Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

 

Qualcuno potrebbe dire: “E’ ovvio!”, ma in fisica non è mai inutile svolgere i processi inversi, dato che spesso si scoprono relazioni di grande interesse. E, poi, è pur sempre esercizio utile per il cervello.

Partiamo, quindi, ammettendo che un certo signor Einstein abbia concluso, sognandolo di notte, che:

E₀ = m₀c²     …. (8)

Non ci resta che far muovere il corpo applicandogli una forza e vedere cosa succede. Ovviamente, se il corpo si muove deve acquisire energia cinetica, per cui l’energia del corpo deve aumentare. Dato che l’energia del corpo fermo è uguale a una massa moltiplicata per una costante, è ovvio che deve aumentare la massa.

Sì, ma come?

Sappiamo che la variazione di energia, dovuta all’azione di una forza su un corpo, è data da:

dE/dt = F v

Abbiamo già incontrato questa formula, che è quella che ci regala il lavoro svolto da una forza nell’unità di tempo. Ricordate la potenza?

P = L/t = F s/t = F v

Ma il lavoro non è altro che una differenza di energia in un certo intervallino di tempo e, quindi:

dE/dt = F v      …. (9)

In realtà, dovremmo usare vettori e prodotto scalare tra vettori, ma se la forza agisce nel verso del movimento possiamo limitarci ai moduli.

Sappiamo, però, anche che:

F = d(mv)/dt

La (9) diventa, ricordando la (8) (non siamo più a riposo e m₀ deve essere aumentata, come già detto prima)

d(mc²)/dt = v d(mv)dt

Tutto quello che dobbiamo fare è risolvere questa equazione, ricavando la massa. Abbiamo bisogno di qualche trucchetto… (Come al solito, la scrittura in rosso significa che chi vuol provare può anche proseguire da solo…)

Moltiplichiamo entrambi i membri per 2m:

c² 2m d(m)/dt = 2mv d(mv)dt       …. (10)

Non sbagliamo di certo se ricordiamo che 2m d(m)/dt  non è altro che la derivata di m²:

d(m²)/dt = 2m dm/dt

ma, analogamente, vale anche:

d(mv)²/dt = 2mv d(mv)/dt

Sostituendo nella (10):

c² d(m²)/dt = d(m²v²)/dt

Basta fare l’integrale indefinito di entrambi i membri e abbiamo

m² c² = m²v² + k      .... (11)

Stiamo parlando di integrali indefiniti e quindi ci dobbiamo portare dietro una costante…

Tuttavia, la relazione precedente deve essere valida per qualsiasi velocità, quindi anche per v = 0…

Essa diventa:

m₀²c² = 0 + k

La costante è quindi determinata e vale:

k = m₀² c²

Possiamo allora sostituire k nella (11) che diviene:

m²(c² – v²) = m₀² c²

m² = m₀²c²/(c² – v²) = m₀²/(1 – v²/c²)

e, infine:

m = m₀/(1 – v²/c²)^1/2

come volevasi dimostrare… e, intanto, abbiamo ripassato un po' di derivate e integrali...