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Un altro campo algebrico che è necessario introdurre è quello dei numeri complessi. Essi rappresentano un insieme con una struttura molto ricca; non sono solo numeri con delle proprietà algebriche complete (rappresentano infatti un campo algebrico) ma con ulteriori proprietà geometriche, o meglio ancora,vettoriali. Basti pensare che in essi la somma rappresenta anche una somma vettoriale, e il prodotto una rotazione di un vettore di un certo angolo unitamente alla dilatazione/contrazione del modulo. Ma la cosa più importante è la chiusura algebrica che essi comportano; nel campo dei complessi una qualsiasi equazione algebrica ha sempre soluzioni . Seguendo le moderne strutture algebriche non avremo difficoltà ad introdurre tali numeri senza dover parlare di "numeri immaginari" se non sotto un profilo storico.

Non so ancora bene come inquadrare questo articolo; L'insieme C dei complessi ha una struttura algebrica di campo, e quindi è un esempio che rientra nelle matematiche pure; d'altronde per chi non lo ha mai visto, bisogna richiamare le operazioni fondamentali,  la forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi; non troverete però una accurata didattica, che esula dai nostri obiettivi. Alla fine del secondo articolo metterò dei link per chi vuole esercitarsi a fondo. A noi serviranno solo le proprietà e  i metodi fondamentali che riguardano tali numeri, per introdurre concetti avanzati quali le forme modulari, la funzione zeta di Riemann, ed altro ancora.

I numeri complessi come estensione dei reali.

Gli insiemi numerici si sono evoluti dai numeri naturali ai numeri reali come successive estensioni atte a risolvere dei problemi algebrici ben precisi.

1. Da N a Z: ovvero dai numeri naturali agli interi relativi; Z si può vedere come una estensione dei naturali atta a risolvere il seguente problema: dati due numeri a,b con a<b, trovare un numero che sottratto ad  a dia b. Si chiede cioè di risolvere la seguente equazione: b=a-x. Esmpio:5=2-x; x non può essere  un numero naturale, infatti deve valere -3.Bisogna uscire dall'ambito dei numeri naturali, dove il problema non ha soluzione, ed estenderli ad un nuovo insieme, quello degli interi con segno.
2. Da Z a Q, ovvero dai numeri relativi ai razionali. Si sa che in Z, l'equazione ax=b ha soluzioni se b è divisibile per a; se non lo è dobbiamo uscire dai numeri relativi ed estenderli ai razionali, ovvero alle frazioni. In tal modo sappiamo che l'equazione ha soluzione x=b/a. Esempio: 2x=3 non ha soluzioni all'interno dei numeri interi, infatti x=3/2 è la soluzione, che è un numero razionale.
3. Da Q a R; sappiamo che non esiste un numero razionale soluzione dell'equazione: ; per farlo dobbiamo uscire dai razionali ed estenderli ad un nuovo insieme , quello dei numeri reali, dove oltre ai razionali troviamo anche gli irrazionali, tipo , che è proprio una soluzione dell'equazione  .Se adesso io vi dicessi che voglio estendere R ad un nuovo insieme in cui risolvere l'equazione  voi mi direste che è impossibile ; un numero elevato al quadrato non può dare un numero negativo perchè più per più da più e meno per meno anche.  Ma alla fine ,concettualmente, questa estensione sarebbe si diversa dalle altre, ma perchè impossibile? Si tratterebbe di aggiungere dei numeri il cui quadrato dia un numero negativo. Basterà definire in modo opportuno le operazioni di somma e prodotto, come è stato  fatto nelle altre estensioni.

Definizione (moderna) di  numero complesso.

Definiamo un numero complesso come l'insieme delle coppie (a,b) di numeri reali, in cui siano definite certe operazioni.  Quindi intanto diciamo che un numero complesso è un elemento di  R x R; Quando però abbiamo a che fare con i numeri, vogliamo mantenere le proprietà formali delle operazioni;  essendo R un campo, anche l'estensione deve essere un campo. Daremo adesso la definizione di due operazioni ,che chiamiamo somma e prodotto, ma che sono soltanto due operazioni interne all'insieme; le chiamiamo in tal modo per analogia,e per definire gli elementi neutri come 0 (somma) e 1(prodotto); ma queste operazioni sono diverse dalle somme  e i prodotti che conosciamo, pur derivando da combinazioni di esse.

Definizione di somma:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

L'insieme R x R diventa un gruppo additivo con questa operazione. Infatti l'operazione è commutativa:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)+a,b) essendo la somma commutativa in R.

associatività:

(a,b)+(c,d)+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)=(a,b)+ (c+e,b+f) essendo associativa in R.

