Categorie: Senza categoria
Tags: equidistanza geometria puntine quiz
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:20
QUIZ: sei puntine da disegno **
Starò fuori alcuni giorni, ma non potevo certo farvi "poltrire" senza un piccolo quiz. Piuttosto semplice, ammette sicuramente diverse soluzioni. Io ne ho trovata una, ma mai dire mai...
Avete a disposizione sei puntine da disegno e un bel cartellone dovete le potete inserire. Disegnate una configurazione delle sei puntine tale che ogni puntina abbia la stessa distanza da almeno tre altre puntine.
Buon divertimento...
20 commenti
Una soluzione potrebbe essere un pentagono con le puntine ai vertici e una al centro
RItiro la risposta. La distanza del centro dai vertici non e uguale al lato del pentagono :-)
Un poliedro a cinque facce ,composto dall'unione di cinque triangoli equilateri.(Una puntina nel vertice comune ai triangoli , e cinque puntine ai vertici degli angoli del poliedro)
Errata corrige:Intendevo dire "Poligono", in quanto figura geometrica piana.
caro Franco,
un poliedro a 5 facce o non si chiude o non può essere formato da triangoli equilateri. Lo è un esagono, ma allora ci vogliono 7 puntine...
Torno, forse un po' in ritardo, sul caso "puntine".
Le puntine e le regole specificate sono entrambe indistinguibili , cioè non esiste una puntina privilegiata o una regola privilegiata.
Ciò impone una simmetria spaziale alla disposizione (piana) cercata. Assumeremo quindi che esista almeno una simmetria "assiale" cioè rispetto ad una retta nel piano.
Le puntine si devono quindi disporre simmetricamente rispetto ad una retta s, nel piano, supposta p.e. verticale.
Una puntina non deve sovrapporsi a un'altra puntina ( cioè tutte le distanze devono essere >0).
Chiameremo "amiche" le puntine equidistanti fra loro.
Assunzione : la distanza dell'amicizia sia la stessa per tutte le puntine.
Le considerazioni di simmetria impongono che esista un allineamento di puntine lungo la retta di simmetria s costituita da un numero pari o nullo di puntine:
caso a) sei puntine allineate. Impossibile perché ogni puntina ha al massimo due puntine amiche adiacenti.
caso b) quattro puntine allineate, ordinate P1,p2,P3,P4.
caso b1) consideriamo la P1 amica di P2 , essa deve essere amica di altre 2 puntine (simmetriche) giacenti su un cerchio C1 di raggio d, centrato in P1; ciò è impossibile in quanto P3 e P4 non avranno sufficienti amiche distanti d ;
caso b2) per simmetria lo stesso ragionamento vale per P3 amica di P4;
caso b3) P1 amica di P3. la P2 non può avere per amiche P1, P3 perché troppo vicine ma nemmeno P4 altrimenti coinciderebbe con P3, quindi le rimangono solo P5 e P6 che non sono in numero sufficiente.
caso b4) P1 amica di P4 : né P2 né P3 avrebbero 3 distanze possibili della altre.
caso c) zero puntine allineate ; ciò significa che esisterebbero 2 gruppi simmetrici di puntine situate a sinistra e a destra dell'asse di simmetria.
[caption id="" align="alignnone" width="407"]
fig2[/caption]
Essendo 3 per ogni gruppo, ogni puntina di un gruppo deve avere amicizia con almeno una puntina del gruppo simmetrico. Ma la simmetria impone in questo caso che i gruppi siano formati da puntine allineate parallelamente all'asse di simmetria. Quindi ogni puntina di un gruppo può avere una sola amica nel proprio gruppo. La altre due puntine opposte avrebbero distanze diverse (lati e diagonali di un rettangolo idale simmetrico rispetto alla retta s).
L'unico caso possibile è quindi:
- due puntine allineate giacenti sull'asse s e due gruppi simmetrici fuori asse. Siano P1 e P2 le puntine sull'asse s.
[caption id="" align="alignnone" width="300"]
fig3[/caption]
caso d1) P1 e P2 non sono amiche. Quindi P1 avrà 4 amiche simmetriche giacenti sul cerchio C1 , ma P2 essendo eccentrico rispetto a C1 avrà solo due amiche possibili. Il caso d1 è quindi scartato.
[caption id="" align="alignnone" width="300"]
fig4[/caption]
caso d2) P1 è amica di P2. Sia P1 che P2 avranno amiche una coppia simmetrica giacente sul cerchio C1.
[caption id="" align="alignnone" width="300"]
fig5[/caption]
Siano P2,P3,P4 amiche di P1 e P1,P5,P6 le amiche di P2.
P3 e P4 non possono essere amiche di P2 perché coinciderebbero con P5 o P6.
