Categorie: Matematica
Tags: fette uguali geometria Pappo Pippo Pizza rotonda quiz stessa forma
Scritto da: Vincenzo Zappalà
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QUIZ: Una pizza per diciotto **
I nostri “carissimi” amici Pippo e Pappo (vero Mau/Pau?) hanno voluto festeggiare la liberazione dalle grinfie del terribile professor Nobody e hanno invitato i loro amici più cari a mangiare una pizza veramente enorme. Qualche problema è sorto nel modo di tagliare la pizza, ma niente di tragico, ovviamente…
La mamma di Pippo e Pappo ha dovuto usare il nuovo forno appena inventato e costruito dai suoi due gioielli per cuocere una pizza rotonda dalle dimensioni veramente straordinarie, capace di sfamare almeno una dozzina di affamati ragazzi. La pizza è stata preparata a regola d’arte, riempie perfettamente tutta la teglia nuova di secca, e tutto è pronto per l’arrivo degli amici: il forno è ormai al calor bianco.
Gli amici dovrebbero essere 10, con gusti un po’ particolari, però: 4 di loro, più gli stessi Pippo e Pappo, (in totale 6) gradiscono soprattutto il bordo esterno, mentre gli altri 6 lo odiano letteralmente. In poche parole, Pippo e Pappo hanno dovuto studiare un metodo particolare per il taglio della pizza, in modo da soddisfare i gusti di tutti e 12.
L’idea è stata geniale (come sempre), ma, del tutto inaspettati, ecco presentarsi altri 6 amici, che (è noto a tutti) non mangerebbero mai il bordo esterno. La pizza è enorme e può soddisfare benissimo l’appetito di altri 6 commensali. L’unico problema serio consiste nel nuovo taglio delle fette. Ma, in pochi minuti, Pippo e Pappo ne vengono a capo.
Che mangiata, ragazzi! Veniamo a noi, però…
Le condizioni sono abbastanza semplici: Pippo e Pappo non hanno a disposizione nessun goniometro né alcun compasso… solo un vecchio metro da sarta dimenticato dalla mamma e un coltello affilatissimo. Tuttavia, le fette della pizza DEVONO ESSERE tutte uguali sia come dimensioni che come forma.
Le due domande sono molto semplici: Descrivere il taglio sia nella situazione in cui i commensali sono solo 12, sia in quella finale con 18. Ricordiamoci ancora che solo 6 fette devono contenere una parte del bordo.
Buon appetito!!!
QUI la soluzione
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Presumendo che P&P abbiano, oltre al metro, anche una calcolatrice in grado di calcolare valori trigonometrici (ricordo le vecchie Texas Instruments della fine degli anni '70 che già lo facevano), cominciano con il tracciare una prima linea tangente ad un punto qualsiasi della pizza-cerchio, una seconda perpendicolare alla prima e tangente in un secondo punto della pizza-cerchio, una terza perpendicolare alla seconda e sempre tangente, una quarta perpendicolare alla terza, anch'essa tangente.
Così facendo hanno inscritto la pizza-cerchio in un quadrato, tirando le diagonali queste si incontrano nel centro del cerchio, tracciando anche 2 diametri (ma ne basta uno per gli scopi di P&P), che possono misurare con il metro.
Nel caso 1,
12 commensali di cui 6 "schifiltosi" (1/2 del totale), occorre tagliare 360°/12 = 30°, ovvero 12 fette di ampiezza 30° a partire dal centro.
Ma, dato che non hanno goniometro, possono ricorrere al caro vecchio teorema della corda:
AB = d*sen(θ/2), con A e B gli estremi del segmento di corda, d = diametro, θ l'ampiezza dell'angolo misurata partendo dal centro,
sen(θ/2) = sen(30°/2) = sen(15°) ≈ 0,259 => AB=d*0,259.
Misurando la corda partendo con un estremo A sul punto di circonferenza segnato dal diametro e incontrando la circonferenza nel punto B; poi si punta in B e si traccia la stessa corda di ampiezza AB, e così via:
si otterranno 6 fette si ampiezza 30° su metà pizza (30°*6 = 180°), dalle quali si ritaglia il bordo, l'altra mezza pizza (sempre con 6 fette) si lascia così com'è.
