Per una trattazione completa dell’argomento affrontato in questo articolo, si consiglia di leggere il relativo approfondimento

Abbiamo visto numeri difettivi e numeri eccedenti, ciascuno con i suoi problemi esistenziali. I loro stessi nomi indicano chiaramente che devono esistere anche dei numeri perfetti, ossia tali che la somma dei loro divisori sia esattamente uguale al numero. E si apre un argomento ancora oggi non risolto del tutto…

Sembra che sia stato Pitagora a metterli in evidenza, ma probabilmente esistevano già da secoli, in culture più antiche.

La sua scuola definisce un numero perfetto come un numero naturale (numero intero positivo) che sia uguale alla somma dei suoi divisori, includendo anche il numero uno (ma escludendo il numero stesso).

Il numero 6 ha come divisori 1, 2 e 3. Sommiamoli e troviamo nuovamente 6.

6 = 1 + 2 + 3

Il numero 6 è un numero perfetto! Ed è anche un numero triangolare (tre sassolini in basso, poi due e infine uno in alto). Il numero perfetto che segue è 28, infatti:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Possiamo notare subito che anche lui è triangolare… In realtà, tutti i numeri perfetti sono triangolari, ma non è vero il viceversa: non tutti i numeri triangolari sono perfetti! Parliamoci chiaro… a questo punto molti di noi hanno già la testa che gira, pur avendo a disposizione non solo matita e foglio, ma anche computer e macchinette calcolatrici. I greci, invece, continuarono a studiare sia per il piacere intrinseco dei numeri e dei loro giochi, sia per il significato ben più generale che a loro veniva dato. Un  numero era perfetto sia “matematicamente” sia “filosoficamente”.

Pitagora, perciò, decise che doveva capire cosa stava dietro alla perfezione dei numeri, ossia come essi si formavano. Egli, forse, aveva grande ammirazione per le donne e per la loro “diversità”, fatto sta che si impuntò sul numero 2 e cominciò a calcolarne tutte le potenze

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

E poi verificò se fossero perfetti

4 = 2 + 1 = 3

8 = 4 + 2 + 1 = 7

16 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15

32 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

64 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63

No, non lo erano; però, erano tutti lievemente difettivi (inferiori di una sola unità).

Inoltre, la somma dei loro divisori è ovviamente formata sempre dalle potenze di 2. In linguaggio moderno potremmo concludere che:

2ⁿ è sempre un numero leggermente difettivo e la somma dei divisori può scriversi come

2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + … + 2^n-1

Pitagora non aggiunse altro, probabilmente, e bisognò aspettare Euclide… circa due secoli dopo per un salto in avanti veramente fondamentale.

Tuttavia, Pitagora e la sua scuola riuscirono a trovare, in modo empirico, i primi quattro numeri perfetti: 6, 28, 496, 8128. Si posero due domande non semplici: (1) esiste un  numero perfetto dispari? (2) esistono infiniti numeri perfetti? La risposta non è semplice e le due domande formano quello che è considerato da tanti “il più antico problema matematico”.

Cerchiamo di immedesimarci in quei tempi. I numeri erano qualcosa di magico e sovrannaturale. Elaborarli, trovare le loro misteriose relazioni e gli altrettanto misteriosi significati profondi era una ragione di vita e di vicinanza all’Universo, l’unico in grado di rispondere compiutamente. Una situazione apparentemente primitiva, ma di un’importanza scientifica enorme! Se poi pensiamo ai mezzi a disposizione la faccenda diventa quasi incredibile.

Torniamo a noi e ascoltiamo Euclide.

La somma di una serie geometrica , oggi, sappiamo benissimo a quanto corrisponde. Essa ha come risultato finale:

∑^n-1_{k = 0} x^k = (1 - x^k+1)/(1 – x)

Nel nostro caso x = 2, ossia:

∑^n-1_{k = 0} 2^k = (1 – 2ⁿ)/(1 - 2) = 2ⁿ - 1

Essa è la somma dei divisori di 2ⁿ

Tuttavia, Euclide era costretto a dirlo a parole, nel seguente modo: “A partire dall’unità si sommano tutte le potenze di due fino a trovare un  numero primo”, ossia fermandosi a 2ⁿ -1 numero primo. Ebbene: “ Il prodotto di questa somma per l’ultimo numero della serie è SEMPRE un numero perfetto PARI”. Ossia:

(2ⁿ – 1) 2^{n - 1}       …. (1)

è sempre un numero perfetto pari!

