Categorie: Relatività
Tags: fattore di Lorentz orologio a luce quiz relatività speciale sistemi inerziali unità temporali
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:29
QUIZ relativistico: da un'unità all’altra *****
Il problema è il seguente. Immaginiamo di avere un sistema di riferimento considerato fermo (rosso) e un sistema in movimento (blu) con una certa velocità v che può essere qualsiasi. Il tutto è raffigurato in Fig. 1.
Immaginiamo anche di conoscere l’unità lungo l’asse temporale blu. Questa è la famosa unità che viene descritta, al variare delle velocità, dall’iperbole di calibrazione (ricordate il diagramma di Minkowski e l’equazione dell’iperbole, legata all’invariante spaziotemporale?). Ma noi non la conosciamo e nemmeno vogliamo usarla. Vogliamo soltanto trovare immediatamente e soltanto GRAFICAMENTE l’unità lungo l’asse temporale rosso, quello di riferimento. Ci vuole solo un attimo, ma bisogna anche dire PERCHE’ …
Per semplicità poniamo la velocità della luce c = 1.
La presenza dei cinque asterischi non dipende dalla difficoltà dei calcoli (che sono praticamente nulli), ma solo dall’intuizione che bisogna avere. Per qualcuno potrebbe essere ovvia e gli asterischi diventerebbero uno solo. Mi raccomando… non iniziate con formule e trasformazioni. E’ ovvio che alla fine si calcolerebbe tutto molto bene (abbiamo già descritto come fare, parlando del diagramma di Minkowski). Io desidero solo una soluzione grafica immediata. Bastano pochi secondi e uno strumento per disegnare, una volta molto comune…
Se risultasse troppo difficile, ho già pronta la versione “facilitata” (tre asterischi). Ma sono sicuro che qualcuno mi sorprenderà in senso positivo!
Buon divertimento e salutatemi Pitagora…
QUI trovate la soluzione
Per una trattazione completa della Relatività Ristretta, si consiglia di leggere il relativo approfondimento
29 commenti
Una possibile costruzione geometrica, realizzabile utilizzando solo compasso e righello, potrebbe essere quella in figura dove il segmento rosso dovrebbe essere il segmento unitario.
La costruzione mi sembra puramente geometrica, non riesco a dargli un significato fisico.
direi proprio di no, Fabrizio. E poi perché lungo un'asse che non ha alcun significato? Abbiamo chiesto l'unità di tempo sull'asse rosso...
Pensa all'orologio a luce...
ho seguito gli indizi che hai lasciato.. orologio a luce, Pitagora e uno strumento che sembra il compasso.
Per l'orologio a luce (dilatazione dei tempi,se c=1 ),
se 
=1, 
mentre x= 
(t' ha equazione x=vt) quindi le coordinate di P rispetto a R sono )
se prendiamo la proiezione di P sull'asse x ( coordinata
su R) C e tracciamo un cerchio centrato in C di raggio 
che intersechi l'asse t di R, otteniamo proprio il punto (1,0) che non è altro che l'unità di misura su R .Infatti l'ipotenusa (in colore nero) è uguale a 
; sappiamo da Pitagora ^{2}=1)
mi associo a quanto scritto da Umberto , e allego il link al mio studio della questione sulla piattaforma desmos (grafici di funzioni):
https://www.desmos.com/calculator/muxndp6i74
il grafico visibile subito è quello relativo a v=0,5c
ma variando il parametro k (lo slider nella vedere colonna a sinistra) , si varia in pratica il rapporto v/c . Si nota come il cerchio indicato da Umberto , pur aumentando di raggio (pari a omega) , passa sempre per il punto (1,0) del sistema di riferimento x,T, cioè per il punto che definisce l'unità di misura sull'asse T.
scusate, ovviamente intendevo dire il punto (0,1). Nelle espressioni delle funzioni rappresentate nel grafico, la y va intesa come T.
Al grafico ho aggiunto la retta passante per il centro del cerchio indicato da Umberto e per il punto (0,1). In tal modo si evidenzia anche il triangolo rettangolo a cui applicare il teorema di Pitagora.
https://www.desmos.com/calculator/mifj7nc148
(scusate se rinvio ad altro sito, in sostanza uso spesso desmos al posto del foglio di quaderno a quadretti..
Ho provato ha realizzare una figura, che è simile a quella postata da Umberto... in più il sistema in movimento usa un orologio luce per misurare il suo tempo proprio t'=1.
A dir il vero ancora in convince completamente, nel senso che penso sia migliorabile....
Paolo
Io ho trovato un modo molto empirico: ho costruito un grafico in scala considerando v'=c/2 (e, per riprova, un altro con v'=(3/4)c ), ho trovato graficamente le unità di misura in S e S' e poi, lavorando con il compasso, ho verificato che l'unità di S si ottiene tracciando la circonferenza con centro P e raggio AP (A=unità di S').
Sicuramente non è questo il procedimento corretto da un punto di vista logico, ma meglio che niente...
cara Dany,
basta pensare a cosa rappresentano nell'orologio a luce i segmenti OP e AP... e la tua costruzione empirica prende significato fisico!
