Somma di numeri dispari:Mini-mini Quesito
Molti sanno, ed è stato scritto anche in questo sito, che Gauss da bambino trovo' una formula che esprime la somma dei primi n numeri naturali:
1+2+3+...n=;
Qui i numeri sono tutti, pari e dispari.
Una piccola domanda da rivolgere ai lettori sotto forma di mini-quiz. Chi sa dire e dimostrare quanto vale la somma dei primi N numeri dispari in funzione di N? Ecco cosa intendo, con un esempio:
1+3+5 sappiamo tutti che fa 9; in questo caso N=3 (i numeri sono tre) e come ripeto la somma fa nove.
Esiste una formula, tipo quella di Gauss , che esprime tale risultato?
Non occorre andare su Google per trovarla, basta fare due o tre prove. Un po' più difficile è dimostrarla, Ma con un po' di pazienza si può fare in vari modi. Si può anche solo cercare di giustificare il risultato.
Attendo notizie.
19 commenti
Provando due, tre, quattro volte, alla fine si vede che la somma dei primi N numeri dispari è uguale a N^2.
Scrivo l'N-esimo numero primo come 2N-1. Infatti, per N=1, ho 1, per N=2 ho 3, per N=3 ho 5 e così via.
La relazione da dimostrare è:
Questa è sicuramente verificata per N=1.
Ipotizzo che sia vera per N e vedo se risulta verificata anche per N+1. Applico, cioè, il principio di induzione.
Quindi la relazione è vera anche per N+1. Allora è vera per qualsiasi N.
ok Arturo. Esiste però un altro modo per dimostrarlo senza usare il principio di induzione.Tutto quello che serve é scritto anche nel testo del quiz.Vediamo se qualche lettore lo scopre..
Partendo dalla relazione di Gauss
posso scrivere, moltiplicando primo e secondo membro per 2:
cioè:
cioè:
Ora, si verifica velocemente che, per il termine al primo membro dell'ultimo passaggio, risulta:
Per esempio, se n=7, a primo membro abbiamo:
2*1+2*2+2*3+2*4+2*5+2*6+2*7-7 = 49
e a secondo membro abbiamo:
2*1-1+2*2-1+2*3-1+2*4-1+2*5-1+2*6-1+2*7-1=2*1+2*2+2*3+2*4+2*5+2*6+2*7-7 = 49
Ora, il termine a secondo membro della suddetta relazione (**) altro non è che la somma per primi n numeri dispari , quindi, per la (*) e la (**) :
per chi non conoscesse il principio di induzione lo trova qui. Per quanto riguarda i metodi algebrici non pendo che ne esistano altri. Qualcuno ha in mente qualche altro metodo? Magari grafico?
Posso pensare ad accoppiare gli n numeri in questo modo: abbino il più piccolo (1) e il più grande (n). La loro somma vale n+1 e li tolgo dall'insieme.
Adesso il minimo è cresciuto di 1 e il massimo è diminuito di 1, quindi la loro somma sarà ancora n+1
Procedo in questo modo abbinando progressivamente le coppie fino a che mi resterà solo il numero centrale per il quale non ci sarà un compagno (i numeri sono dispari).
Quante sono le coppie che ho formato ? Ebbene i numeri che ho abbinato sono n-1 (dato che non ho usato quello centrale) per cui le coppie sono (n-1)/2 e per ciascuna di esse la somma vale n+1.
La somma totale è quindi (n+1)*(n-1)/2 + il valore del numero centrale.
Ma il valore del numero centrale è proprio la metà di n+1. quindi....
Somma = (n+1)*(n-1)/2 + (n+1)/2 = (n +1)/2 * (n-1+1) = n*(n+1)/2
attenzione Oreste che non è il numero dei numeri ad essere dispari, ma i numeri
es: 1,3,5,7 sono numeri dispari ma il loro numero (4) è un numero pari. Poi quella ottenuta non è la formula giusta
Mi viene in mente questa rappresentazione geometrica ...