Nel caso 2,
18 commensali di cui 12 "schifiltosi" (2/3 del totale), stesso ragionamento, 360°/18 = 20°, ovvero 18 fette di ampiezza 20° a partire dal centro,
A'B' = d*sen(β/2)
sen(20/2) = sen(10°) ≈ 0,174 => A'B' = d*0,174
stesso procedimento di prima, dopo 6 fette ritagliate (6*20° = 120°) rimangono 360° - 120° = 240° di pizza, suddivisi per ampiezza di 20°, 240°/20° = 12 fette per i restanti 12 commensali "schifiltosi", dalle quali si ritaglia il bordo.
Con la pizza, ci va la birra
https://postimg.org/image/wfialcycr/
Uso il metro come una corda e lo tendo da un punto sul bordo all'estremo opposto finché, nella sua estensione massima avràa la misura del diametro. Ripiego questa distanza a metà e trovo il raggio e pure il centro.
Un capo del metro-corda lo fisso al bordo e con l'altro traccio un arco dal centro al bordo. Taglio lungo questo arco. Mi sposto sul boro dove termina il primo arco e ripeto altre 5 volte la procedura.
Ho eseguito 6 tagli curvi a raggiera dal centro ai bordi.
Individuo 6 triangoli curvilinei uguali e devo dividere, ciascuno di essi, a metà. Due lati sono convessi e uno è concavo. Devo tracciare l'altezza di ciascun triangolo curvilineo rispetto al lato concavo. Otterrò da ciascun triangolo curvilineo due frammenti uguali, due triangoli mistilinei con un angolo retto. Uno di essi contiene la parte crostone di bordo, l'altro contiene la parte morbida verso il centro.
Lasciando tutto al suo posto, per guidare questi tagli rettilinei, uso ancora il metro tendendolo da ciascun punto sulla circonferenza al punto che segue quello adiacente, un punto si e uno no. Eseguirò i tagli che mi consentiranno di ottenere una divisione in 12 pezzi, tutti della medesima superfiice. 6 crostonati e 6 no.
In realtà, per quanto riguarda la forma, i 6 pezzi crostoni sono tutti uguali fra loro ma sono speculari, (se non li capovolgiamo) ai 6 pezzi non-crostoni. Quindi sono della stessa forma solo accettando il ribaltamento. Non li posso sovrapporre tutti e dodici lasciandoli così.
Nella figura si vedono al loro posto prima di essere mangiati.
Per la divisione in 18 parti la pizza non è ancora cotta.
Riposto l'immagine che non si riusciva a vedere nel commento precedente.
Ovviamente le parti tratteggiate sono per commensali con i canini affilati, amanti del crostone.
Si nota bene come queste 6 parti abbiano forma "speculare" rispetto le altre 6, quindi sono di "uguale forma" in questo senso
Caro il mio Sig. Maurizio,
so che Lei è amico di un celebre marronaio cuneese... e probabilmente fa confusione tra uguali e speculari (esistono già gli speccchi nelle valli di Cuneo?). Se, in un testo di grande ufficialità si parla di fette di uguale area e di uguale forma, tali devono essere!
Non accetto certo forme "speculari", come dal suo distinto testo si evince... "In realtà, per quanto riguarda la forma, i 6 pezzi crostoni sono tutti uguali fra loro ma sono speculari, (se non li capovolgiamo) ai 6 pezzi non-crostoni. Quindi sono della stessa forma solo accettando il ribaltamento. Non li posso sovrapporre tutti e dodici lasciandoli così..." E dica al suo amico di usare la mani invece che i marroni e vedrà che non possono essere sovrapposte e quindi non solo uguali tra loro...
Guardi che io, per scelta etica, non SPECULO mai!!!
E poi un minimo di deferenti ed epicicli non guasta mai...
Una soluzione meno chirale , più digeribile
La fetta OAB viene divisa in due parti uguali con la curva DB (il punto D è a metà dell'arco OA e
il centro per tracciare la divisione sta all'incrocio dell'arco OC e della congiungente DB
Come si vede nella figura
Visti i nuovi arrivi di 6 amici in più, nemici del crostone...
Se si divide l'arco OA in TRE parti invece che in DUE (punto D), si possono ottenere 3 fette da ciascuno dei SEI triangolo del tipo OAB, intutto 18 fette uguali di cui solo 6 col crostone.
La divisione in tre parti uguali la lascerei a qualche altro lettore (non possiamo fare tutto io e quello sciagurato)
La soluzione di Oreste appare ottima, ma, se fosse la stessa a cui ha pensato Enzo, mi chiedo come si possano costruire senza goniometro né compasso delle fette con forme simili, che non siano approssimate in quanto tagliate "a occhio". Quindi, a mio parere, una buona idea per dividere una pizza vera, ma non una rigorosa pizza matematica.
