Per una trattazione completa dell’argomento affrontato in questo articolo, si consiglia di leggere il relativo approfondimento

Possiamo continuare nel nostro esercizio riferendo tutto a un piano dato che abbiamo dimostrato che il moto avviene su un piano passante per il Sole. Consideriamo, perciò, la Fig. 1, dove nell’origine vi è il baricentro del Sole S e P rappresenta il baricentro del pianeta che descrive una certa traiettoria da determinare. Siano x e y le coordinate cartesiane di questo punto P.

Possiamo immediatamente utilizzare le coordinate polari, dove SP = r:

r cos(ϑ) = x

r sin(ϑ) = y

E, una volta tracciata AH perpendicolare a SP,  dai triangoli rettangoli simili SHA e PHA (secondo teorema di Euclide) si ha che l'angolo HAP è uguale a ϑ, da cui:

r = SH + HP = x cos(ϑ) + y sin(ϑ)     …. (18)

Le equazioni del moto sono esattamente quelle definite nell’articolo precedente e date dalle (10), in cui consideriamo solo i due assi x e y.

d²x/dt² + μx/r³ = 0

d²y/dt² + μy/r³ = 0                …. (19)

Chiamiamo α e β le accelerazioni di P lungo la congiungente SP e lungo la sua perpendicolare.

α  è composto dalla somma di due termini che sono le due componenti dell’accelerazione d²x/dt²  e d²y/dt² lungo la congiungente SP. Deve, allora, essere:

α = d²x/dt² cos(ϑ) + d²y/dt² sin(ϑ)       …. (20)

Ripetiamo, per non confonderci, non abbiamo fatto altro che calcolare le componenti delle accelerazioni secondo x e y  lungo la congiungente SP.

Ricordando le (19) e sostituendo i valori di  d²x/dt²  e d²y/dt², abbiamo anche:

α = d²x/dt²  cos(ϑ) + d²y/dt² sin(ϑ) = - μx cos(ϑ)/r³ - μy sin(ϑ)/r³ = - μ/r³(x cos(ϑ) + y sin(ϑ))

la parentesi, però, non è altro che la (18) e, quindi:

α = - μr/r³ = - μ/r²

Possiamo scrivere:

α  = d²x/dt²  cos(ϑ) + d²y/dt² sin(ϑ) = - μ/r²           …. (21)

Calcoliamo, adesso β, somma delle componenti delle due derivate secondo la normale a SP.

Se l’angolo tra x e SP è uguale a ϑ, l’angolo tra x e la normale a SP deve essere (90 + ϑ) e quindi le componenti dell’accelerazione secondo la normale saranno date da (vedi QUI):

d²x/dt² cos(90 + ϑ) = - d²x/dt² sin(ϑ)

d²y/dt² sin(90 + ϑ) = d²y/dt² cos(ϑ)

Per cui β vale:

β = - d²x/dt² sin(ϑ) + d²y/dt² cos(ϑ) = μx/r³ sin(ϑ) - μy/r³ cos(ϑ) = (μ/r³)(x sin(ϑ) – y cos(ϑ))

Tuttavia, guardando la Fig. 1 si ha subito che

x sin (ϑ) = AH =  y cos(ϑ))

Ossia:

x sin(ϑ) – y cos(ϑ) = 0

E, di conseguenza:

β = - d²x/dt² sin(ϑ) + d²y/dt² cos(ϑ) = 0           …. (22)

Non dobbiamo certo stupirci di questo risultato, dato che l’accelerazione è solo radiale…

Non ci resta, adesso, che calcolare i valori di α e β, in coordinate polari, partendo dai valori di x e y. Finora abbiamo preso “per buone” le derivate seconde rispetto al tempo e abbiamo solo visto quanto valgono le componenti lungo SP e lungo la normale a SP.

Partiamo, direttamente, dalle:

x = r cos(ϑ)

y = r sin(ϑ)                …. (23)

Dobbiamo stare molto attenti a derivare, dato che sia r che θ sono funzioni del tempo.