Attenzione, però, non dice che non esistano numeri perfetti che abbiano forma diversa. Dice solo che quelli scritti in quella forma sono sicuramente perfetti!

Euclide non si limita a esporre la sua congettura, ma ne dà una dimostrazione rigorosa, di non facile descrizione, che evitiamo, ma che è segno della grande capacità razionale, malgrado i sassolini restino sassolini…

Tutto risolto? Nemmeno per sogno… per trovare i numeri perfetti si devono trovare i numeri primi che sono dati dalla serie delle potenze di 2. Non solo, ma la formula di Euclide dice che un numero che soddisfa la (1) è perfetto, ma non dice che tutti numeri perfetti possano essere scritti in quel modo.

In particolare dice anche che 2ⁿ – 1 è primo se n è primo, ma non dice che non vi sia un numero n primo a dare, comunque, un numero non primo della forma 2ⁿ – 1. In parole più sintetiche e precise : Affinché il numero 2ⁿ - 1 sia primo è necessario che n sia primo, ma non è sufficiente! Ossia esistono n primi che possono dare numeri finali NON primi.

Proviamo a verificarlo.

Per n = 2 (primo) abbiamo 2² = 4 e quindi 2ⁿ - 1 = 4 – 1 =  3 (primo)   OK

Per n = 3 (primo) abbiamo 2³ = 8 e quindi 2³ – 1 = 8 – 1 = 7 (primo)   OK

Per n = 5 (primo) abbiamo 2⁵ = 32 e quindi 2⁵ – 1 = 32 – 1 = 31 (primo)  OK

Sembrerebbe funzionare sempre, ma con i numeri non bisogna avere fretta… Andiamo avanti fino ad arrivare al numero primo 11 (un numero tanto caro a Valentina):

Per n = 11 (primo) abbiamo 2¹¹ = 2048 e quindi 2¹¹ – 1 = 2047 = 23 ∙ 89  (NON primo).

Un paio di risultati niente male per quei tempi…

Per fare un passetto in più bisogna aspettare Nicomaco di Gerasa che fa alcune congetture, per lo più errate, ma una è invece molto interessante: la formulazione di Euclide definisce tutti i numeri perfetti, ossia tutti i numeri perfetti sono della forma 2^n-1(2ⁿ− 1), per n >1 e  2ⁿ− 1 primo.

Euclide, quindi, avrebbe trovato che non solo i suoi numeri sono perfetti, ma anche che la sua “formula” è l’unica che li può creare.

Nessuna dimostrazione, però, da parte di Nicomaco, che, invece, si lancia in considerazioni filosofiche molto suggestive riguardo ai difetti e agli eccessi dei numeri non perfetti e alle successive implicazioni religiose sui numeri perfetti.

In effetti, 6 è il numero di giorni in cui Dio creò il mondo, e 28 è il numero scelto da Dio come numero di giorni che occorrono alla Luna per girare intorno alla terra. Perfino sant’Agostino ne discute in modo molto drastico: “Sei è un numero perfetto per se stesso, e non perché Dio creò tutte le cose in sei giorni; è vero piuttosto l’inverso: Dio creò tutte le cose in sei giorni perché sei è un numero perfetto. E rimarrebbe perfetto anche se l’opera dei sei giorni non esistesse.

I numeri perfetti continuarono a interessare i matematici di varie culture, pur senza arrivare a formulazioni esatte. Si trovarono, comunque nuovi numeri perfetti.

Un certo Hudalrichus Regius, all’inizio del 1500, riuscì a mostrare che 2¹³ − 1 = 8191 è primo, scoprendo, di conseguenza, il quinto numero perfetto 2¹²(2¹³ − 1) = 33550336. Un bel salto e un chiaro segno che i numeri perfetti sono tutt’altro che comuni!

