Categorie: Relatività
Tags: dinamica relativistica massa relativistica quantità di moto relativistica tempo proprio
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:11
Dinamica relativistica plus: Una polemica inutile sulla massa. ****
Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento
Pensare a una massa che cresce con la velocità dà luogo a visioni che possono portare a fraintendimenti. Molti si rifiutano di usarla, mentre altri l’accettano senza porsi grossi problemi . Tutto sta nel comprendere bene il significato che comporta la sua introduzione. Il succo di tutto è riuscire a conservare la quantità di moto, punto cardine di tutta la dinamica relativistica. Per far ciò è risultato più che conveniente introdurre la massa relativistica, ma vediamo un po’ meglio come la faccenda possa esser vista anche in modo diverso, ma del tutto equivalente.
Riprendiamo in mano la formula appena trovata (non scriviamo più l’apice R, dato che d’ora in poi questa è la quantità di moto che useremo):
q = mv = (m0γ) v
Essa dice che m = m0γ
Ci permettiamo di usare finalmente il fattore γ, dato che sappiamo benissimo cosa significhi (una quantità che ci ha “perseguitato” per tutta la RR). Lo abbiamo ultimamente esplicitato, solo per mostrare costantemente la sua capacità di espandere ciò per cui si moltiplica. Se m0 è la massa a riposo, la moltiplicazione per γ la fa ingrandire a piacimento fino a renderla (teoricamente) infinita. Tuttavia, adesso, separiamolo dalla massa e vediamo di collegarlo alla velocità che compare nella quantità di moto relativistica.
Scriviamo la relazione precedente in altro modo:
q = m0 (γds/dt)
Cosa significa esattamente v = ds/dt? E’ la misura di un certo spostamento di un corpo osservato in un sistema di riferimento attraverso l’utilizzo di due orologi, uno posto all’inizio del percorso e uno alla fine del percorso. Essi misurano l’intervallo dt. Due orologi comportano, ovviamente, i problemi di simultaneità che conosciamo molto bene. Immaginiamo, allora, di spostarci sul corpo in movimento è misurare il tempo con un solo orologio, quello solidale con il corpo. Esso, come ben sappiamo, misura il tempo proprio dtP e sappiamo altrettanto bene come il tempo dt sia legato a quello dtP:
dt = γdtP
E’ proprio la relazione che ci dimostrava come il tempo si dilatasse se visto da un sistema esterno a quello del corpo in moto. La quantità di moto precedente diventa allora:
q = m0 (γds/dt) = m0 (γds/γdtP) = m0 (ds/dtP)
Cosa è successo? La massa è rimasta quella a riposo, ma ciò che è cambiata è la velocità che è riferita al tempo proprio del corpo in movimento. Sotto questo aspetto, la massa non viene influenzata dalla velocità, ma è la stessa velocità che viene definita sulla base del tempo proprio del corpo in movimento. Stiamo utilizzando una velocità molto particolare in cui lo spostamento viene diviso per il tempo proprio dell'oggetto che si muove.
Da un punto di vista formale, questa descrizione è sicuramente più corretta, ma comporta grossi sforzi interpretativi. D’altra parte utilizzare la massa relativistica al posto della massa a riposo ci permette di mantenere sempre la stessa scrittura per la quantità di moto, ossia q = mv. Un vantaggio non trascurabile nel prosieguo della dinamica relativistica.
E così faremo, avendo però compreso come una stessa conclusione possa essere descritta in modo concettualmente diverso. Invito tutti, perciò, a non dare troppo peso a questo articolo, che reputavo, comunque, doveroso inserire, ma che ben poco influenzerà il prosieguo della dinamica relativistica.
11 commenti
Caro Vincenzo,
perche parli di “inutile polemica “ sulla massa ? Hai scritto questo post forse spinto da quello che avevo scritto io sulla “massa invariante” , in luogo della “massa relativistica” ?
Ma ogni discussione deve essere costruttiva, e la questione della “massa invariante” non e' assolutamente una semplice polemica . La maggioranza dei fisici oggi e' orientata a ritenere la massa un invariante, che piaccia o no.
La RR e' sostanzialmente una teoria degli invarianti, che non cambiano al cambiare del sistema di riferimento (inerziale) .
Come ben sai, e forse ne hai gia' parlato nel blog ( non ho letto tutti i tuoi post), Minkowski ha introdotto nella relativita' i 4-vettori , che hanno una componente temporale e tre componenti spaziali, e tutti i 4-vettori hanno la proprieta' che la loro norma, calcolata secondo le regole della geometria pseudoclidea, che non rispetta il teorema di Pitagora, e' invariante.