Esiste un elemento neutro rispetto la somma, ed è (0,0); infatti

(a,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b)

ogni elemento ha l'opposto:

opposto di (a,b) è (-a,-b); infatti:

(a,b)+ (-a,-b)=(a-a,b-b)=(0,0)

quindi è un gruppo rispetto alla somma.

Distinguiamo due differenti notazioni; se pensiamo a C=R x R, indichiamo con 0 l'elemento neutro di C rispetto alla somma, che poi viene espresso come (0,0) in R x R.

Definizione di prodotto:

(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

Vediamo per prima cosa che questa definizione l'operazione di prodotto è distributiva rispetto alla somma:

(a,b)*[(c,d) + (c1,d1)]=(a,b)*(c+c1,d+d1)=(a(c+c1)-b(d+d1),a(d+d1)+b(c+c1))=

(ac+ac1-bd-bd1,ad+ad1,bc+bc1)=(a,b)(c,d)+(a,b)(c1,d1).

L'operazione è commutativa:

 ; essendo il prodotto commutativo in R:

ed è associativa:

La dimostrazione non è per niente difficile, ma molto noiosa. Basta applicare la definizione di prodotto. Chi vuole provarci..

Con questa definizione, R x R \{(0,0)} diventa un gruppo moltiplicativo, avente  1= (1,0) come elemento neutro. (anche qui indichiamo l'elemento neutro per il prodotto con 1 se pensato come elemento di C, in R x R dobbiamo indicarlo con (1,0) )

Infatti (1,0)(c,d)=(1*c-o*d,1*d+0*c)=(c,d). Notiamo poi che -1=(-1,0) (opposto di -1)

Un po' più difficile è provare l'esistenza dell' inverso per ogni numero  diverso dallo 0, cioè da  (0,0).

Per far ciò è necessario introdurre il concetto di coniugato, e di modulo di un numero complesso. Ma andiamo per ordine.

Un' altra notazione per i numeri complessi; la forma algebrica

Sia dato un piano cartesiano (ossia un piano  con un sistema di coordinate cartesiane). Allora ad ogni numero complesso z=(a,b)si può associare il punto del piano P avente coordinate a e b. Tale corrispondenza è biunivoca (ossia ad ogni numero complesso  z si associa un unico punto P ed ad ogni punto corrisponde un unico numero complesso).

 

possiamo osservare che le operazioni di somma e prodotto di numeri reali corrispondono alle rispettive operazioni dei numeri complessi associati. Ossia, se a b, sono numeri reali allora

se a ------>(a,0) ,b------>(b,0)

allora a+b------>(a,0) + (b,0)=(a+b,0) per la definizione di somma

ab-------->(a,0) * (b,0)=(ab,0) per la definizione di prodotto
Quindi l'insieme dei numeri reali può essere considerato come il sottoinsieme dei numeri complessi che consiste delle coppie del tipo (a,0). Osserviamo che il numero complesso (o,b) si può scrivere come
  (0,b)=(b,0)*(0,1) Basta applicare infatti la definizione di prodotto:

(b,0)*(0,1)=0*0-0*1,b*1+b*0)=(0,b)

Il piano dei numeri complessi (piano di Argand-Gauss)

Essendo i numeri complessi identificabili con coppie di numeri reali, è naturale rappresentarli graficamente come punti del piano cartesiano. Quindi, facendo riferimento alla figura , il numero complesso z=a+ib verrà rappresentato dal punto di coordinate (a,b). In particolare l’origine (0,0) rappresenta il numero complesso 0,il punto (1,0) rappresenta il numero complesso 1=1+0i, il punto (0,1) rappresenta il numero complesso  i=0+1i. I punti dell’asse x del piano complesso corrispondono ai numeri reali (x,0)=x+0i. Per cui l’asse x è chiamato asse reale. I punti dell’asse y  corrispondono ai numeri immaginari puri (0,y)=0+iy per cui l’asse y è chiamato asse immaginario.

Coniugato e modulo di un numero complesso

Si definisce coniugato di (a,b) la coppia (a,-b), ovvero in notazione algebrica:

coniugato di z=a+ib---> a-ib che si indica con .

Esempio di coniugati:

z=2+i, =2-i

z=2i; =-2i

z=a, =a qualsiasi sia a appartenente a R.

se invece consideriamo la quantità:   (che è chiaramente un numero reale) questa, per il teorema di Pitagora, altro non è che il quadrato del modulo del vettore che rappresenta z nel piano complesso.