Notate come , per qualsiasi valore di v, tutti cerchi devono passare per l'unità lungo t. Una bella figura, non c'è che dire!
In realtà, questo simpatico esercizio, dimostra come sia realmente immediato leggere il diagramma di Minkowski (stando sempre attenti lungo che asse si misura...).
CARI TUTTI (in attesa che arrivi anche qualcun altro... so che nessuno va a leggere la soluzione prima di aver provato: noi siamo fatti così!!!!), devo veramente complimentarmi con voi. Pensavo fosse meno immediato. Siete stati veramente BRAVI e posso dirvi che avete fatto vostra la RR. Lasciatemi sperare che un po' di merito ce l'abbiano anche avuto le mie tante "lezioni", a volte fin troppo ripetitive e ossessive, soprattutto sulla relatività della simultaneità, il vero nocciolo della RR...
Magari è solo un'impressione, ma vi colgo un aggancio alla relatività galileiana: si passa da una circonferenza 'ferma' centrata sull'origine degli assi, ad una 'in movimento' che diventa sempre più grande all'aumentare della velocità...
Caro Enzo, aggiungo solo una breve considerazione, sperando sia corretta.
Mi sembra che la figura sia strettamente legata all'invariante spaziotemporale, trattata qui:
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2015/06/03/il-diagramma-di-minkowski-4-linvariante-spaziotemporale/
Nella figura ho usato un orologio luce e posto c=1, per cui T=ct e T'=ct'.
L'andata e ritorno della luce nel sistema in movimento è la distanza ct', percorsa dalla luce nel tempo proprio del sistema in movimento (blu) t'=1. L'asse del tempo blu rappresenta quindi ct' ossia T'.
Il percorso di andata e ritorno della luce visto dal sistema fermo (rosso), dura un certo tempo T, per cui sull'asse del tempo rosso si può indicare ct, ossia T.
L'invariante spazio-temporale indica che: T'²= T² - x²
Nella figura sull'asse T del sistema fermo (rosso), il tempo corrisponde a T= γ. La distanza misurata sull'asse x della posizione di T' =1 (asse del tempo blu) è uguale a βγ.
Ne segue che quando T' = 1
T'²= T² - x²
1= γ² - β²γ² = γ² (1 - β²)
Ruotando il segmento T (raggio), questo incrocia l'asse del tempo T (rosso), in una posizione che corrisponde a T1=1.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo O – X – T=1, si ottiene:
1= γ² - β²γ² = γ² (1- β²)
Proprio lo stesso risultato di prima, solo che ora 1 indica il tempo T=1 misurato dal sistema fermo (rosso).
La distanza spazio-temporale T² – x² rimane uguale ad 1, per entrambi i sistemi di riferimento.
Sbaglio?
Paolo
Scusa Dany, intendevi qualcosa del genere?
Paolo
direi che hai ragione Paolo! D'altra parte l'invariante nasce proprio attraverso le trasformazioni comandate sempre da gamma.
Dany, al variare di v, la relatività galileiana darebbe sempre lo stesso tempo. Ossia ci sarebbe solo una retta orizzontale passante per T=1 che interseca tutte le altre a velocità diverse.
Paolo, a questo punto mi nasce spontanea una domanda, se è permesso: cosa usi per fare le figure ? (in realtà è una domanda che mi faccio da un pò osservando tutte le figure, graficamente impeccabili e sempre quasi immediate, di volta in vola prodotte sul blog). In buona sostanza: complimenti anche per la grafica !
Esatto! Pensavo proprio a questo...
So che in RR l'equivalente del luogo dei punti che mantengono la stessa distanza dal centro è l'iperbole di calibrazione, ma mi è venuta spontanea l'associazione d'idee tra la circonferenza galileiana e queste in movimento. Solo un volo di fantasia...
cara Dany,
lavorando con qualche funzione iperbolica penso che si riesca a trasformare la circonferenza in iperbole sotto particolari condizioni legate a Lorentz e a Minkowski... Ma direi che non è proprio il caso di provarci. Accontentiamoci...
Comunque, ho capito cosa intendevi. Volevo solo dire che ciò che adesso sono cerchi che passano tutti per lo stesso punto, nella relatività galileiana si trasformano in un'unica retta orizzontale... Per tutti l'unità è sempre t =1 misurato sull'asse verticale.
Segnalo una cosa, anche se questo è non è il posto giusto, ma me ne sono accorto da qui, guardando la mia dimostrazione; non si vedono più correttamente le formule inserite con Latex, neanche se si cerca di inserirne delle nuove. Questo mi sembra solo nei commenti (non negli articoli)
Diciamo di sì... ma pensavo anche a QUESTO e a QUESTO.
Comunque, inizialmente non intendevo riferirmi a nessun rigoroso concetto fisico, ma si trattava solo di un'associazione di idee...
Ciao Arturo per le figure uso Photshop.
Nel caso delle figure postate l'ho usato un pò come una carta millimetrata, su cui ho tracciato linee, frecce e qualche cerchio... niente di piu'..
Il procedimento è identico a quello di un disegno su carta millimetrata con squadra e compasso.