Il primo invariante che si incontra e' il 4-intervallo spazio-temporale tra eventi : supponendo per semplicita' che il moto avvenga nella sola direzione x ( boost di Lorentz, riferimenti S di quiete e S' in moto in configurazione standard) si puo considerare la sola coordinata spaziale x , e la coordinata temporale t , che diventa omogenea a una lunghezza quando moltiplicata per c . Pertanto si ha :
c^2(dt’)^2 = c^2(dt)^2-(dx)^2
come hai scritto tu stesso in un lungo post . Quello al primo membro e' il 4-intervallo, calcolato in un riferimento particolare , il riferimento proprio , nel qual cioe' l'orologio che segna il tempo t' e' in quiete.
E questa quantita' non e' altro che il ds^2 = (cdt')^2
Poi si introduce la 4-velocita' .
Ecco la prima bella idea di Minkowski : se divido la coordinata temporale cdt (resa omogenea a una lunghezza) per il tempo proprio dt’ , e lo stesso faccio per la coordinata spaziale dx , ottengo rispettivamente :
poi li combino insieme , in un vettore a 4 componenti ( in realta' ora sembra che le componenti siano due soltanto, ma possiamo tranquillamente ignorare y e z , se il moto avviene nella sola direzione x ) , chiamo 4-velocita' questo 4-vettore :
U = (γc, γv)
e ne calcolo la norma con la regola che vige nel mio piano , dove la geometria non e' euclidea ma iperbolica (*) ottengo :
U^2 = U*U = (γc)^2 - (γv)^2 =......= c^2
cioe ottengo : |U| = c .
La norma della 4-velocita' e' quindi uguale alla velocita' della luce . Tutti gli oggetti del mondo hanno (in RR) una 4-velocita' la cui norma e' la velocita della luce ( che si puo' anche porre uguale a 1 ) . E' ovvio che , nel riferimento proprio di quiete, la 4-velocita' vale :
= (c, 0) .
Ecco, questo è il concetto di 4-velocità che, come hai detto, è di difficile interpretazione. MA una volta capito, se ben usato porta vantaggi.
Il passo successivo e' la definizione del 4-vettore momento-energia . Basta moltiplicare la 4-velocita' per la massa del corpo in moto , e si ottiene :
Q = (γmc, γmv) = (E/c , q )
anche in questo caso la norma e' invariante :
Q^2 = Q*Q = (γmc)^2 – (γmv)^2 =......= mc
quindi questa norma conserva lo stesso valore passando da un riferimento a un altro, pur potendo cambiare le due componenti. Nel riferimento proprio di quiete, si ha Q_0 = (mc,0) .
Percio' , si puo' dire che la massa m di un corpo , a meno del fattore c , non e' altro che la componente temporale del 4-impulso nel riferimento proprio, ovvero la norma del 4-impulso calcolata in qualsiasi riferimento. E dunque, e' invariante .
Inoltre si vede che :
(E/c)^2 – q^2 = (mc) ^2
da cui si ricava la vera definizione dell'energia relativistica :
E^2 = (qc)^2 + (mc^2)^2
che e' valida per tutte le particelle, anche quelle senza massa , come i fotoni. Per essi m=0 , e dunque :
E = qc , da cui : q = E/c
Percio', il 4-impulso per il fotone e' dato da : Q = (E/c, E/c ) ( le componenti lungo y e z sono zero ) . L'invariante del 4-impulso e' dato da :
(E/c) ^2 - (E/c) ^2 = 0
Dunque per il fotone il 4-impulso e' un vettore nullo . Questo non deve meravigliare : per la geodetica di tipo luce (cioe la bisettrice dei quadranti del diagramma di Minkowski ) ogni vettore giacente su tale geodetica e' nullo, nel senso che la sua norma vale zero, a partire dalll'intervallo spaziotemporale :
ds^2 = 0 per la luce .
Questo fatto e' molto utile specie in relativita' generale, quando per esempio si vogliono determinare le traiettorie dei raggi luminosi in uno spaziotempo fortemente curvato attorno a un buco nero o una stella di neutroni.
Qual e' l'utilita dei 4-vettori ? Il fatto che passando da un riferimento a un altro , dove varia la velocita' tridimensionale, la norma del 4-vettore resti invariante . Questo trova applicazione, per esempio, nello studio di particelle elementari accelerate nei laboratori di prova , che si urtano in maniera elastica o anelastica, o decadono in altre particelle .
Questo e' il mio punto di vista , il quale non coincide col tuo circa il fatto che io trovo piu' logico considerare invariante la massa (in quanto espressione della norma del 4-impulso).
Ma io rispetto i punti di vista altrui, anche se non li condivido .
