ordine dei milionesimi di miliardesimo di secondo per il tempo tra un rimbalzo e l'altro....

I Papalcuriosoni consigliano ai papalli ancora più curiosi di visionare la soluzione terricola del quiz  QUI, molto più approfondita... e dare un'occhiata agli splendidi articoli su zero  e infinito...  il cui comportamento è diverso da quello degli altri numeri.. QUI   QUI  e QUI

Per oggi è tutto dal Pianeta Papalla

 

Mentre noi abbiamo sviscerato il viaggio di un elettrone che rimbalza tra due papalli, Gatto Gualtiero avrebbe voluto spiegarci come calcolare in un battibaleno quanta strada percorre una mosca che vola avanti e indietro tra due treni... ma aveva troppo sonno e, per questa volta, si è fatto sostituire dalla sua zampa destra Alan che, tuttavia, si è dimostrato all'altezza! Ecco QUI il loro video.