QUI l'approfondimento "Niente (o quasi) è come sembra, nel quale è stato inserito anche il presente articolo.

 

Soluzione del Quiz “Art Attack”

Definire “soluzione” le considerazioni che esporremo è decisamente esagerato. Non forniremo dimostrazioni formali ma solo osservazioni e ragionamenti da esse derivati, per capire come si sono “intrecciate” le cose.

Partiamo dalla madre di tutte le strisce e coloriamo una delle sue facce di verde, lasciando bianca l'altra faccia. 

 

 

Ora richiudiamo la striscia su se stessa, unendo i suoi estremi con una torsione di 180°, per realizzare il classico “Nastro di Moebius”. Avevamo deliberatamente omesso questo nome, proponendo il quiz, per renderlo un po' più misterioso.

Qui possiamo vedere il Nastro di faccia e di profilo.

 

Praticando il taglio longitudinale per tutta la sua lunghezza, otteniamo un nuovo nastro di lunghezza doppia, ma questo ce lo potevamo aspettare. La cosa meno scontata è piuttosto il fatto che ora la torsione della striscia è raddoppiata. Un estremo risulta ruotato di 360° rispetto all'altro.

Questo fatto però non ci riporta nella situazione di un anello privo di qualsiasi torsione. Per meglio dire: la superficie non è più una superficie ad una sola faccia, e se proviamo a tracciare il segno lungo la linea mediana, con la matita, scopriremo che esiste un lato esterno ed un lato interno. Tuttavia la torsione ha cambiato qualcosa, si è creato un intreccio che nell'anello piano non esiste.

Ecco il nastro proprio nel momento della scissione, o meglio del raddoppio della lunghezza, un attimo prima di concludere il taglio.

 

 

Proviamo a riassestare il nastro in questo modo, semplicemente spostando un lato sopra l'altro...Nella figura possiamo constatare che nulla è mutato, se non la forma apparente.

Per meglio capire la cosa, vi invitiamo a realizzare fisicamente questo passaggio, vederete con quale facilità si passa dall'anello ritorto alla forma a 8 che appare nella fotografia.

 

         

Se immaginiamo adesso di disegnare lungo la faccia esterna ( o interna) di questa striscia, la linea mediana e poi di praticare il taglio seguendo il suo tracciato, semplicemente osservando la figura, “vediamo” facilmente , in anticipo, che l'Otto si sdoppierà in due strutture gemelle, con la stessa forma della striscia madre.

Ecco, in concreto, le due strisce gemelle che otteniamo:

 

 

Come vedete, anche in questo caso abbiamo colto l'istante della scissione, una separazione effettiva di due individui e non l'allungamento del caso precedente. Ora abbiamo due strisce distinte, gemelle, con la proprietà di sovrapporre perfettamente le loro superfici l'una sull'altra. Vediamolo...

 

 

Sembra quasi di poterle estrarre l'una dall'altra e separarle, come possiamo fare nel caso di una striscia priva di qualsiasi torsione, un cilindro che, tagliato a metà genera due cilindri identici.

Invece, no.

Le strisce gemelle che, come matrioske, si annidano una nell'altra, non sono disgiungibili, ma interlacciate, E se proviamo a separarle, succede questo:

 

 

Le strisce sono incatenate tra loro, con una licenza poetica potremmo dire che sono “entangled”, ma forse faremmo rabbrividire il nostro Vincenzo...

Sia la la striscia piana, priva di torsioni, sia la striscia con una torsione di 360°, sono strutture che si riproducono generando ripetutamente figure simili a se stesse.

Continuando gli sdoppiamenti delle nostre strisce, tutto ciò che si otterrà sarà sovrapponibile al precedente passaggio: la larghezza si assottiglierà e lo spessore si ingrosserà ma la forma resterà invariata.
Per analogia possiamo pensare agli anelli generati tagliando la striscia senza torsioni, che possono essere inseriti uno dentro l'altro. Anche in quel caso cambia l'altezza e lo spessore ma non la forma.

In realtà lo spessore della carta non è nullo, quindi dopo pochi passaggi non sarà possibile proseguire con le successive sovrapposizioni , tuttavia, dal punto di vista concettuale, si tratta di una schiera di "individui" identici che riproducono tutte le caratteristiche del genitore.

Possiamo quindi trarre le seguenti conclusioni:

La striscia di Moebius iniziale contiene una torsione di 180° e presenta una superficie ad una sola faccia.

Dividendosi lungo il percorso perimetrale, si sdoppia generando una striscia che conterrà una torsione doppia (360°) e si svilupperà su una superficie a due facce. Da questo punto in avanti ogni ulteriore scissione genererà sempre una coppia di strisce con identiche caratteristiche, interlacciate tra loro e sovrapponibili.

Il comportamento “anomalo” si manifesta solo nella prima trasformazione, che rappresenta la fase di passaggio dalla configurazione iniziale a quella stabilizzata.

La comprensione di questo meccanismo è stata facilitata dal riassestamento a forma di Otto, che ha reso più “immaginabili” le conseguenze della operazione di suddivisione della striscia da quel punto in poi.

Tutte le suddivisioni del nastro a Otto si sovrappongono, senza fine. Bella raffigurazione intrinseca dell'infinito, anche se la rappresentazione grafica dell'infinito non deriva da questa figura, dato che il simbolo è stato introdotto a metà del 1600 dal matematico inglese John Walllis.

 

 

Ed ora...un paio di “extra” per chi non ne avesse avuto abbastanza...

1 .  Provate a tagliare il nastro originale, invece che lungo la linea di mezzo, a un terzo della larghezza. In questo modo il vostro            taglio si allungherà percorrendo un giro completo e proseguendo per un secondo giro.

Vedete un po' voi cosa si ottiene.

2.  Altro esperimento: provate a collegare i due lembi del nastro dopo avere applicato una torsione non di 180°, ma tre volte               180°,  poi eseguite il consueto taglio una prima e una seconda volta, sul risultato ottenuto.

Dovreste riuscire a trarre le conclusioni del caso senza troppe difficoltà.

Non possiamo concludere senza un cenno al genio di M.C. Escher nella sua elaborazione grafica del nastro di Moebius. Il famoso pittore olandese, pur non avendo una preparazione scientifica di base, utilizza nella sua arte concetti matematici che danno corpo alle idee che intende comunicare.

In questo “Moebius II” (che presentiamo in questa rielaborazione animata) ha utilizzato proprio la nostra striscia come percorso infinito per queste formiche.

Ma sull'opera di questo grande, e di altri protagonisti del mondo delle percezioni, potremo tornare a parlare in una prossima occasione.