Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

La seconda formula fondamentale è sicuramente la più “difficile” da ottenere. Non spaventatevi, però… sono solo passaggi matematici alla portata di tutti. Inoltre, si può notare come piccoli “trucchi” possano rendere la matematica estremamente intrigante e utilissima per mettere alla prova la nostra capacità di seguire ragionamenti logici di importanza ben più generale.

.Questo articolo potrebbe ridursi a una riga o poco più. Lo scopo è quello di enunciare la seconda formula fondamentale della trigonometria sferica, una delle più “semplici”, ma che abbisogna di una dimostrazione oltremodo “noiosa”, almeno per molti. Tuttavia, dato che cerchiamo di non dare mai la “pappa pronta”, vogliamo presentare due vie, esteticamente e concettualmente diverse, che riescano a dimostrarla. Un esercizio di pura matematica, che sicuramente fa piacere a coloro che amano questo linguaggio così rigoroso, ma anche così fantasioso e stimolante.

La formula che vogliamo presentare è del tutto analoga a quella del teorema dei seni della geometria piana. Tuttavia, la dimostrazione è abbastanza ingarbugliata ed è destinata ai “solutori più che abili”. Non perché sia realmente difficile, ma perché necessita di svariati passaggi di trigonometria di base. Vi sono diversi metodi usati per la dimostrazione: ne abbiamo scelto due puramente matematici.

Possiamo dire che questa formula deriva direttamente dalla prima formula fondamentale e si ottiene manovrando abilmente quest’ultima. Per non obbligare tutti a seguire la parte più difficoltosa, scriviamo subito il risultato che può essere più che sufficiente per il suo utilizzo nei problemi legati alle coordinate astronomiche.

Dato un triangolo sferico di lati a, b e c, e di angoli α, β, γ, come riportato in Fig. 19, si può scrivere:

sin (a)/sin (α) = sin (b)/sin (β) = sin (c)/sin (γ)       …. (11)

Una formula che sarà oltremodo utile. Essa permette di calcolare un lato conoscendo l’angolo opposto, un angolo adiacente e un altro lato. Oppure, di calcolare un angolo, conoscendo il lato opposto, un lato adiacente e l’angolo opposto a quest’ultimo.

 

Un metodo puramente matematico

Qui di seguito riportiamo la prima dimostrazione, che si affida a piccoli giochi di prestigio applicati a vari gruppi di funzioni trigonometriche.

Dal capitolo precedente,  recuperiamo le formule (10b) e (10c), ossia:

cos(b) = cos(c) cos(a) + sen(c) sen(a) cos(β)         

cos(c) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b) cos(γ)

Le riscriviamo portando qualcosa da una parte e qualcosa dall’altra del segno di uguale:

sin(c) sin(a) cos(β) = cos(b) - cos(c) cos(a)

sin(a) sin(b) cos(γ) = cos(c) - cos(a) cos(b)

Eleviamo al quadrato entrambi i membri delle due equazioni e sottraiamo membro a membro:

sin²(c) sin²(a) cos²(β) - sin²(a) sin²(b) cos²(γ) = cos²(b) + cos²(c) cos²(a) - 2 cos(b) cos(c) cos(a) -cos²(c) - cos²(a) cos²(b) + 2 cos(c) cos(a) cos(b)

Semplificando e raccogliendo:

sin²(a) (sin²(c) cos²(β) – sin²(b) cos²(γ)) = (cos²(b) – cos²(c)) – cos²(a) (cos²(b) – cos²(c))

sin²(a) (sin²(c) cos²(β) – sin²(b) cos²(γ)) = (1 – cos²(a)) (cos²(b) – cos²(c))     …. (12)

Ricordando che, in generale, per qualsiasi angolo ϑ, vale la fondamentale relazione sin²(ϑ) + cos²(ϑ)  = 1, ossia sin²(ϑ)  = 1 - cos²(ϑ)  e/o cos²(ϑ)  = 1 - sin²(ϑ), si ha:

sin²(a) (sin²(c) cos²(β) - sin²(b) cos²(γ)) =  sen²(a) (cos²(b) - cos²(c))

e dividendo entrambi i membri per sin²(a), si ottiene:

sin²(c) cos²(β) - sin²(b) cos²(γ) =  1 - sen²(b) -1 + sen²(c)

sin²(c) cos²(β) - sin²(b) cos²(γ) =  - sen²(b) + sen²(c)

sen²(b) - sin²(b) cos²(γ) = sen²(c) - sin²(c) cos²(β)

sen²(b) (1 - cos²(γ)) = sen²(c) (1 - cos²(β))

sen²(b) sen²(γ) = sen²(c) sen²(β)

