Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

Definiti i lati di un triangolo sferico, non ci resta che definire quali siano i suoi angoli. Nel fare questo, risolviamo il vecchio quiz e stabiliamo anche un’altra proprietà molto interessante dei triangoli sferici. Concludiamo con due nuovi quiz, che saranno risolti la volta successiva.

Per un abitante della superficie sferica, il problema di definire un angolo sulla sua superficie non è certo irrisolvibile. Lui può girare su stesso fino a ritrovarsi nella stessa direzione di partenza. Questa azione gli dice di avere descritto un angolo di 360°. Può, perciò, valutare a quale rotazione corrisponde un grado. Tracciando due rette intrinseche è allora facile per lui calcolare quanti gradi sono contenuti in uno dei quattro angoli che le due rette definiscono, come rappresentato in Fig. 9, a sinistra.

A destra della stessa figura, vediamo come questa descrizione intrinseca venga vista dal “di fuori” (visione estrinseca). Notiamo, ovviamente, che le rette non sono altro che cerchi massimi.

Per noi abitanti delle tre dimensioni, però, questo sistema per misurare gli angoli sulla superficie sferica diventa un po’ troppo macchinosa e, approfittando della nostra capacità di osservare dall’alto e di potere usare enti geometrici che gli abitanti di sferilandia non possono nemmeno intuire, possiamo definire gli angoli sferici in modo molto più immediato e utile per i futuri calcoli, così come abbiamo fatto per gli archi di cerchio massimo (ossia i lati intrinsechi).

Sappiamo perfettamente che un angolo sferico deve essere compreso tra due cerchi massimi, che si ottengono tagliando la sfera con due piani. Basta allora definire come angolo sferico l’angolo formato dalle tangenti ai due cerchi massimi nel vertice considerato. Sostituiamo, all’angolo misurato sulla superficie, un angolo compreso tra dure rette vere e proprie dello spazio tridimensionale. Vediamo la semplice costruzione nella Fig. 10.

Utilizziamo anche un’altra definizione. Anche se non abbiamo ancora trattato la geometria tridimensionale e i suoi abitanti, come piani, sfere, rette, ecc. (lo sta facendo Arturo, QUI), possiamo facilmente definire un angolo tra due piani, chiamato angolo diedro. Esso esiste sempre quando i piani non sono paralleli e, quindi si incontrano lungo una retta. Bene, l’angolo diedro è quello formato da due rette perpendicolari alla retta comune e appartenenti ai due piani, come mostra la Fig. 11.

O, se preferite, possiamo considerare un terzo piano perpendicolare alla retta comune e definire come angolo diedro l’angolo formato dalle due rette intersezione di questo piano con quelli originali. L’angolo sferico è proprio l’angolo diedro tra i due piani contenenti i due cerchi massimi. Se ci riflettiamo un attimo ci accorgiamo di aver detto la stessa cosa con parole diverse.

Scegliendo la definizione che preferiamo (io penso sia meglio parlare di tangenti ai cerchi massimi, che, come tali devono appartenere ai piani dei cerchi massimi), si è facilmente risolta anche la questione degli angoli. Siamo ora in grado di lavorare con i triangoli sferici, conoscendo perfettamente i parametri che li caratterizzano. Parametri che, in qualche modo, si rifanno sempre al centro della sfera. In altre parole, dopo aver conosciuto e compreso la visione intrinseca, lavoriamo, d’ora in poi, solo con la visione estrinseca, decisamente più facile.

Ah… come sarebbe bello fare lo stesso con uno spazio a tre dimensioni o con uno spaziotempo a quattro dimensioni!

Accontentiamoci e prepariamoci psicologicamente a divertirci con le funzioni trigonometriche.

Qualcuno potrebbe dire: “Accidenti, andava tanto bene così… senza formule…”. Purtroppo, per introdurre le coordinate sferiche e i passaggi da un sistema all’altro abbiamo bisogno di legare tra loro i vari parametri e questo si può fare solo con le funzioni trigonometriche. Forza e coraggio… non ce ne pentiremo!

Prima di andare avanti, però, è giusto dare la risposta al quiz (QUI) che aspetta una risposta da tanto tempo. E’ ormai chiaro che per potere tornare al punto di partenza, con due sole deviazioni di 90°, non possiamo che essere su una superficie sferica. Tuttavia, abbiamo anche capito che dobbiamo muoverci lungo i lati di un triangolo sferico, trascurando qualsiasi curva intrinseca che sembrerebbe utilizzabile. Se è curva intrinseca non avremmo più un percorso lungo segmenti rettilinei!

Disegniamo la Fig. 12, che spiega tutto e che ci fa conoscere un’altra caratteristica fondamentale dei triangoli sferici.

Consideriamo un piano qualsiasi passante per il centro O della sfera e il cerchio massimo da lui determinato. Questo cerchio massimo lo mettiamo “in orizzontale” (chiamiamolo, per adesso, proprio piano orizzontale) ed è individuato dai punti MABN. Tracciamo dal centro O la retta perpendicolare al piano: questa interseca la superficie sferica in punto P, che possiamo chiamare polo (dall’altra parte della sfera determina un punto diametralmente opposto Q, detto antipodale). Consideriamo due piani qualsiasi che passino per il centro e che siano perpendicolari al piano, ossia che passino per l’asse QOP. La loro intersezione con la superficie sferica dà luogo ad altri due cerchi massimi, PCAQ e PDBQ (abbiamo tracciato solo la parte che sta “davanti” per evitare troppe linee, ossia abbiamo tracciato solo dei semicerchi massimi).

