Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

 

Risolviamo il problema delle trasformazioni e ci accorgiamo che le formule sono esattamente le stesse che avevamo ottenuto trasformando t in t’ e x in x’, ossia le equazioni:

x’ = (x – ut)/(1 – u²)^1/2

t’ = (t – ux)/(1 – u²)^1/2

diventano

q’ = (q – uE)/(1 – u²)^1/2

E’ = (E – uq)/(1 – u²)^1/2

In poche parole, le trasformazioni tra quantità di moto ed energia sono esattamente le stesse che si hanno tra lo spazio x e il tempo t. Basta inserire l’energia al posto del tempo (scalare) e la quantità di moto al posto di x (componente di un vettore).

Partiamo dalle due banali e ben note relazioni (1) e (2):

E = m₀/(1 – v²)^1/2

q = m₀v/(1 – v²)^1/2

Come possiamo notare, entrambe contengono v, la velocità nel sistema S. Quello che vogliamo fare è calcolare E’ e q’ come vengono misurate in un sistema S’, dove la velocità è v’. La solita vecchia storia della RR.

E’ = m₀/(1 – v’2)^1/2

e

q’ = m₀v’/(1 – v’²)^1/2

Non ci resta che far comparire a secondo membro le velocità v relativa a S e la velocità di trascinamento di S’ rispetto a S (u), nello stesso identico modo in cui nelle trasformazioni di Lorentz facevamo comparire t e x per esprimere x’ e t’.

Ancora una volta, non dobbiamo fare altro che eseguire una composizione di velocità lungo l’asse delle x. Ormai la formula necessaria è diventata nostra carissima amica… (ricordiamo che  c = 1).

v’ = (v – u)/(1 – uv)

Cominciamo a scrivere la parte sotto radice quadrata, ossia (1 – v’²)…

Iniziamo con fare il quadrato di v’:

v’² = (v – u)²/(1 – uv)² = (v² + u² – 2uv)/(1 + u²v² – 2uv)

E poi  cambiare di segno e aggiungere 1 (e portare tutto allo stesso denominatore):

1 – v’² = 1 - (v² + u² – 2uv)/(1 + u²v² – 2uv) = (1 + u²v² – 2uv – v² – u² + 2uv)/(1 + u²v² – 2uv)

1 – v’² = (1 + u²v² – v² – u²)/(1 + u²v² – 2uv)

1 – v’² = ((1 – v²) – u²(1 – v²))/(1 – uv)² = (1 – v²)(1 – u²)/(1 – uv)²

Bene. Adesso mandiamo tutto al… denominatore e facciamo la radice quadrata:

1/(1 – v’²)^1/2 = (1 – uv)/((1 – v²)^1/2(1 – u²)^1/2)           …. (5)   (ci servirà dopo ….)

Non ci resta che moltiplicare per la massa a riposo m_0, che rimane sempre la stessa in ogni sistema di riferimento:

E’ = m₀/(1 – v’²)^1/2 = m₀(1 – uv)/((1 – v²)^1/2(1 – u²)^1/2) = (m₀ – m₀uv)/((1 – v²)^1/2(1 – u²)^1/2)

Mamma mia… è stata abbastanza dura e, inoltre, sembra di essere ben lontani dal risultato voluto! Calma e sangue freddo. Divertiamoci un po’ con la matematica. Scriviamo la stessa cosa in modo apparentemente ancora più complicato:

E’ = ((m₀/(1 – v²)^1/2) – (m₀uv/(1 – v²)^1/2))/(1 – u²)^1/2         …. (6)

Avete eseguito con calma i vari passaggi? Bene. Adesso non è difficile sostituire alle varie parti quello che rappresentano.

Ad esempio:

m₀/(1 – v²)^1/2 = E

Proprio come dice la (1)

Inoltre:

m₀uv/(1 – v²)^1/2 = uq

Proprio come ci dice la (2), moltiplicata a sinistra e a destra per u.

Non ci resta che sostituire nella (6) e si ottiene, quasi miracolosamente:

E’ = (E – uq)/(1 – u²)^1/2

Non è difficile confrontarla con la ben più celebre:

t’ = (t – ux)/(1 – u²)^1/2

Esattamente quello che avevamo preannunciato: per trasformare E in E’ basta sostituire nella formula precedente t con E, t’ con E’ e x con q. E il gioco è fatto!

Scommettiamo che ormai siete più che sicuri che lo stesso succederà anche con q’? Di Einstein ci si può fidare… Comunque, eseguiamo ancora qualche calcoletto divertente… La faccenda è molto più semplice.

Sappiamo dalla (4) che:

q’ = E’ v’

basta sostituire E’, utilizzando la (5) moltiplicata per m₀, e la v’ in funzione di v e u.

q’ =  m₀(1 – uv)/((1 – v²)^1/2(1 – u²)^1/2) (v – u)/(1 – uv)

Semplificando tra numeratore e denominatore si ha:

q’ = m₀ (v – u)/((1 – v²)^1/2(1 – u²)^1/2) = (m₀v – m₀u)/((1 – v²)^1/2(1 – u²)^1/2)

Scriviamolo in modo più… utile:

q’ = m₀v/((1 – v²)^1/2(1 – u²)^1/2) - m₀u/((1 – v²)^1/2(1 – u²)^1/2)

Ma, sappiamo ormai molto bene, dalla (1), che:

m₀v/(1 – v²)^1/2 = q

e, dalla (2) che:

m₀/(1 – v²)^1/2 = E

Ne segue:

q’ = q/(1 – u²)^1/2 – uE/(1 – u²)^1/2

q’ = (q – uE)/((1 – u²)^1/2

del tutto analoga a:

x’ = (x – ut)/(1 – u²)^1/2

Sì, è vero, è stata un po' dura, ma, in fondo, sono stati passaggi di semplice matematica, alla portata di tutti o quasi.

Non andremo oltre, ma possiamo facilmente immaginare le fantastiche possibilità pratiche. Ciò che sembrava un espediente matematico e geometrico, ci permette di descrivere graficamente l’energia e la quantità di moto in un diagramma di Minkowski, in accordo con le equazioni di Lorentz. Non solo spazio e tempo che si contraggono e si dilatano, ma grandezze di assoluta importanza fisica come energia e quantità di moto.

Abbiamo anche imparato che nello spazio di Minkowski esistono almeno due grandezze che non variano nelle trasformazioni di Lorentz. Ma sono molte di più...

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