Soluzione del quiz "Il gatto e il topo"

Devo proprio dire che sono ultra soddisfatto per la partecipazione e le idee nuove espresse nei commenti; Fabrizio (qui) ha praticamente anticipato la mia soluzione, mentre Vincenzo (qui) ne ha trovata un altra in modo originale e molto ingegnoso. Comunque grazie a tutti quanti , e in particolare a Maurizio che è stato un vero trascinatore. Qui il quiz con tutti commenti.

Soluzione facile e intuitiva.

Ricordo brevemente il quesito: un topo vaga in modo casuale fra delle scatole collegate da delle porticine.Inizialmente il topo si trova nella scatola 2; il gatto è fermo nella scatola 5, da dove non si può muovere. Dobbiamo calcolare la possibilità di salvezza del topo.

Col primo spostamento il topo va in 1 con probabilità 1/2, ed allora è salvo, oppure, ancora con probabilità 1/2, va in 3 e muovendosi da questa scatola, che è equidistante (2 spostamenti) sia da 1 che da 5, ha uguale probabilità, cioè 1/2, di arrivare in 1, dove è salvo, oppure in 5 dove viene mangiato.

Si può rappresentare questo susseguirsi di eventi con l'ausilio di quello che in matematica si chiama grafo:

Per calcolare adesso la probabilità di salvezza, basta sommare la probabilità dei due eventi (che sono disgiunti) ovvero delle due alternative,. Chiamiamo P(S) la probabilità di salvezza.

P(S)=1/2+1/2*1/2=3/4. Allo stesso modo , possiamo vedere che , chiamando P(M) la probabilità di morte, P(M)=1/2* 1/2=1/4. Quindi P(S)+P(M)=1

Qualcuno giustamente ha obiettato: e se il topo vagasse avanti indietro fra 2 e 4 senza mai andare in 1 o 2? Questo evento ha però probabilità nulla.Possiamo anticiparlo anche così; ci sono tre eventi logicamente possibili: S salvezza, M morte, AI andare avanti indietro, senza salvarsi nè morire. Sono tre eventi disgiunti, quindi la somma delle tre probabilità deve dare 1, cioè  P(S)+P(M)+P(A)=1. Ma abbiamo già visto che  P(S)+P(M)=1, quindi P(AI)=0.

Tutto quello che ho scritto è strettamente intuitivo; per una dimostrazione rigorosa , per chi vuole, ho preparato una dimostrazione formale.

Soluzione "difficile"

Per risolvere completamente il  problema senza che rimanga alcun dubbio sulla possibilità che il topo vada  avanti e indietro senza mai raggiungere la salvezza, dobbiamo fare dei calcoli un po' più complessi, trovare sia la probabilità di salvezza che quella di soccombere.Generalizziamo   il problema, in quanto ci servirà in futuro. Supponiamo di schematizzarlo  in questo modo; su una retta orientata indichiamo con 0 la posizione iniziale di un segnaposto, una bandierina, che può andare a destra sinistra casualmente, con la stessa probabilità 1/2.  a e b sono due numeri  interi che rappresentino la distanza dall'origine di due posizioni di arrivo. Vogliamo esprimere , data una generica posizione x, la probabilità che da lì si  arrivi in a o in b . Se si arriva in a  a o in b il "gioco" finisce. Chiaramente x è un numero intero, compreso fra -b e a.

Chiamiamo P(0) la probabilità di arrivare in a partendo da 0. Vogliamo trovare P(0). Per far ciò dobbiamo trovare una espressione ricorrente per P(x).

Se mi trovo in x, la probabilità di salvezza posso ottenerla con due alternative, sfruttando la probabilità di arrivare in a da  x+1 e x-1, P(x+1), P(x-1):

1. P(x)=P(x+1)*1/2+ P(x-1)*1/2 .

Mi soffermo su questa formula, per vedere di spiegarla bene. Mi trovo in x; con probabilità 1/2 posso andare in x+1; quando sono lì arrivo in a con probabilità P(x+1); altrimenti da x, sempre con probabilità 1/2, posso andare in x-1; da qui arrivo in a con probabilità P(x-1). Compongo queste due alternative ottenendo proprio la 1.P(x)=P(x+1)*1/2+ P(x-1)*1/2 .

Se mi trovo in -b, la probabilità di andare in a è nulla, ovvero P(-b)=0 (e il gioco finisce) mentre  in a tale probabilità è 1, quindi P(a)=1. Sfruttando queste due condizioni,e l'equazione 1)  vogliamo trovare il valore di P(0), ovvero la probabilità di arrivare in a partendo dalla posizione zero (0). E qui ci aspettano dei calcoli , e dei trucchetti.

Proviamo a trovare P(-b+1) usando la 1) che andiamo prima a modificare.

P(x+1)*1/2+ P(x-1)*1/2 =P(x)

P(x+1)+ P(x-1)=2*P(x)

P(x+1)=2*P(x)-P(x-1)

allora:

P(-b+2)=2*P(-b+1)+P(-b)

ma essendo P(-b)=0

P(-b+2)=2*P(-b+1)

poniamo P(-b+1)=z

P(-b+2)=2*z

P(x+1)=2*P(x)-P(x-1)

P(-b+3)=2*P(-b+2)-P(-b+1)=2*2*z-z

P(-b+3)=3*z

.

.

P(-b+i)=i*z 2)

sfruttiamo adesso il fatto che P(a)=1

1=P(a)=P(-b+a+b)=z*(a+b)

quindi z=1/(a+b)

Troviamo adesso P(0).

P(0)=P(-b+b)

per la 2), sostituendo b a i:

P(0)=z*b=b/(a+b)

Abbiamo quindi trovato una espressione generale per il nostro problema.

Adesso vogliamo trovare Q(0), ovvero la probabilità di arrivare in b.  Vista la simmetria basta 

scambiare a con b e si ha che tale probabilità che indichiamo con Q(0), è data da:

Q(0)=a/(b+a)=a/(a+b)

se sommiamo le due probabilità otteniamo:

P(0)+Q(0)=b/(a+b)+a/(a+b)=(a+b)/(a+b)=1

abbiamo quindi due eventi disgiunti, la somma delle loro rispettive probabilità è 1,quindi altri casi non ci possono essere. Ma allora il topo o muore o si salva, non può vagare avanti e indietro per le scatole.

Ma torniamo adesso al calcolo del valore della probabilità nel nostro caso.

b=1, a=3, Q(0)=3/4; Quindi abbiamo accontentato anche Maurizio trovando una espressione generale. se il gatto si trova al centro, a=b la probabilità di salvarsi è 1/2; più si sposta verso il gatto, maggiore è la probabilità di soccombere.Questo naturalmente se resta costante il numero di scatole.