Indice di tutti gli articoli di Umberto presenti in archivio-Matematica

 

Riassumiamo le due esposte.

Un po' di riassunto dell'articolo precedente, la parte prima . Abbiamo introdotto le variabili aleatorie e il loro valor medio.Ricordiamo che per specificare una variabile aleatoria X basta dare l'insieme di valori che può assumere unitamente alla probabilità con cui possono verificarsi.  Quindi basta dare una tabella di questo tipo:

Valore	1	2	3	4	5	6
probabilità	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

questo è l'esempio di una variabile aleatoria rappresentata dal numero uscito su un dado . In questo caso la probabilità è la stessa per ogni faccia del dado. Chiaramente questo è un caso particolare.

Il valor medio di una V.A. è rappresentato da una somma:

E(X)=X1*p1+....Xn*Pn;chiaramente il "peso"che hanno tali valori nella somma dipende dalla corrispettiva probabilità.Ricorda molto il  calcolo del baricentro fisico. In questo caso il valor medio coincide con la media aritmetica di 1,2,3,4,5,6, che è 3,5.

Dopo aver  introdotto le variabili aleatorie abbiamo considerato poi un processo di  Bernulli: la ripetizione di un esperimento con due soli risultati, successo o insuccesso, con probabilità rispettivamente p e q e dove chiaramente p+q=1.

In questo contesto, possiamo introdurre una variabile aleatoria molto semplice:

Chiamo X  "il numero di tentativi per avere il primo successo"

Sei Indichiamo con S l'evento successo,con F l'evento fallimento,possiamo provare a simulare le sequenze in una tabella(nella prima riga il numero dei tentativi):

1	2	3	4	5	6	7	8	9
S	FS	FFS	FFFS	FFFFS	FFFFFS	FFFFFFS	FFFFFFFS	FFFFFFFFS

chiaramente la tabella prosegue all'infinito. Sembrerebbe che il valore medio del numero di tentativi debba essere un numero molto alto, ma così non è. Proviamo a scrivere le  probabilità in funzione di n. Ricordiamo che l'evento successo all'n-esimo tentativo è dato da:

; quindi la probabilità che il successo si verifichi dopo n tentativi decresce molto rapidamente al crescere di n. Ci siamo proposti di trovare il valor medio di questa variabile. Abbiamo  scoperto che tale valor medio altro non è che 1/p, ovvero l'inverso della probabilità che si verifichi un successo.

Se lancio un dado e punto sul  numero 3, mi aspetto che esca mediamente al 6° tentativo.

Un altro risultato importante riportato nella prima parte è l'additività della media;

se abbiamo due variabili casuali X1,X2,..Xn possiamo considerare la variabile X1+X2 +Xn allora  l'additività della media  ci dice che E(X1+X2+...Xn)=E(X1)+E(X2)+....E(Xn).

Complichiamo un po' la faccenda. Supponiamo di avere il solito dado a sei facce, e ci proponiamo di risolvere  il seguente problema: calcolare dopo quanto tempo in media, ovvero dopo quanti tentativi, escono tutti e sei  i numeri. Per visualizzare ancora meglio il problema, facciamo la seguente tabella di esempio:

Numeri	1	2	3	4	5	6
tentativi	1	5	7	8	3	9

Il problema che vogliamo analizzare è dopo quanti tentativi (in media) riesco a riempire  tutte le sei caselle con dei numeri diversi. Chiamiamo X1 la variabile aleatoria che ci dà il numero di tentativi che esca il primo numero; chiaramente al primo lancio ogni numero va bene, quindi basta un tentativo, pertanto il valor medio è 1. Supponiamo adesso di voler calcolare i tempo medio di attesa del secondo numero (se per primo è uscito l'1, deve uscire un numero diverso da 1).  Qual'è la probabilità che esca tale numero? Chiaramente 5/6. Quindi la variabile X2 che rappresenta il numero di tentativi che esca il secondo numero ha probabilità 5/6, e quindi il valor medio di tentativi è l'inverso, ovvero 6/5. Passiamo a X3, ovvero il numero di tentativi che esca un numero diverso dai due usciti. abbiamo 4/6=2/3, e un numero medio di tentativi per  X3 che è l'inverso, ovvero 3/2. Riassumendo e indicando con E(X) il valore medio della singola variabile, abbiamo:

E(X1)=1, E(X2)=6/5,E(X3)=3/2,E(X4)=6/3=2,E(X5)=6/3,E(X5)=6

Questi son i tempi medi di attesa che si verifichi un successo in più processi di Bernulli con un valore p di successo variabile. Ma per quanto riguarda il nostro esperimento, come facciamo a trovare il tempo medio di attesa per riempire la tabella con tutti i numeri delle sei facce?