Tanto per gradire, possiamo anche dire che la parte di superficie sferica (azzurra) compresa tra questi due semicerchi massimi prende il nome di fuso sferico, ma a noi interessa relativamente…

Consideriamo, invece, solo la figura sferica PAB. Che cos’è? Beh… dovremmo ormai saperlo molto bene. Essa è composta da tre segmenti di cerchio massimo e quindi è un triangolo sferico a tutti gli effetti. Possiamo subito chiamare a, b, c i suoi lati, sapendo esattamente che coincidono, misurati in radianti, con gli angoli corrispondenti al centro della sfera.

Facendo questo gioco, scopriamo subito che il lato rettilineo (intrinseco) PA non è altro che:

PA = b = π/2

Così come

PB = c = π/2

La stessa cosa varrebbe per qualsiasi cerchio massimo passante per P (e Q). Ad esempio:

PM = PN = π/2

Infine si ha che:

AB = a

Non è difficile immaginare che a varia al variare dei due piani verticali e che quindi potrebbe benissimo essere uguale a π/2. In poche parole, il triangolo sferico PAB potrebbe tranquillamente avere i sui tre lati uguali a π/2.

Ancora più interessante è il calcolo degli angoli α, β e γ. Ormai sappiamo che si determinano guardando l’angolo tra le tangenti ai cerchi massimi nel punto di vertice. Ne segue che β e γ risultano essere proprio uguali a 90° (le tangenti sono perpendicolari per costruzione), mentre α dipende dall’angolo diedro formato dai due piani perpendicolari al piano orizzontale o, se preferite, dalle due tangenti rosse in P.

Prima di proseguire con il quiz, deduciamo subito una caratteristica veramente peculiare della geometria sferica (ma che già avevamo intuito). Le rette parallele si incontrano tutte in un punto.

Tutti i cerchi massimi perpendicolari al cerchio orizzontale sono paralleli tra loro (ognuno forma un angolo di 90° con lui). Sappiamo, però, che i cerchi massimi sono le rette intrinseche, così come lo è il cerchio orizzontale, per cui abbiamo un fascio di rette che formano lo stesso angolo con un’altra retta. Nella geometria euclidea ciò vuol dire che sono rette parallele. Tuttavia, nel caso sferico, tutte queste rette intrinseche parallele devono  passare per il polo P, ma anche dal punto antipodale Q. Possiamo quindi dire che per due punti qualsiasi di una sfera passa un solo cerchio massimo, ma se i punti sono antipodali  passano infinite rette parallele tra loro. Il che vuole anche dire che due rette qualsiasi (cerchi massimi) devono sempre avere due punti in comune (polo e punto antipodale).

Fatemi fare anche una riflessione, che sarà molto utile se un giorno decideremo di rappresentare i buchi neri nel diagramma di Penrose: “I poli di un cerchio massimo possono rappresentare i punti all’infinito di un fascio di rette parallele”.

Torniamo a noi e alla soluzione del quiz, che ormai dovreste intuire perfettamente. Partiamo da P e andiamo in linea retta verso A. Attenzione! Guai a cercare di abbreviare il percorso e piegare di 90° nel punto C. Ci troveremmo su un cerchio intrinseco (arco verde) che non è rettilineo e quindi non corrisponde ai requisiti del quiz. Dobbiamo proseguire fino ad A dove incontriamo il cerchio massimo “rettilineo” AB che si segue proprio dopo aver piegato di 90° (angolo γ). Continuiamo ad andare dritti fino al punto B e poi giriamo di 90° (angolo β) prendendo il cerchio massimo BP che ci riporta fino al punto di partenza.

Notiamo che possiamo scendere e risalire secondo qualsiasi cerchio massimo il cui piano sia perpendicolare a quello orizzontale. In altra parole, l’angolo α può essere qualsiasi. Magari proprio uguale a 90°. In questo caso otteniamo un triangolo sferico i cui tre lati sono uguali tra loro e a π/2 (ossia 90° espressi in radianti) e i cui tre angoli sono anch’essi uguali tra loro e a 90°. Mamma mia… che strano mondo sferilandia! Ci sarebbero da osservare molte cose, ma almeno una deve essere detta subito, attraverso una semplice somma:

α + β + γ = 90° + 90° + 90° = 270°

Accidenti… questa è proprio una scoperta eccezionale: la somma degli angoli di un triangolo sferico può superare abbondantemente i 180°. Non solo, però: la somma varia al variare del triangolo. Si dimostra subito, facendo variare l’angolo α: il triangolo sferico ABP mantiene due angoli uguali a 90°, mentre il terzo può cambiare sia in più che in meno…

Bene, prima di passare a operazioni più pratiche, una facile domanda: Fino a quale valore può arrivare la somma degli angoli di un triangolo sferico. Teniamo presente che se un angolo raggiunge 180° il vertice sparisce e cadremmo in un caso degenere (tre vertici su uno stesso cerchio massimo non possono esistere)

Tanto che ci siamo, eccovi anche un problemino un po’ più complicato…

QUIZ sui cerchi minori

Consideriamo la Fig. 13, dove abbiamo un cerchio massimo orizzontale su cui è evidenziato un arco AB.

Tagliamo la sfera con un piano non passante per il centro ma parallelo a quello orizzontale. Otteniamo un cerchio minore di centro R e raggio r. Immaginiamo di conoscere l’arco di cerchio massimo AC = d, ossia l’angolo al centro COA= δ (sono la stessa cosa, a parte che l’arco si esprime in radianti). Conoscendo la misura di AC, quanto vale l’arco di cerchio minimo CD, in funzione di AB?

Nella prossima puntata cominceremo con la soluzione dei due quesiti e poi torneremo alla trigonometria piana per conoscerla un po’ meglio…