Quiz: Un ubriaco e un portone.
Di ritorno a casa a tarda notte dopo una sbronza, un ubriaco si accinge al momento più difficile; aprire il portone di casa!
Il portone gli appare come un nemico; sa bene di avere in tasca un mazzo cospicuo di chiavi e di non essere in grado di riconoscere quella giusta.
Comincia così a provare le chiavi a caso tenendole sempre nel mazzo, ma ben presto si accorge che non è il sistema migliore. Allora decide di provare una chiave alla volta e , se non va bene,toglierla dal mazzo.
La domanda è; quanti tentativi deve fare in media l'ubriaco nei due casi? Ovvero quanti tentativi in media nel caso di non togliere la chiave provata dal mazzo, e quanti nel caso di togliere ogni volta la chiave che non va bene? Qual' è il metodo migliore per aprire il portone il prima possibile?
Il mazzo ha sette chiavi, quindi potete provare direttamente con questo valore. Bisognerebbe però generalizzare, e trovare i due risultati nel caso che il numero di chiavi sia n.
P.S: Spero di essere stato sufficientemente chiaro:
1° caso: numero medio di tentativi lasciando sempre tutte le chiavi nel mazzo.
2° caso:numero medio di tentativi togliendo la chiave dal mazzo se non apre il portone.
Il primo caso è già stato discusso a fondo in questo articolo . La differenza sostanziale fra i due casi è che nel primo caso (prova senza poi esclusione) il processo potrebbe continuare indefinitamente, mentre nel secondo il processo è composto da un numero finito di prove.
19 commenti
La chiave sarà indubbiamente l'ultima (regola della sfiga)
Caro Givi, la fai facile... Essendo ubriaco, prima di riuscire a infilare l'ultima chiave (quella giusta) nella serratura , è probabile che gli sfugga di mano e cadendo vada a infilarsi nella grata metallica sul marciapiede.
Comunque una osservazione che potrebbe essere utile (se non è sbagliata - e Umberto potrà intervenire a correggerla) è questa:
Se ogni volta rimettiamo in gioco tutte e sette le chiavi, la probabilità di trovare quella giusta, a caso è sempre la stessa a per ogni tentativo. In n tentativi consecutivi dovremmo avere (1-1/7)^n probabilità di non riuscire a trovare la chiave giusta. Questo limitando il ragionamento a 7 chiavi, per il momento. Possiamo anche disegnare il grafico con cui varia la probabilità complessiva ad ogni nuovo tentativo.
Escludendo invece la chiave che non ha funzionato, ad ogni tentativo, miglioriamo le probabilità di successo.
Al primo tentativo ci troviamo nella stessa situazione della strategia che rimette in gioco tutte le chiavi, ma al tentativo successivo invece di 7 chiavi ne avremo 6, e poi cinque, etc...
Ad esempio dopo 4 tentativi consecutivi , la probabilità di non riuscire ad aprire il portone sarà (1-1/7)*(1-1/6)*(1-1/5)*(1-(1/4). Anche in questo caso possiamo disegnare il grafico di come varia la probabilità ad ogni tentativo.
Partendo da queste considerazioni (se corrette) si può arrivare a trovare la risposta richiesta dal quiz.
per adesso chiaramente non posso dire nulla..
volevo ricordare che la soluzione al primo caso la trovate già in questo articolo:
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2017/12/03/puo-calcolo-delle-probabilita-aver-scongiurato-guerra-nucleare-parte-1/
si tratta di estenderla al secondo caso, ed è più semplice , in quanto il processo è limitato ad un numero finito di ripetizioni
probabilmente introdurre il primo caso ha creato confusione; per ora mettiamolo da parte. Consideriamo solo il secondo: Ad ogni prova buttiamo via la chiave se non funziona . Vogliamo trovare la probabilità di trovare la chiave giusta al primo, secondo, terzo ecc tentativo. Se n é uguale a sette, trovare la chiave al primo colpo è 1/7.. Poi però , se non ho estratto quella giusta le probabilità di estrarre quella giusta o quella sbagliata cambiano, le chiavi diventano sei..e così via. Una volta che abbiamo trovato le probabilità per 1,2,3,..ecc trovare il valor medio è immediato.
Considerando gli eventi indipendenti si associa la moltiplicazione alla parola E (and) e la somma alla parola O (or).
Se le chiavi sono n , al primo tentativo le probabilità positive sono 1 su n cioè 1/n .
Al secondo si ragiona così : mi son rimaste n-1 chiavi quindi la prob di trovare la chiave deriva dal fatto che nel primo ho sbagliato E nel secondo l'ho trovata , quindi ottengo
(n-1)/n * 1/(n-1) = 1/n
gli n-2 tentativi successivi daranno lo stesso risultato 1/n.
Ogni tentativo ha probablità 1/n .
Io troverò la chiave se azzecco al primo tentativo O al secondo tentativo O .... all'ennesimo tentativo.
Quindi la probabilità di trovarla sarà la somma delle singole probabilità 1/n . All'ultima chiave avrò n * 1/n =1 probabilità di azzeccarla , cioè la certezza.
La prob media sarà la somma dei tentativi pesati ciascuno con la propria probabilità ( 1/n).
1/n * 1 + 1/n * 2 + ..... 1/n *n = (somma dei numeri da 1 a n) /n = (n+1)/2 * 1/n.
Nel caso in qustione n=7 quindi la prob. media è
(7+1)/2 * 1/7 = 4/7 .
In informatica ciò equivale alla semplice scansione sequenziale di una tabella in cerca di una "chiave", che è il metodo più lento in quanto la media delle prove è n/2.
grazie Leandro,ma aspettiamo anche gli altri.
Se non ho male interpretato le domande del quiz, io l'avrei pensato così...