Quindi le altre due amiche di P3 possono essere scelte solo tra P4,P6 e P5.
La coppia P4 e P6 è incompatibile per amicizia con P3 in quanto distanza uguale ed appartenenza a C1 implica sovrapposizione.
Quindi solo P4 (o P6), P5 , P1 possono essere amiche di P3. Le stesse considerazioni valgono per P5 .
Si genera così la configurazione trovata da Valentina (brava!) che risulta l'unica possibile.
Il caso in cui le distanze possano essere differenziate potrebbe dar luogo ad altre configurazioni?
ottimo Leandro... penso di sì...
Comunque Valentina è stata proprio brava! Un intuito eccezionale... Se non va a Matematica la distruggo!!!!
e sa fare molte altre cose con i numeri
VIVA VALENTINA, la nostra matematica ... circolare
cara Valentina,
ti faccio una proposta ufficiale a nome del Circolo... Quanto ti viene in mente uno dei tuoi giochi matematici... pubblicalo sul sito e vediamo come ce la caviamo NOI... puoi usare il nome di mamma oppure ti faccio aprire un account... Penso che Umberto e Leandro (e non solo) ne saranno entusiasti... Insomma, ti chiedo di entrare ufficialmente nel circolo, sempre che tu voglia... LARGO AI GIOVANI (soprattutto se di questo calibro...)
Ok, ok... grazie per la proposta, dubito di essere all'altezza delle tue aspettative, ma ci proverò!
Dicevo io che la figura pubblicata da Valentina l'avevo già vista , solo capovolta.
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2016/09/10/soluzione-del-quiz-della-casetta-nella-sfera-di-vetro/
Come ho fatto a non pensarci prima ? :-)
Brava Valentina ! Aspetterò anche io con curiosità i giochi matematici che proporrai.
Complimenti a Valentina, sei stata brava e fulminea..
Ci sono stato un po' su anch'io per vedere se c'erano altre soluzioni. Ho provato diverse configurazioni nelle quali le distanze tra le puntine, seppure rispettose dell'eguale distanza con altre tre, non fossero necessariamente uguali, come si chiedeva Leandro. Ma senza risultati.
Le piu' interessanti che ho trovato sono le romboidali seguenti, ma a due puntine manca sempre la terza...
Secondo me non e’ ammessa alcuna soluzione con distanze differenti, perche’ l’unica configurazione possibile ha come base il triangolo equilatero con lato L per le prime tre puntine, dal quale a mio parere deriva che anche la distanza delle altre tre deve essere sempre L. Il ragionamento che ho fatto e’ questo:
Piazzo una puntina e ne metto tre equidistanti da essa, per iniziare a soddisfare la condizione per la prima puntina. Noto che per essere equidistanti dalla prima devono giacere necessariamente su una circonferenza con centro la prima puntina. Per dimostrare che il triangolo equilatero e’ l’unica figura che funziona provo a risolvere il problema evitando tale disposizione, quindi escludo la disposizione a 60 gradi rispetto al centro per ogni coppia.
In tal modo nessuna delle tre puntine puo’ avere come amica quella al centro e contemporaneamente un’altra sulla circonferenza. Quindi siccome le puntine sulla circonferenza sono tre, almeno due hanno necessariamente una sola amica, e devono ricorrere alle due ancora da piazzare.
Quindi traccio una circonferenza con centro ognuna di queste due che passi per l’altra : su questa circonferenza dovranno giacere anche le altre due puntine ancora da piazzare. Ma noto che le intersezioni dei cerchi non consentono di avere dei punti in comune che permettano alle due puntine da piazzare di essere contemporaneamente equidistanti tra loro, equidistanti dalle amiche per cui passa la circonferenza, e costituire la terza amica per quella a cui manca. E questo e’ vero per qualsiasi punto del cerchio iniziale e per qualsiasi distanza tra le puntine. Per cui qualsiasi configurazione non basata sul triangolo equilatero non porta soluzioni possibili. Qui due esempi in viola la circonferenza che non si interseca...
A questo punto direi che il triangolo equilatero e' l'unico che ha chances per funzionare, quindi una volta disegnato ad ogni puntina piazzata manca ancora una compagna che deve necessariamente avere distanza L per soddisfare la condizione. Quindi ritraccio una circonferenza di raggio L con centro ogni puntina.
I punti di intersezione non soddisfano, perche’ forniscono 4 amiche ad ognuna delle puntine inziali, ma non abbastanza a quelle nuove.
