Gli infiniti di Cantor. Parte quinta.Intermezzo: l'induzione matematica.
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L'induzione matematica.
Il metodo di induzione matematica si applica nel contesto dei numeri naturali e consiste nel dimostrare che se una certa proprietà vale per un certo numero naturale ,e supponendo che sia valida per n si dimostra che è valida per n+1 allora vale per tutti i numeri naturali .
Definiamo formalmente Il principio di induzione:
Sia P(n) è una certa proprietà che dipende da n. Se:
1)P(n) è vera per un certo numero naturale (cioè ) è vera
2) Qualsiasi sia P(n) vera implica anche P(n + 1) vera,
allora P(n) `e vera per ogni
Il punto 1) viene detto anche base dell'induzione, il punto 2) passo induttivo.
Una giustificazione intuitiva di tale principio, può essere la seguente:
se sappiamo che P(0) è vera, per il passo induttivo è vera anche P(1), ma allora anche P(2) e così via. Dato un n qualsiasi, con un numero finito di passaggi riusciamo a dimostrare che è vera anche P(n) :
P(0)-->P(1)--->P(2)---> ......---> P(n).
Non possiamo dimostrare il principio di induzione; esso fa parte della teoria assiomatica dei numeri naturali del matematico Italiano Giuseppe Peano. Notiamo però che è fortemente intuitivo, e il suo funzionamento si chiarisce meglio con degli esempi.
1)La somma dei primi n numeri naturali .
Vogliamo dimostrare che (questa è la proprietà P(n) da dimostrare)
per ogni
sappiamo che per n=1 è vera: infatti:
quindi il caso base P(1) è vero.
Passo induttivo: supponiamo
cioè se ammettiamo che è vera P(n)(passo induttivo) dobbiamo dimostrare che è vera P( n+1), ovvero:
(al posto di n devo mettere n+1, e al posto di n+1 n+1+1=n+2)
ma:
quindi , raccogliendo (n+1):
quindi P(n+1) è vera. Ma allora è vera per ogni .
2) Somma dei termini di una progressione geometrica.
Vogliamo dimostrare che, per ogni
(ricordiamo che )
Caso base, n=0
=
quindi P(0) è vera.
assumiamo P(n) vera (ipotesi induttiva):
quindi cioè P(n+1) è vera. Ma allora è vera per ogni
Notiamo un fatto; il principio di induzione ci permette di dimostrare in modo rigoroso la validità di una formula, ma solo l'intuito ci permette di ipotizzare il risultato.
Vorrei che qualcuno provasse a dimostrare questa formula:
per ogni
Funzioni definite con il metodo di induzione:le funzioni ricorsive.
Il metodo induttivo si può applicare anche per definire una funzione sui numeri naturali dando il suo valore per 0 (o per un altro numero naturale iniziale), e fornendo la regola per passare da n ad n + 1. Tali funzioni si chiamano ricorsive; una funzione è ricorsiva quando chiama se stessa.
L’esempio più noto è quello della funzione n! ( n fattoriale) che altro non è che il prodotto dei primi n numeri interi :
Possiamo considerare il fattoriale come una funzione di f:N--->N che associa ad n f(n)=n!
si definisce il suo valore per 0: 0! = 1 (per convenzione)
Poi si passa a (n + 1)! =n! (n + 1)
Vediamo subito che la definizione corrisponde proprio al fattoriale.
infatti ; ma , quindi
La chiamata a n! chiede alla funzione di risolvere un calcolo più semplice di quello iniziale (il valore è più basso), ma è sempre lo stesso problema La funzione continua a chiamare se stessa fino a raggiungere il valore 1! (o O!) che sa risolvere immediatamente.
La successione di Fibonacci
l'esempio del fattoriale però non mostra completamente l'importanza delle funzioni definite per ricorrenza. Infatti possiamo calcolare il fattoriale come abbiamo sempre fatto, moltiplicando i primi n numeri interi. Nel caso seguente invece la definizione può essere data solo in modo ricorsivo.
Ricordiamo che una successione di numeri naturali altro non è che una funzione di N-->N
La successione di Fibonacci, (che indichiamo con F: N-->N) è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti. Chiaramente riusciamo a fare questo se n>=3
Poniamo:
F(1)=1, F(2)=1
per n>=3
Per calcolare un termine della successione è necessario procedere in modo iterativo, calcolando prima i precedenti, non possiamo farlo in modo diretto. Per esempio vogliamo calcolare F(6):
F(6)=F(5) + F(4)
F(5)=F(4) +F(3)
F(4)=F(3) + F(2)
F(3)=F(2) + F(1)
quindi: F(3)=2, F(4)=2+1=3, F(5)=3+2=5, F(6)=5+3=8
I primi termini della successione di Fibonacci sono: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ...
Articoli precedenti:
CANTOR parte Terza, gli insiemi numerabili
CANTOR parte Seconda: Corrispondenze e funzioni
CANTOR parte prima, gli insiemi
Cantor parte Quarta ; L'albergo di Cantor
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2 commenti
Dimostriamo che
(1) (per ogni n)
P(1) è vera. Infatti:
e
Assumiamo che sia vera P(n). Verifichiamo che è vera anche P(n+1):
Allora, per il principio di induzione, la (1) è vera per ogni n .
Perfetto! grazie Arturo