 

osserviamo che:

1. nella rappresentazione sul piano, il coniugato è il simmetrico rispetto all'asse reale.
2. la somma di un numero con il suo coniugato dà un numero con sola parte reale
3. Il prodotto  di un numero per il suo coniugato (abbiamo visto sopra) dà il quadrato del modulo.

Notiamo che il modulo di un numero complesso è nullo se ( soltanto se) z=(0,0)=0. Infatti 

se (e solo s) a=0, b=0 essendo a,b numeri reali.

siamo adesso in grado di risolvere il seguente problema: Dato un z qualsiasi, trovare il suo inverso, ovvero un

abbiamo visto sopra che , quindi 

dunque 

( notare che nel caso z sia reale, b=0, , come deve essere

nel caso z sia puramente immaginario invece :

a=0, z=ib; =-ib;  )

quindi l' insieme che abbiamo definito è effettivamente un campo.

Esempio di calcolo dell'inverso.

Sia z=2+3i; =2-3i; 

; verifichiamo che :

 

Nel campo C dei numeri complessi l'equazione:

 ammette come soluzioni ; quindi abbiamo raggiunto il nostro scopo.

Ma c'è ben altro; il Teorema fondamentale dell'algebra dice ben di più:

Nel campo dei numeri complessi C l'equazione di grado n (con n>=1):

ha sempre n soluzioni, a patto che vengano contate con la loro molteplicità. Ma questo cosa vuol dire? Chiariamolo con un esempio:  ha una sola soluzione,ma che interviene con molteplicità due, in pratica 2 è due volte soluzione dell'equazione, che si può anche scrivere come (x-2)(x-2)=0. La dimostrazione di questo teorema (che è intuitivo, vista l'estensione che abbiamo fatto da R a C) è per noi fuori portata (almeno per ora).

Espressione di un numero complesso in forma trigonometrica o coordinate polari.

Vogliamo ora dare una espressione dei numeri complessi usando la trigonometria e le coordinate polari. Torniamo al nostro piano complesso; un numero complesso rappresenta un vettore, che quindi possiamo rappresentare in coordinate polari:

dal disegno si vede già l'espressione trigonometrica del numero complesso; comunque, essendo :

z=a+ib

a=|z|cos (θ), b=|z| sin(θ), allora z=a+ib=|z|cos (θ) +i|z| sin(θ); se adesso chiamiamo  il modulo |z| del numero complesso, abbiamo:

;

Se siamo nel primo quadrante (cioè se a>0, b>0) si ha poi :

; 

altrimenti ricavare l'angolo sarà un problema che riguarda sempre l'arcotangente ma che avrà diverse soluzioni a seconda  dei segni di  di a,b, ovvero della posizione di (a,b) nel relativo quadrante.

(Osserviamo che l’argomento di z è definito a meno di multipli interi di  , tale è infatti la periodicità di seno e coseno).

esempio:

Sia z=1+i; vogliamo scriverlo in forma trigonometrica. Calcoliamo per primo il modulo, ;

quindi la forma trigonometrica (o in coordinate polari) risulta:

Il problema inverso è in ogni caso più semplice, basta calcolare seno, coseno di un angolo noto e poi moltiplicare per il modulo.

Prodotto di numeri complessi in forma polare.

Abbiamo visto che è possibile scrivere un numero complesso in questa forma:

;  è il modulo |z| del numero complesso, mentre  si scrive anche come arg(z) (=arg(z)).

Vogliamo adesso dimostrare che , dati z1,z2, se consideriamo il loro prodotto z1* z2,si ha:

|z1*z2|=|z1|*|z2| ovvero il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli.

arg(z1*z2)=arg(z1) + arg(z2) ovvero l'argomento del prodotto è la somma degli argomenti.

Scriviamo i due numeri nella loro forma trigonometrica:

;

Ma dentro alle parentesi quadre abbiamo due termini, uno reale che rappresenta lo sviluppo del coseno di una somma di angoli, mentre la parte immaginaria è lo sviluppo del seno di una somma di angoli. Per concludere abbiamo:

che confrontata con questa:

ci dice che il numero complesso ottenuto dal prodotto ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma degli argomenti.

Per  ora ci fermiamo qui; la prossima volta useremo questo risultato per esprimere la potenza di un numero complesso;  vedremo poi un altro bellissimo modo per rappresentare un numero complesso. E in più capiremo da dove salta fuori la formula simbolo del Club dei maghi.