Del resto quelle nuove non serve siano sulle intersezioni, alle puntine iniziali manca solo un’amicizia … quindi basta che siano sulla circonferenza. Inoltre ognuna deve avere altre due amiche equidistanti, e quindi ecco ripresentarsi un altro triangolo equilatero, che puo’ avere lato L perche ogni puntina del nuovo triangolo e’ vincolata alla distanza del triangolo iniziale. La figura finale e’ quella di Valentina, e ne esiste una per ogni lato del triangolo. Sotto la stessa figura che mostra un cerchio raggio L per ogni puntina, e una ogni puntina che siede in tre intersezioni.
Caro Enzo ho provato a cercare una soluzione diversa da quella di Valentina (bravissima... complimenti!).
La figura che è ottenuto con le 6 puntine è abbastanza simile, ma non identica.
Per la figura ho disegnato 6 cerchi (di colori diversi) ed il loro centro (A, B, C, D, E , F), che rappresenta la posizione della puntina, così si può essere sicuri che la distanza tra la puntina (centro) e la corrispondente circonferenza colorata è sempre la stessa (raggio).
Per soddisfare la condizione che ogni puntina deve essere equidistante da almeno tre puntine, su ogni circonferenza colorata devono trovarsi almeno tre puntine (centro di altri cerchi colorati).
Ieri sera ci riflettevo ancora e ho scoperto una proprieta' interessante, che rende le soluzioni infinite.
Infatti chi direbbe che la figura qui sotto, apparentemente sbilenca risponde alla domanda del quiz...
In verita' anch'essa risponde alla condizione, perche' mi sono accorto che nella soluzione trovata da Valentina, ogni puntina del triangolo B puo' ruotare intorno alla puntina che la lega al triangolo A (la circonferneza di raggio L)purche anche le altre due puntine facciano lo stesso rispetto alle loro amiche nel triangolo A. Come da figura qui
In praitca il triangolo B puo' compiere un'intera rivoluzione intorno al triangolo A, e purche contemporanemante compia una rotazione in senso inverso, e qualsiasi punto della circonferenza risponde alla condizione del quiz. Un po' come se i due triangoli fossero collegati da un pantografo. La cosa in fondo e' ancora la soluzione di Valentina, ma la allarga a configurazioni che nell'insieme possono avere forme infinite, anche non simmetriche.
Paolo e' arrivato primo a scoprire che la soluzione di Valentina non e' proprio l'unica (complimenti !!).
La sua soluzione in effetti comprende due triangoli equilateri ABC e DEF, che pero' sono parzialmente ruotati secondo la proprieta' che ho cercato di esporre poco sopra...
In effetti, le soluzioni sono infine come infinite sono le posizioni che una delle puntine può occupare sulla circonferenza il cui raggio è la distanza dalle altre tre puntine. Verificato con geogebra.
Faccio muovere la puntina più in basso lungo la circonferenza centrata sulla puntina centrale e ottengo infinite altre configurazioni , tutte perfettamente rispondenti alla condizione data (ciascuna puntina misura una uguale distanza da almeno altre tre puntine):
Configurazione 1 (quella di Valentina)
https://youtu.be/Ybnom6RUFmo
Brava Valentina, bravo Paolo, bravi tutti. E' bello iniziare il fine settimana con un po' di sano allenamento geometrico e logico qui sul Circolo
Bravi, davvero, sono senza parole
Il filmato, poi, è proprio illuminante!
Secondo me il prof. si emozionerà...
Cari ragazzi... che dire... sono stupefatto, felice e commosso. Quando un circolo e un gruppo di persone VERE riesce a divertirsi con la geometria trasformandola in una poesia... cosa si vuole di più?
Direi che Paolo ha dato il colpo risolutivo, ma tutti avete dimostrato grande intelligenza e intuito.
Varrebbe la pena scrivere la soluzione generale come VERA soluzione e arrivare a quella di Valentina (ancora complimenti!) come caso particolare di estrema simmetria. Mi piacerebbe che foste voi a scriverla... Magari Paolo 1 o Arturo (se ne hanno voglia) possono buttare giù la bozza e poi si pubblica citando tutti i nomi di chi è arrivato piano piano alla soluzione "pendolare" fantastica... (Vale, Arturo, Paolo 1, Paolo 2 e Leandro). Io aggiungerei un piccolo cappello per ribadire come basti poco per divertirsi in modo intelligente.
GRAZIE ancora cari amici
Caro Enzo, dal quiz è nato un bel gioco di squadra!
Io una prima bozza ho provato a realizzarla, prova a dargli un occhiata.... se poi Arturo vuole aggiungere qualcosa, cambiarla, stravolgerla o modificarla, meglio ancora...
Paolo
Scusa il ritardo,ma io ero presente quando con estremo intuito hai dato la risposta, lasciando a bocca aperta anche la mamma.
Brava Vale, non mollare, coltiva la tua passione!!!!