Poiché gli archi e i lati non possono superare π o 180°, i seni non sono mai negativi e possiamo scrivere:

sen(b) sen(γ)= sen(c) sen(β)

E, infine:

sen (b)/sen (β) = sen(c)/sen (γ)

Che è quanto volevasi dimostrare. Ovviamente, prendendo altre due relazioni della (10) (o anche solo ruotando le lettere) si ottiene la formula completa:

sin (a)/sin (α) = sin (b)/sin (β) = sin (c)/sin (γ)

 

Un metodo alternativo

L’appetito vien mangiando e, probabilmente, qualcuno potrebbe essere interessato a una dimostrazione alternativa che, pur facendo uso di sola matematica, usa spunti di logica molto eleganti. Un “racconto” per chi ama divertirsi con il linguaggio della fisica e che ne cerca tutti i risvolti più razionali e raffinati… Come già detto, queste due dimostrazioni, che portano allo stesso risultato, possono essere tranquillamente tralasciate.

L’inizio è simile e utilizza la prima formula fondamentale. Riscriviamo la (10a)

cos (a) = cos (b) cos (c) + sen (b) sen (c) cos (α)    

Riscriviamola come segue:

sen (b) sen (c) cos (α) = cos (a) - cos (b) cos (c)

Eleviamola a quadrato

sen²(b) sen²(c) cos²(α) = cos²(a) + cos²(b) cos²(c) - 2 cos(a) cos(b) cos(c)     …. (13)

Ricordando che:

cos²(α) = 1 - sin²(α)     (e formule analoghe)

il primo membro può essere scritto:

sen²(b) sen²(c) cos²(α) = sen²(b) sen²(c) - sen²(b) sen²(c) sen²(α)

sen²(b) sen²(c) cos²(α) = (1 - cos²(b)) (1 - cos²(c)) - sen²(b) sen²(c) sen²(α)

sen²(b) sen²(c) cos²(α) = 1 - cos²(c) - cos²(b) + cos²(b) cos²(c) - sen²(b) sen²(c) sen²(α)

Andiamo a inserirlo nella (13)

1 - cos²(c) - cos²(b) + cos²(b) cos²(c) - sen²(b) sen²(c) sen²(α) = cos²(a) + cos²(b) cos²(c) - 2 cos(a) cos(b) cos(c)

1 - cos²(c) - cos²(b) - sen²(b) sen²(c) sen²(α) = cos²(a) - 2 cos(a) cos(b) cos(c)

sen²(b) sen²(c) sen²(α) = 1 - cos²(a) - cos²(c) - cos²(b) + 2 cos(a) cos(b) cos(c)

cos²(a) + cos²(c) + cos²(b) - 2 cos(a) cos(b) cos(c) = 1 - sen²(b) sen²(c) sen²(α)

Attenzione, adesso, al ragionamento di pura logica matematica!

Il primo membro contiene la somma dei quadrati dei tre coseni dei lati. Il che vuol dire che ruotando le lettere questa parte non cambia. Ma non cambia nemmeno la seconda parte del primo membro dato che vi è il prodotto dei  dei tre coseni. Ne consegue che il primo membro non cambia facendo girare le lettere: esso è quindi una costante per un certo triangolo sferico.

Se è costante il primo membro deve esserlo anche il secondo (è un’uguaglianza!).

Scriviamo il secondo membro ponendo:

sen²α = K² sen²a

Esso diventa:

1 – K² sen²(b) sen²(c) sen²(a)

Sappiamo che non deve cambiare ruotando le lettere. Tuttavia, il prodotto dei quadrati dei tre seni non può cambiare ruotando le lettere e altrettanto fa il numero 1. Ne segue che ruotando le lettere anche K² non può cambiare.

K² = costante nella rotazione delle lettere.

Ma questo vuol dire che:

sen²(α)/sen²(a) = sen²(β)/sen²(b) = sen²(γ)/sen²(c) = K² = costante

Estraiamo la radice quadrata e prendiamo il segno positivo, dato che i lati e gli angoli sono minori di π e/o 180° e quindi i seni sono sempre positivi.

sen (α)/sen (a) = sen (β)/sen (b) = sen (γ)/sen (c)

Come volevasi dimostrare!