Sia n il numero di chiavi (7), k il numero di tentativi, p la probabilità
Se lascio sempre tutte le chiavi nel mazzo:
Ogni volta ho 1/n probabilità di indovinare e (n-1)/n di sbagliare
se indovino al k-esimo tentativo, prima ne ho sbagliati (k-1)
quindi p = 1/n [(n-1)/n]^(k-1)
Se ogni volta tolgo dal mazzo la chiave sbagliata:
p = 1/(n-k+1)
infatti:
al quarto tentativo, essendo rimaste 4 chiavi, la probabilità sarà di 1/4 (infatti è questo il risultato se sostituisco n=7 e k=4 nella formula)
al secondo tentativo, essendo rimaste 6 chiavi, la probabilità sarà di 1/6 (n=7, k=2)
all'ultimo tentativo (n=7, k=7) la probabilità sarà 1
Grazie Valentina.Come ho detto sopra a Leandro devo però aspettare prima di mostrare le carte..
Aggiungo però che in entrambi le due risposte ci sono delle affermazioni giuste
Sono sempre in attesa, almeno fino a domenica.. Mancano i risolutori più abili, soprattutto quelli appassionati di calcolo delle probabilità. E poi magari, chissà che non arrivi anche qualche commento "dall ' alto"..
Limitandoci al caso 2, come proposto nel commento...
Ad ogni tentativo la probabilità è sempre la medesima = 1/7
Questo perché mi trovo a dovere eseguire quel particolare tentativo, dopo che ho fallito i precedenti.
In particolare, se resto con l'ultima chiave, perché tutte le altre 6 non hanno aperto il portone, ho la certezza che quella sarà la chiave giusta, ma prima ho fatto 6 tentativi falliti, perciò la probabilità di trovarmi in quella situazione è 6/7 * 5/6 * 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/7 e questo valore dovrò moltiplicarlo per 1 ( il 100%) che è la certezza data dal fatto che l'ultima chiave deve aprire. Anche in questo caso la probabilità vale 1/7, come per il primo tentativo ( e come pure per ciascuno degli altri)
Il numero medio di tentativi sarà (1+2+3+4+5+6+7)/7 = 28/7 = 4
chissà perche a me le emoticon a volte non partono.. direi che Maurizio ha centrato correttamente la seconda parte , anche se Leandro l'aveva anticipata pur con un errore di calcolo nel valor medio; Valentina ha invece cominciato bene la seconda parte, pur non concludendo con il valor medio. Bisognerebbe fare un merge di questi tre commenti per esprimere i due valori medi e metterli a confronto
ci provo anche io: è da ieri mattina che ci penso, e la soluzione mi sembrava contro-intuitiva, e non volevo accettarla. quello che mi ha fatto cambiare idea, è stato che utilizzando metodi diversi, il risultato non è cambiato. ho anche pensato che ripetessi lo stesso errore di continuo. però stamattina in bici, mentre tornavo dall'asilo, ho pensato: chi se ne frega.
allora. il caso in cui l'ubriaco, non scarti mai la chiave che ha provato, dal documento che c'è nel link, si evince sostituendo a p=1/n che il numero medio di tentativi è n.
e fin qui, tutto bene.
nel caso invece l'ubriaco scartasse ogni volta la chiave, la media dei tentativi l'ho calcolata così:
Σ(k/n) per k che va da 1 a n si ottine (n+1)/2
dove k è il k-esimo tentativo e n è il numero di chiavi
mi sono chiesto: qual è la probabilità di ogni k-esimo tentativo? l'ho calcolata pasando il k-esimo tentativo con la sua probabilità. ps: all'ultimo tentativo la probabilità è sempre 1/n era questo che non mi andava proprio giù. tuttavia calcolandola col metodo classico (n-1)/(n)*(n-2)/(n-1) * .... *(2/3)*(1/2) =1/n
ho sbagliato a scrivere sopra. non è affatto vero che la probabilità al k-esimo tentativo si ottiene pesando il k-esimo tentativo con la sua probabilità. volevo dire che il numero medio del k-esimo tentativo è il k-esimo tentativo moltiplicato con la sua probabilità.
probabilità del k-esimo tentativo è p(k) e nel caso di 7 chiavi:
p(1) =1/7
p(2)=(6/7)*(1/6)=1/7
p(3)=(6/7)*(5/6)*(1/5)=1/7
p(4)=(6/7)*(5/6)*(4/5)*(1/4)=1/7
...
...
p(7)=(6/7)*(5/6)*(4/5)*(3/4)*(2/3)*(1/2)=1/7
in generale se n sono le chiavi la p(k)=(1/n)
quindi la media totale è la somma di tutte le k-prove moltiplicato p(k)
quindi è la somma di tutte le ka volte fino a n di k/n che fa (n+1)/2
un altro modo che avevo pensato stanotte era questo: se l'ubriaco mette in fila le n chiavi, e comincia a provarle dalla prima che probabilità ha di trovare la chiave nella posizione k-esima?
oppure questo. se ha un sacchetto contenente le n-chiavi, e le estrae una a una senza reimbussolamento, che probabilità ha di estrarne per esempio 5 e di trovare quella giusta al 5° posto? tutte queste strade, mi hanno riportato lì. mi spiace.
non hai nessun motivo per dispiacerti, anzi e grazie mille per la risposta.Si, è un po' difficile da digerire che la probabilità sia sempre costante, ma la giustificazione la trovi proprio nei tuoi calcoli
Beato te che hai la bici, Shedir (di Cassiopea?). Io all'asilo ci devo andare a piedi !
sì, ero di ritorno dopo aver accompagnato mio figlio. lo porto in bici, perché non mi piace andare a piedi.