QUIZ: eleviamoci a noi stessi… ****
Questo esercizio è di pura matematica e necessita di una certa esperienza e intuizione. Insomma, è un po’ cattivello… ma sono convinto che qualcuno mi stupirà…
Quali sono le soluzioni della seguente equazione:
xx = 1/√2
Mi accontento di due soluzioni, molto evidenti (ma non andate per tentativi!).
Chi vuole può anche dimostrare che esse sono, in realtà, solo due.
7 commenti
Caro Enzo, che dire, io ci provo, poi si vedrà...
Dunque, elevo entrambi i membri al quadrato:
x^x = 1/√2
(x^x)² = (1/√2)²
x^2x = ½
è del tutto evidente che se x=½, si ottiene:
½^2 1/2 = ½
½^1 = ½
quindi la prima soluzione dovrebbe essere x=1/2
la seconda mi sembra piuttosto simile, assumendo che x = 1/4:
1/4^2 1/4 = ½
1/4^1/2 = ½
½ = ½
quindi la seconda soluzione dovrebbe essere x= ¼
Sembra funzionare..
Paolo
Ottimo, Paolo.
Aggiungo solo che le soluzioni , che sono quelle indicate, possono essere solo quelle due. Infatti, facendo lo studio della funzione
e disegnandone il grafico, si ottiene che:
Quindi, la retta di equazione
cioè y=0,707 , che sta sopra pertanto il suddetto punto di minimo della funzione, non può che intersecarne il grafico solo in due punti, le cui ascisse sono appunto 1/2 e 1/4.
Bene ragazzi... avete superato un "doppio" quiz! Siete riusciti a non farvi trascinare dall'esponente verso soluzioni logaritmiche (che sarebbe la via normale e più ovvia) e avete mirato al sodo. Beh... che dirvi... non ho più parole, mi avete stupito ancora una volta e non era facile, conoscendovi già. Poi vi darò la soluzione "canonica" che dimostra come la fantasia, senza paura e legata a solide basi, può essere libera di agire senza preconcetti.
Volevo osservare che però è necessario eseguire una sostituzione logaritmica per dimostrare che la derivata si annulla in un solo punto (1/e) e che quindi le soluzioni sono solo solo due, come dice giustamente Arturo; senza la sostituzione=x^{x}=e^{\ln(x^{x})}&space;=e^{x\cdot&space;\ln&space;x})
non riusciamo a calcolare la derivata di f(x), =e^{x\cdot&space;\ln&space;x}D(x\cdot&space;\ln&space;x)=e^{x\cdot&space;\ln&space;x}\cdot&space;(1\cdot&space;\ln+x\cdot&space;1/x)=e^{x\cdot&space;\ln&space;x}(\ln&space;x+1))
questa si annulla se e solo se si annulla)
ovvero 
, e visto che la base di ln è e, x=1/e. Allo stesso modo, senza l'espressione =x^{x}=e^{\ln(x^{x})}&space;=e^{x\cdot&space;\ln&space;x})
non sarebbe tanto facile dimostrare che 
=1, mentre invece ci basta provare che 
( al terzo passaggio abbiamo fatto la derivata di numeratore e denominatore applicando la regola di de l'Hopital). quindi }=e^{0}=1)
grazie Umberto... hai messo la ciliegina sulla torta!
Per voi ci vorrebbero quiz ben più elevati...
Ciao!
Ogni tanto trovo il tempo di seguire questo bellissimo blog, e perfino di divertirmi a cercare le soluzioni di questi divertenti quiz
Allora, non ho visto la soluzione, il mio ragionamento è il seguente:
Quindi una soluzione è sicuramente: x=1/2=0.5
Allo stesso modo:
Pertanto la seconda soluzione è: x= 1/4=0.25
Un caloroso abbraccio a tutti, in particolar modo al grande Enzo
grazie a te Alex!!!!
Sentivo al tua mancanza....
Tutto giusto, ovviamente!