Detto ciò, continua pure la tua esposizione divulgativa della dinamica relativistica nel binario già tracciato, dove consideri la massa relativistica. Hai fatto un ottimo lavoro finora , e chi ti legge non fa fatica a comprendere concetti difficili, per cui anch'io ti esprimo il mio compiacimento.
Cordialmente
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(*) Nota : il motivo per cui il prodotto scalare di due 4-vettori si fa in questo modo dipende dalla particolare metrica dello spazio della RR , che non e' euclideo, per cui non vale il teorema di Pitagora. Ma questi sono concetti alquanto avanzati.
caro Pippo,
tu scrivi: "Hai scritto questo post forse spinto da quello che avevo scritto io sulla “massa invariante” , in luogo della “massa relativistica” ?" No, carissimo, se fosse stato così te l'avrei detto chiaramente e subito...
COME TI AVEVO DETTO, avevo scritto questo post da parecchio tempo e poi avevo deciso di tralasciare per non creare confusione (se dico una cosa è la verità e non cerco mezzucci per nascondere qualcosa...). Prima di andare avanti è bene conoscersi un po' meglio... e leggere gli scopi e la presentazione del nostro "circolo".
Averla messa da parte, si riferiva al fatto che c'era materiale sufficiente per far comprendere la dinamica relativistica, con o senza la massa relativistica. In fondo tutto è un gioco di derivate...
Ho notato anche che non hai letto il mio articolo, in quanto gli invarianti sono stati introdotti abbondantemente, così come è stata discussa la differenza tra massa a riposo e massa relat. La prima è proprio l'invariante e l'ho discusso in lungo e in largo.
Probabilmente l'uso di una massa relativ. è un residuo e non è usata da tutti (ma da molto sì). Per me è "polemica" solo perché rende più difficoltosa la spiegazione di certi concetti che sono quelli che più mi interessano. D'altra parte la conclusione fondamentale e l'importanza degli invarianti non è minimamente toccata...
Viva le discussioni, ma prima vorrei che leggessi quello che ho scritto, se no le tue diventano inutili ripetizioni. E, poi, ricorda ancora che in questo sito non teniamo un corso di relatività speciale, ma cerchiamo solo di renderla comprensibile a tutti. Vai a leggertela fin dall'inizio e capirai lo stile usato...
OK
D'accordo, la chiudo qui altrimenti rischio di diventare polemico io, ed è l'ultima cosa che voglio.
Non ho letto tutti i tuoi post, l'ho detto, non avrei tempo. Ma quelli che ho letto sono ad un livello più che universitario, te lo assicuro. Ad esempio la trattazione dell'urto di due particelle non ha nulla da invidiare a quella di R. Feynman, che pure introduceva la "massa relativistica" in tale modo.
Scusami quindi per essere stato un lettore " superficiale" , ok ?
Continua come sai, con scienza, pazienza e dedizione !
senza problemi Pippo... l'importante è capirsi e condividere con sincerità e passione.
E' tanto che non seguo i programmi universitari (probabilmente sono scesi di livello, come tutto...), ma penso di aver cercato di portare concetti apparentemente difficili (come Minkowski) alla portata di tutti coloro che hanno avuto la volontà di provarci (fino all'ultimo ho cercato di evitare derivate e integrali e se le ho usati prima li ho spiegati...). Sono sicuro che la tua partecipazione sarà più che produttiva
Pur non essendo uno specialista concordo con Pippo. La massa è un concetto che svanisce nell'ambito relativistico ed anche quantistico. Secondo me esiste una cosa sola: la quantità di moto che riassume in sé i due concetti e che asprime appieno le caratteristiche di un corpo/particella (se ancora s può parlare di particelle ) . Vale per la luce, per i neutrini ecc. (anche per le stringhe)
caro Leandro,
non metto in dubbio le scelte e sono anch'io dell'idea che tutto il succo stia nella quantità di moto. So benissimo che ragionando in questo modo si è più "corretti", ma sicuramente crea problemi di comprensione maggiori (almeno secondo me). Ho quindi preferito seguire la "vecchia" trattazione (ma non sono il solo...), anche perché il concetto finale non cambia. L'invariante rimane quello che è... Non vorrei cadere in una disputa che per la maggior parte è solo di lana caprina. Tutto qui. La massa è energia e tale rimane...
No, non cadiamo nella disputa, ci mancherebbe, anche se ho qualche perplessità sulla lana caprina !
Ma è giusto dire che quello che conta è l'invariante massa-energia , come i tanti invarianti spaziotemporali , che elevano la RR al di sopra della meccanica classica e del nostro inveterato ed errato senso comune, il quale ci fa ragionare separatamente in termini di spazio e di tempo : è la visione newtoniana questa, che ci accompagna sempre perché non siamo in condizioni di viaggiare, noi umani, a velocità prossime a c
!