Forse basta avere un metro "molle" come quello da sarta per costruire quegli archi di circonferenza? Sbaglierò, ma mi sembra dura... sono proprio curiosa di sapere cosa si è inventato Pappo-prof. questa volta!
non avete fatto caso alla teglia nuova di zecca che contiene perfettamente la pizza. Una bella teglia e un coltello affilato fanno il resto. Un metro da sarta è sufficiente a dividere un arco in parti uguali, essendo soffice...
Oltre alla ben nota abilità di Pippo e Pappo....
Vada per la divisione dell'arco in parti uguali, ma come la mettiamo con il taglio a forma di arco perfetto?
Per caso si chiamano Giotto di cognome questi pappidi?
Una bella teglia circolare con un coltello affilato che scorre lungo il bordo avrebbero fatto gola anche a Giotto...
Per una pizza esagonale si ragiona così
Poi basta sostituire i segmenti con archi di cerchio...
Giusto... quindi delle due l'una: o un pappide è così bravo da tenere la teglia sospesa sulla pizza, perfettamente immobile, mentre l'altro segue il bordo con il coltello eseguendo, con la punta affilata, il taglio a forma di arco perfetto, oppure, per evitare i tremolii della mano, la teglia viene appoggiata sulla pizza, col risultato di ottenere fette identiche, ma disastrate.
Non ho dubbi che, per fortuna degli amici pappidosi, i pappidi saranno talmente bravi da eseguire il taglio nel primo modo... da gente che è capace di parcheggiare l'auto in garage a velocità relativistiche, ci si può aspettare questo e altro!
Si può anche affilare il bordo della teglia e usarla, capovolta come fustellatrice....
Oppure , dopo il taglio, si imprime una deformazione topologica locale all'esagono in modo che lo spazio assuma plasticamente la configurazione desiderata. Basta un effetto vortice con pivot nel centro del cerchio. Un po' come la rotazione delle galassie... Cosa vuoi che sia per un pippo o un pappo.
Comunque dopo questa pizzosa pizza, un bel digestivo per tutti è quello che ci vuole.
A te non serve, l'hai masticata e digerita benissimo (io, invece, sono partita dall'esagono, ma ho preso altri sentieri tortuosi nei quali mi sono miseramente infognata
non sono mica un ingegnere...)
Caro Professore, Oreste desidera che le confermi che a Cuneo gli specchi sono conosciuti e utilizzati. Proprio in questi giorni sta riesaminando, assieme al fido Arley, alcuni miei vecchi appunti sul volo, con l'intenzione di collaudare degli "specchi per le allodole" che ha trovato in solaio.
Qui può vedere una pagina degli appunti.
Oreste dice che riesce a leggerli facilmente usando...uno specchio.
ma io aspetto ancora le 18 fette.... (ah... la teglia è fatta di materia trasparente - invenzione di Pippo e Pappo- e può essere bucata facilmente al centro
)
Mau non ha fatto il disegno ma lo ha scritto come arrivare alle 18 fette
In effetti il quiz chiedeva questo
Le due domande sono molto semplici: Descrivere il taglio sia nella situazione in cui i commensali sono solo 12, sia in quella finale con 18. Ricordiamoci ancora che solo 6 fette devono contenere una parte del bordo.
Ho aggiunto qualche dettaglio grafico solo per rendere più comprensibile la spiegazione.
dove sono i dettagli grafici ????
non li vedo...
Per forza! La pizza me la sono mangiata tutta io, alla faccia dei pappidi, dei loro amici e della fatica che hanno fatto Mau e Pau per dividerla!!!
il razzo sola andata per Papalla è quasi pronto!!!!!!!!
ma nessuno che parla di deferenti ed epicicli.... e io che avevo fatto di tutto per inserirli....
Pizza x 18. Disegno mezzi di fortuna e cellulare scarico. Una parola è poco, due sono troppe.
OK, OK... ne parlerò io nella soluzione...
Caro Enzo, finalmente posso fornire un disegno completo, spero ti possa essere utile se intendi parlarne nella soluzione. Noi, a Cuneo, facciamo sempre così...
Cerea !
La ringrazio caro Avv. Oreste... vedrò come usarle (almeno una), dato che io ho scelto l'approccio astronomico e non gastronomico....
Come dice il motto della Royal Canadian Air Force:
"Per aspera ad astra"...