Immagino una "scala" a forma di triangolo rettangolo isoscele, formata da un numero n (dispari) di strisce verticali, di altezza progressivamente crescente. ( da 1 a n). Sia la base sia l'altezza valgono n .
l'area al di sotto della linea rossa vale n*n /2
l'area al di sopra vale n/2
Il totale è quindi n/2 * ( n+1) = n*(n+1)/2
Vedo che sia io che Oreste abbiamo inteso male la domanda.... non si vuole trovare la somma dei numeri naturali ( la formula trovata da Gauss) ma quella dei primi numeri dispari da 1 a n.
Quindi... tutto da rifare
Si, come ti dicevo prima
Disegno una "scala" costituita da n gradini di altezza dispari crescente, come in figura...
Osservo che esiste uno zoccolo rettangolare di area n su cui è poggiato un triangolo di area (n-1)(n-1) ed infine un bordo di (n-1) triangoli, ciascuno di area 1, con area complessiva (n-1).
Sommando questi 3 contributi ottengo:
Area = (n) + (n-1)(n-1) + (n-1) = n + (n-1)(n-1+1) = n + (n-1)n = n(1+n-1)= n*n
Quindi la somma dei primi n numeri dispari vale n^2
(Oreste mi ha dato una mano)
Mi sembra proprio che sia giusto. M da dove hai tirato fuori questa diavoleria?
Ci sarebbe anche questa che mi è venuta in mente dopo....una semplice rotazione della "punta" della scalinata ripiegandola all'indietro così...
Bella idea, Mau.
Se p(k) = 2k-1 fosse una funzione continua da 0 ad n , quindi integrabile, il suo integrale definito da 0 ad n sarebbe l'area sottesa alla curva p(k). Nel nostro caso abbiamo tratti di funzioni continue (si procede "a scatti": 1-->3-->5-->7...) , ma il discorso somiglia a quello dell'integrale per intervallini elementari pari a 1.
Basta pensare che i numeri pari si ottengono raddoppiando i numeri dispari e che la somma dei dispari è uguale alla somma di tutti i numeri meno i pari ......
Fisso un numero n di numeri in sequenza a partire da 1
Sia n dispari
Avremo (d ) numeri dispari e (d-1) pari, con n = 2d-1
Sappiamo già da Gauss che la somma di tutti questi numeri vale n(n+1)/2 , ossia vale (2d-1)(2d-1+1)/2 = (2d-1)d.
Questa espressione corrisponde geometricamente a un rettangolo di base (2d-1) e di altezza d.
La base (2d-1) posso scriverla d+(d-1) dove (d) sono i numeri dispari e (d-1) i numeri pari. Separando i pari dai dispari, scindo il rettangolo in due rettangoli.
L'area del rettangolo (che è poi un quadrato) corrispondente ai dispari vale d*d ed è la risposta al quiz
L'area del rettangolo corrispondente ai pari vale d(d-1) ossia d*d -d. Essa rappresenta il valore che Leandro suggerisce di togliere dal totale per ricavare la somma dei numeri dispari ( che abbiamo comunque giá trovato).
Non voglio essere un "rompiscatole", ma andate a vedere cosa hanno fatto i greci con i numeri quadrati...
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2016/09/29/luniverso-dei-numeri-e-i-numeri-perfetti/
da Fig. 2 alla 4 ... Leggete gli articoli, leggeteli e non snobbate gli antichi....
Grazie Enzo di averci ricordato questo articolo riassuntivo. Nei singoli articoli c'erano anche commenti utili.
Va bene che le figure 2 3 4 sono in tema, ma perchè fermarsi e non leggere tutto fino in fondo? Leggete, leggete...tutto. Resterete...di sasso.
dovere Mau...
Ok, penso che possiamo chiudere qui il quesito. Sono soddisfatto, anche se però mi aspettavo qualche risposta anche dai nostri amici silenti. In realtà questa serie di quiz è stata concepita apposta per loro. Ma sono sicuro che ci saranno la prossima volta.
Non darò soluzione a questo quiz, in quanto è stato ampiamente risolto sia con metodi algebrici che geometrici. Rimando quindi alla lettura dei commenti per la soluzione. In generale ,per i mini quiz di questo tipo, la soluzione dovrà essere trovata sempre dai lettori. Solo una cosa: teniamoci a mente questo risultato perché potrà servirci più avanti.
Grazie a tutti.