Per una trattazione completa dell’argomento affrontato in questo articolo, si consiglia di leggere il relativo approfondimento

Ripartiamo dalla (29) del terzo articolo (QUI)…

r²(dϑ/dt) = costante  = h            …. (29)

Affrontiamo il problema di determinare la traiettoria del corpo P attorno al fuoco S. In poche parole, cerchiamo di scrivere la legge oraria in coordinate polari. Per far ciò dobbiamo cercare di eliminare il tempo dalla nostra relazione e far comparire solo il raggio vettore e la sua variazione con l’angolo ϑ.

Cominciamo col porre, solo per convenienza nella futura integrazione:

u = 1/r

La (29) diventa:

(dϑ/dt) = hu²         …. (30)

L’equazione fondamentale è la (26) dove compaiono le derivate di  r e di ϑ rispetto al tempo.

α  = (d²r/dt²) - r (dθ/dt)² = - μ/r²

Dobbiamo trasformarla in un’equazione differenziale in cui le derivate del raggio siano solo funzione dell’angolo. Il succo di tutto è trasformare la (26) in un’equazione in cui compaiano solo le derivate di r (o di u) rispetto a ϑ. Per far questo dobbiamo mischiare un po’ le carte, ma in modo estremamente semplice.

Partendo dalla definizione di u = 1/r, ossia r = 1/u, deriviamo la r rispetto al tempo e vediamo se si riesce a far intervenire al suo posto la variabile ϑ.

Ricordiamo quanto vale la derivata di un quoziente e in particolare di 1/y (dy/dx = - (1/y2)dy/dt)

dr/dt = d(1/u)/dt = - (1/u²)du/dt

Ma:

du/dt = (du/dϑ)(dϑ/dt)

e, quindi:

dr/dt = - (1/u²) (du/dϑ)(dϑ/dt)

La (30), però, ci dice quanto vale dϑ/dt, ossia hu². Sostituendo nella relazione precedente, otteniamo:

dr/dt = - (1/u²) (du/dϑ) hu² = - h du/dϑ      …. (31)

Eseguendo una specie di semplice gioco di prestigio siamo riusciti a esprimere la derivata prima del raggio rispetto al tempo come una derivata del raggio (u non è altro che il suo inverso) rispetto all’angolo.

Eseguiamo adesso la derivata seconda di r rispetto al tempo, partendo dalla (31):

d²r/dt² = d(dr/dt)/dt = (d(dr/dt)/dϑ)(dϑ/dt)

il solito trucchetto di moltiplicare sopra e sotto per dϑ

Ma la (31) ci permette di inserire il valore ottenuto per dr/dt e si ottiene:

d²r/dt² = (d/(dr/dt)/dϑ)(dϑ/dt) = (d(- h du/dϑ)/dϑ)(dϑ/dt) = - h (d²u/dϑ²)(dϑ/dt)

Abbiamo ancora un dϑ/dt che ci dà fastidio… Nessuna paura, basta ricordare la (30):

d²r/dt² = - h (d²u/dϑ²)(dϑ/dt) = - h (d²u/dϑ²)(hu²) = - h²u²(d²u/dϑ²)      …. (32)

Riscriviamo per metterle bene in evidenza le (31) e (32) che esprimono le derivate di r rispetto al tempo come derivate di u rispetto all’angolo ϑ.

dr/dt = - h du/dϑ

d²r/dt² = - h²u²(d²u/dϑ²)

Riscriviamo anche la (26) e vediamo se abbiamo bisogno d’altro…

(d²r/dt²) - r (dϑ/dt)² = - μ/r²             …. (26)

In realtà, ci manca ancora la dϑ/dt. Ma no! Ce lo dice la (30):

(dθ/dt) = hu²

Sostituiamo e abbiamo, infine:

- h²u²(d²u/dϑ²) - (1/u) (hu²)² = - μu²

h²(d²u/dϑ²) + h²u =  μ

d²u/dϑ²  + u = μ/ h²      …. (33)

Qualcuno potrebbe dire: “Tanta fatica per ottenere ancora un’equazione differenziale… chi ce l’ha fatto fare?”

In realtà la (33) è una “classica” equazione del secondo ordine di cui è possibile trovare una soluzione (attraverso gli integrali). Non è cosa tanto semplice, ma la soluzione analitica c’è, mentre non ci sarebbe stata se avessimo aggiunto un terzo corpo (non per niente il problema dei tre corpi non ha una soluzione analitica).

Anche se sembra impossibile, l’integrazione della (33) fa comparire un coseno dell’angolo ϑ più qualche costante d’integrazione che possiamo ricavare a posteriori…

La soluzione generale della (33) è:

u = μ/h² (1 + (A h²/μ) cos(ϑ - ϑ₀))        …. (34)

Dove A e ϑ₀ sono le due costanti di integrazione (abbiamo una derivata seconda e quindi si deve integrare due volte…).

N.B.: chi si vuole togliere il gusto di vedere come si risolve un’equazione differenziale di questo tipo può andare QUI , al Cap.7, sapendo, però, che incontrerà i numeri immaginari…

Per tutti gli altri, elaboriamo leggermente la formula precedente, ricordando che r = 1/u. Otteniamo:

r = (h²/μ)/((1 + A h²/μ) cos(ϑ - ϑ₀))       …. (35)

Questa è esattamente la (3) del primo articolo (QUI):

r = a(1 - e²)/(1 + e cos(ϑ))   

Dove:

h²/μ = a(1- e²)

A h²/μ = e

ϑ₀ = 0     (solitamente esso rappresenta il perielio)

Insomma, accettando per buona la soluzione dell’equazione differenziale, abbiamo dimostrato la prima legge di Keplero.

In particolare, se e = 0, abbiamo:

r = a      (cinconferenza)

Se e < 1     si ottiene un’ellisse

Se e = 1     si ottiene una parabola (non spaventatevi se vi sembra che il numeratore vada a zero. In realtà e = 1, ma a tende a ∞ e quindi il numeratore è una forma indeterminata).

Se e > 1    si ottiene un’iperbole.

Non è immediato vedere la differenza tra queste curve, ma, magari, in seguito…

Non ci resta adesso che ricavare la terza legge di Keplero nel caso generale.