Il valore generico del tempo di attesa è dato chiaramente da X=X1+X2+X3+X4+X5+X6. Di questa variabile dobbiamo fare la media, Ci viene in soccorso il risultato prima evidenziato, sulla additività della media:

E(X1+X2+...Xn)=E(X1)+E(X2)+....E(Xn)

quindi per risolvere il nostro problema, basta fare la somma:

E(X1)=1, E(X2)=6/5,E(X3)=3/2,E(X4)=6/3=2,E(X5)=6/2=3,E(X5)=6

1+6/5+3/2+2 + 3+6=12+6/5+3/2=(120+12+15)/10=147/10 =14,7

 

Facciamo ora un ragionamento generale; pensiamo di giocare con un dado a n facce (è perchè no?)

e di dover riempire una tabella con gli n possibili risultati

1

2

3

.

.

.

.

n

Per quanto tempo in media dobbiamo provare per riempirla completamente?

Al primo lancio ogni numero va bene, quindi X1=1, E(X1)=1. Al secondo lancio non vanno bene tutti, quindi solo n-1; la probabilità è dunque p= n-1/n e il tempo medio di attesa n/n-1,

quindi E(X2)=n/n-1.

Al terzo lancio vanno bene n-2 numeri su n; p=n-2/n, E(X3)=p=n/n-2. All'n-esimo lancio avremo solo un possibilità su n (ne sono già stati riempiti n-1), quindi p=1/n, E(Xn)=n.

Riapplichiamo ancora la linearità delle media:

E(X1+X2+...Xn)=E(X1)+E(X2)+....E(Xn)=1+n/n-1+n/n-2+....+n

raccogliamo n:

E(X1+X2+...Xn)=n(1/n+1/n-1+1/n-2+..+1/n); cambiamo ordine alla somma dentro parentesi

E(X1+X2+...Xn)=n(1+1/2+.....1/n-2+1/n-1 +1/n).

La somma dentro parentesi è la ridotta (somma parziale)di una serie armonica. Quello che vogliamo valutare è questo tempo medio di attesa in funzione di n.

Ci viene in aiuto, dall'analisi, uno sviluppo delle serie suddetta, che ci porta alla seguente formula:

1+1/2+1/3+....1/n  logn+C, dove C=0.577, questo per  valori abbastanza grandi di n.
in definitiva, per dare una stima del nostro tempo di attesa, possiamo scrivere:

E(X1+X2+...Xn) n*(logn+0.577)

Proviamo a calcolare il tempo medio di attesa applicando la formula sopra per qualche valore  di n:

n=100; E(X)=100*(log(100)+o.577)=100*(4.6+0.577)=100*5.18=518

n=200:; E(X)=100*(log(200)+o.577)=200*(5.2+0.577)=100*5.7771155

Ci vogliono molti tentativi per riempire completamente la tabella degli n numeri, molti di più dei numeri stessi. Il rapporto cresce al crescere di n in modo non proporzionale.

Ma veniamo alla conclusione dell'articolo,come premesso dal titolo.Immaginiamo adesso una analogia con i bombardamenti aerei di postazioni missilistiche nucleari. Supponiamo che ci siano molte postazioni da colpire in una certa area. Il problema è analogo a quello visto sopra, ovvero riempire la tabella con i numeri da 1 a n. Questo perchè i lanci delle bombe su molti bersagli diventano casuali, in quanto ci sono molti fattori che influiscono, a cominciare dal vento e dalla pioggia, per arrivare ai  guasti o malfunzionamenti tecnici o agli errori umani dei piloti. Questo comporta che molti obiettivi vengano colpiti più volte.Quindi per colpirli tutti, bisogna provare più volte,Vediamo che se ci sono ad esempio 200 obbiettivi da colpire, ci vogliono circa 1155 (in media) colpi a segno per eliminarli tutti. L'operazione quindi non è immediata, e questo dà il tempo a chi è attaccato di lanciare i missili per ritorsione.

Chiaramente questo è un esempio molto semplificato, ma con queste ed altre argomentazioni il matematico K.L.Chung arriva alla conclusione che si perviene ad un certo equilibrio fra le superpotenze  dotate di ordigni nucleari poichè l'operazione di attacco diviene egualmente rischiosa per entrambe. Sappiamo invece che queste azioni di forza sono state invece compiute verso nazioni che usano armamenti di tipo convenzionale, e sprovviste di armamenti nucleari.