Le rette hanno un coefficiente angolare m (y/x), per cui se conti i quadratini sulle ascisse e sulle ordinate del sistema fermo (assi T e X) è un attimo tracciare gli assi T' e x'
Per esempio se β=0,8, l'asse T' (m= 1/β) si traccia contando 10 quadratini sull'asse T (ordinate) e 8 quadratini sull'asse X e unendolo il punto trovato con l'origine degli assi.... Per l'asse x' (m=β), si contano 8 quadratini sull'asse delle ordinate (T) e 10 quadratini sull'asse delle ascisse (X).
Paolo
Paolo, allora complimenti anche per la pazienza !
Io, da bravo pelandrone grafico, per disegnare rette, circonferenze, iperboli etc uso quel sito online che ho indicato prima. Ovviamente, bisogna ricavare prima, analiticamente, l'equazione delle curve e poi inserirle nell'applicazione, che quindi ne traccia il grafico. La cosa simpatica , con questo mezzo, è che si ottiene un risultato "dinamico". Cioè , con i cursori, fai variare un parametro, in questo caso il rapporto v/c , e vedi in tempo reale cosa succede al grafico
Il rischio, però, è di perdere di vista il significato fisico, quindi va usato con cognizione di causa.
scusate per il falso allarme; Latex ha ripreso a funzionare
Arturo, a mio avviso conviene provare a disegnare piuttosto che usare programmi preconfezionati, poiché abitua la mente a costruire una propria rappresentazione degli eventi.
Ho visto il risultato che hai postato, ma nelle indicazioni fornite dal programma c'è qualcosa che non mi torna.
Il problema è ciò che segna l'asse x e ciò che viene indicata come velocità v. Per esempio se uso la velocità v=0,8c, sull'asse delle x trovo indicato un valore di 1,5.
Ma l'asse x dovrebbe indicare come valore: βγ
x = βγ = 0,8/√(1-0,8²) = 0,8/0,6 = 1,333 e non 1,5.
Forse sono io che non ho ben compreso il programmino, o forse c'è qualcosa che non va..
Paolo
Chiedo scusa
guardando meglio 1,5 in effetti è spostato più in là, quindi il raggio parte da x=1,3333...
Come non detto.
Paolo
Salve prof.
Spero di essere nella sezione giusta.
Non voglio entrare in polemica con quanto scritto precedentemente vorrei solo fare una considerazione sulla trasformata di Lorentz.
Per cercare una "correzione relativistica" all'equazione di Schrödinger che come sappiamo descrive il comportamento dell'elettrone Dirac elaboro' una sua equazione dalla quale si pote' ammettere l'esistenza dell'antimateria.
Mi chiedo,ma ce ne era effettivamente bisogno?
Perche' dico questo?
Perche' stranamente ma molto stranamente non e' stata "analizzata" a dovere la trasformazione di Lorentz.
Infatti presenta una radice quadrata che come sappiamo porta a due soluzioni una positiva e anche una negativa
che nell'ambito matematico non si considera la negativa ma in quello algebrico assolutamente si.
Cosa vuol dire questo?
Per velocita' piccole o meglio per velocita' = 0 il tempo ha anche un valore negativo le dimensioni spaziali hanno anche un valore negativo e soprattutto la massa ha anche un valore negativo.
Queste informazioni sono perfettamente compatibili con quelle trovate da Dirac.
Dirac utilizzò proprio la formula dell'invariante relativistico di Einstein (vedi dinamica relativistica e anche l'articolo su Dirac) per tenere in conto anche l'energia negativa che diede luogo al suo mare di elettroni... Non parliamo, poi, della QED di Feynman (ampiamente trattata negli approfondimenti) in cui si inverte tranquillamente il tempo per descrivere i positroni... Se si studia bene, molte idee che sembrano nuove diventano risultati ampiamente trattati... La MQ, la RR e la RG non lasciano spazio a interpretazioni personali, a meno che non si abbia la testa di personaggi come Feynman ed Einstein (e colleghi) e una conoscenza perfetta di ciò che è stato fatto prima...
So di essere fuori tema, ma è l'ultimo commento postato, quindi mi accodo qui:
FELICE 2017 A TUTTI LE AMICHE E GLI AMICI DEL CIRCOLO.
tantissimi auguri anche a te caro Givi da tutto il Circolo!!!!!!!!!!!
Auguri infiniti come il teatro del cosmo anche da parte nostra a Givi al mitico Prof., a mici, ricci, papalli, papallicoli, maghi, maghette, lettori chiacchieroni e silenziosi, scrittori, autori vecchi e nuovi e a tutti gli altri (se ce ne sono)!
I papalli contraccambiano gli AUGURI terricoli e per chi ha voglia di approfondire consigliano le seguenti letture:
Mare di Dirac:
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2016/10/27/dolce-e-il-naufragar-nel-mare-di-dirac/
Dinamica relativistica
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2016/05/16/la-dinamica-relativistica/
Elettrodinamica Quantistica (la QED di PapalFeynman)
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2015/01/09/lelettrodinamica-quantistica-lottica-sotto-unottica-diversa/
Paolo
grazie Paolino e tanti auguri...