Il sesto numero perfetto arrivò all’inizio del ‘600, con Cataldi: 2¹⁶(2¹⁷ − 1) = 8589869056, così come il settimo: 2¹⁸(2¹⁹ − 1) = 137438691328.

Un grande contributo fu anche dato da Pierre de Fermat, attraverso alcuni suoi teoremi, ma per adesso non ci soffermiamo su di lui (ne torneremo sicuramente a parlare…), quanto sulle conseguenze dei suoi studi. In particolare quelle portate avanti da Mersenne, un monaco estremamente interessato all’argomento.

Egli preparò con grande fatica una tabella di tutti i numeri del tipo 2ⁿ – 1, che vengono ancora chiamati numeri di Mersenne. Tra di loro indicò i numeri che hanno n primo e che sono anch’essi primi. Li possiamo indicare come:

2^p - 1

Essi prendono il nome di numeri primi di Mersenne. Egli arrivò fino a n = 257, trovando 47 numeri primi e commettendo solo 5 errori.

La faccenda si era fatta molto chiara. Con i  numeri primi di Mersenne era immediato trovare i numeri perfetti con la formula di Euclide.

Il passo decisivo in avanti viene fatto da Eulero, che dimostra che: “Qualsiasi numero perfetto pari deve essere scritto nella forma data da Euclide, con la condizione che n sia primo”, ossia dimostra la congettura di Nicomaco. I numeri di Mersenne (esatti) diventano quindi fondamentali per determinare i numeri perfetti pari, senza rischi di perderne qualcuno per strada. Fu quasi immediato per lui determinare l’ottavo numero perfetto: 2³⁰(2³¹ − 1) = 2305843008139952128.

Eulero dimostra anche che tutti i numeri perfetti pari devono finire per 6 e per 8.

La formula decisiva è quindi:

2^{p -1} (2p – 1)

Essa permette di ricavare tutti i numeri perfetti pari a partire dai numeri di Mersenne.

Eulero cercò anche di risolvere il problema dei numeri perfetti dispari, ma senza successo e senza trovarne nemmeno uno.

Potrebbe sembrare strano, ma il numero perfetto scoperto da Eulero rimase il più grande numero perfetto conosciuto per ben 150 anni e ormai anche i matematici si erano rassegnati, come esprime Peter Barlow nel 1811 a proposito del numero perfetto di Eulero: “ ... E’ il più grande che verrà mai scoperto; anche perché essi stimolano soltanto la curiosità, senza essere utili, ed è improbabile che qualcuno cercherà mai di trovarne uno oltre questo.”

Cosa rivelatasi, poi, non vera e ancora oggi i numeri perfetti sono argomento di studio e di misteri, come quello dei perfetti dispari (esistono oppure no?) e se sono finiti o infiniti.

Al giorno d’oggi si conoscono solo 49 numeri perfetti. L’ultimo calcolato manualmente risale al 1911 e ha 44677235 cifre: 2⁸⁸(2⁸⁹ − 1). Nel 2013 è stato scoperto l'ultimo “più grande” numero primo di Mersenne 2^57885161 − 1 (17 milioni di cifre!). In effetti, con lo sviluppo dei computer c’è stato un rinnovato interesse nello scoprire i numeri primi di Mersenne e di conseguenza i numeri perfetti e le scoperte si sono succedute sempre più frequentemente.

Ricordiamo che i numeri perfetti nascondono molte peculiarità. Ad esempio:

La somma dei reciproci dei divisori di un numero perfetto (incluso il numero stesso) è uguale a 2.

Ogni numero perfetto pari, tranne il 6, è uguale a somme di successioni dei numeri dispari al cubo.

Tutti i numeri perfetti sono sia triangolari che esagonali.

Un piccolo esercizio? Provate a sommare le singole cifre di un numero perfetto fino a raggiungere una sola cifra… Il risultato è molto interessante!

Ovviamente, un premio SPECIALE a chi troverà un numero perfetto dispari!

 

“Un problema di teoria dei numeri è senza tempo come un'opera d'arte.” (D.Hilbert)

 

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