Cominciamo con la prima delle (23), derivandola due volte rispetto al tempo:

dx/dt = cos(ϑ) dr/dt - r sin(ϑ) dϑ/dt

d²x/dt² = - sinϑ (dϑ/dt) (dr/dt) + cosϑ d²r/dt² - (dr/dt) sinϑ dϑ/dt - r cosϑ(dϑ/dt)²  - r sinϑ dϑ²/dt²

d²x/dt² = (d²r/dt²) cosϑ - 2 (dr/dt)(dϑ/dt) sinϑ– r (dϑ/dt)² cosϑ - r (d²ϑ/dt²) sin ϑ    …. (24)

Continuiamo con la seconda delle (23):

dy/dt = sinϑ dr/dt + r cosϑdϑ/dt

d²y/dt² = cosϑ (dϑ/dt) (dr/dt) + sinϑ d²r/dt² + (dr/dt) cosϑ dθ/dt – r sinϑ (dϑ/dt)²  + r cosϑ dϑ²/dt²

d²y/dt² = (d²r/dt²) sinϑ+ 2 (dr/dt)(dϑ/dt) cosϑ – r (dϑ/dt)² sinϑ+ r (dϑ²/dt²) cos ϑ    …. (25)

Dopo questa piccola fatica, andiamo a riprendere la (21):

α  = d²x/dt²  cos(ϑ) + d²y/dt² sin(ϑ) = - μ/r²

e inseriamo la (24) e (25)

α  = (d²r/dt²) cos²ϑ - 2 (dr/dt)(dϑ/dt) sinϑ cosϑ- r (dϑ/dt)² cos²ϑ  - r (dϑ ²/dt²) sinϑ  cos(ϑ) + (d²r/dt²) sin²ϑ + 2 (dr/dt)(dϑ/dt) sinϑ cosϑ - r (dϑ/dt)² sin²ϑ + r (dθ²/dt²) sinϑ cosϑ

Semplificando:

α  = (d²r/dt²) cos²ϑ- r (dθ/dt)² cos²ϑ + (d²r/dt²) sin²ϑ - r (dϑ/dt)² sin²ϑ

Raccogliendo:

α  = (d²r/dt²)(cos²ϑ + sin²ϑ ) - r (dθ/dt)² (cos²ϑ + sin²ϑ)

Ricordando che:

(cos²ϑ + sin²ϑ) = 1

Abbiamo, infine:

α  = (d²r/dt²) - r (dϑ/dt)² = - μ/r²          …. (26)

Analogamente, possiamo prendere la (22) e inserire al suo interno le (24) e (25)

β = - d²x/dt² sin(ϑ) + d²y/dt² cos(ϑ) = 0

β = - (d²r/dt²) sinϑ cosϑ + 2 (dr/dt)(dϑ/dt)sin²ϑ  + r (dϑ/dt)² sinϑ cosϑ+ r (dϑ²/dt²)sin²ϑ

+ (d²r/dt²)sinϑ cosϑ + 2 (dr/dt)(dϑ/dt) cos²ϑ – r (dϑ/dt)² sinϑ cosϑ  + r (dϑ²/dt²) cos²ϑ

E, infine:

β = + 2(dr/dt)(dϑ/dt) + r (dϑ²/dt²) = 0      …. (27)

Moltiplichiamo e dividiamo quest’ultima equazione per r:

(1/r) (2r(dr/dt)(dϑ/dt) + r²(dϑ²/dt²)) = 0     …. (28)

Ciò che moltiplica 1/r non è altro che la derivata rispetto al tempo di r²(dϑ/dt). Proviamolo…

d(r²(dϑ/dt))/dt = 2r (dr/dt) (dϑ/dt) + r²(dϑ²/dt²)

Ma, allora, la (28) può essere scritta:

(1/r) d(r²(dϑ/dt))/dt = 0

Per r diverso da infinito (altrimenti l’equazione darebbe zero qualsiasi sia il valore della derivata), si ha:

r²(dϑ/dt) = costante  = h            …. (29)

Provate ad analizzarla da soli e  a vedere cosa significa sia analiticamente che fisicamente…