Anche quando ci occupiamo di eventi estremi come collisioni di particelle elementari , o decadimenti radioattivi et similia, diciamo che "massa si è trasformata in energia" , o viceversa . Ma se tenessimo veramente presente che massa ed energia sono la stessa cosa , dovremmo dire , molto meglio : energia di un tipo , ad es. energia cinetica di due particelle che collidono anelasticamente fondendosi in una sola particella, si è trasformata in altra energia, quella di quiete della particella finale . E quindi, la "massa" di quiete della particella finale è maggiore della somma delle masse di quiete delle due particelle interagenti, perchè ci dobbiamo sommare le due energie cinetiche ( diviso c^2, ovviamente) .
caro Pippo,
d'accordo con te che a certi livelli anche la lana caprina diventa importante... Ma qui ce lo possiamo permettere, direi. Ciò che ho cercato di imporre come concetto base di tutta la trattazione della RR è proprio la nuova visione del mondo "reale", non per niente ho battuto a lungo sul paradosso dei gemelli, dopo, e sulla simultaneità, prima.
La vera rivoluzione "fisica" è proprio la massa a riposo che si mostra esattamente come un'energia. Tutto il resto è una conseguenza. Reputo anche fondamentale partire con la conservazione della quantità di moto (la mia grandezza preferita
) dato che spesso viene fraintesa e la velocità viene considerata quella di trascinamento (ne ho lette tante sul web a questo riguardo). La sua importanza, a mio parere, non viene assolutamente sminuita dal regalare il gamma alla massa. Sotto certi aspetti la identifica meglio... Niente da fare, comunque la giri, la RR è un capolavoro assoluto, di una semplicità concettuale estrema e dai risvolti quasi infiniti, soprattutto per il microcosmo (Feynman l'aveva perfettamente capito e non solo lui, ovviamente).
Ci divertiremo con la RG... non per niente cerco di curvare il mondo...
Ci divertiremo con la RR... non per niente cerco di curvare il mondo...
Eh, ma se cerchi di curvare il mondo hai bisogno di campi gravitazionali , e la gravità è incompatibile con la relatività ristretta , no ? Il che non significa che in RR non puoi trattare moti accelerati, come molti credono...
Ma con la RR puoi fare proprio il contrario: siccome lo spaziotempo è curvo per la presenza di campi creati da materia ed energia , puoi localmente ( cioè nell'intorno di un punto P ) appiattire questa curvatura, mettendo P in una cabina in caduta libera nel campo gravitazionale locale : dentro la cabina, che in tal modo è diventato un riferimento inerziale locale, valgono le leggi della RR , e lo ST lí dentro è piatto .
Pero non farla troppo grande la cabina, altrimenti nascono effetti del secondo ordine , effetti di marea ….
Ma sto anticipando i tempi.
caro Pippo,
in realtà hai più che ragione... ho scritto RR, ma volevo scrivere RG, ovviamente
. Per il resto non mettiamo le mani troppo avanti... Sul fatto che le accelerazioni sono trattate nella RR non ci piove (se no che senso avrebbe parlare di forze?). Un'altra cosa è, invece, accelerare un sistema rispetto a un altro (vedi paradosso dei gemelli).
Per vedere una cosa bisogna capirla: la poltrona presuppone il corpo umano, le forbici l'atto diel tagliare. Il passeggero non vede lo stesso cordame che vede l'equipaggio.
Se vedessimo realmente l'universo lo capiremmo.Democrito di Abdera si strappò gli occhi per pensare;
In principio fu il verbo,ENERGIA,che tutto permea,muove e forma.Eppure tutto era compreso in una...non posso dirlo,una infinitamente piccola lacuna.In realtà è una immagine sbagliata,fantasia di un pesce che nuota dentro questo mare.No,credo che bisogna partire dal tempo,se esiste qualcosa allora esiste da sempre magari in altra veste(che senso ha dire che qualcosa nasce dal niente?)e se il tempo è indivisibile dallo spazio/ energia,allora l’energia è infinita e multiforme,come lo spazio e le grandezze e chi guarda le grandezze e gli eventi che deformano e dilatano gli spazi senza mai fermarsi perché costruiti da agglomerati di energia,la nostra coscienza registra questo confluire incessante di forme che vengono dall’interno e dall’esterno,ecco che la freccia del tempo si palesa nel nostro sentire,è lo spazio che ribolle avvertito in modo grossolano dal nostro cervello,che è come il senso della vista,vede le forme ma non i singoli fotoni.Buona notte a tutti gente.