Pur avendo promesso di non scrivere la soluzione di questo quiz, è necessario che dia delle precisazioni su un punto importante,anzi essenziale, della dimostrazione. Mi affido al  primo commento di Fabrizio:

"La derivata h-esima di uno dei termini del polinomio è:".

Sostanzialmente, per  risolvere il quiz, basta dimostrare che  è divisibile per h!

A questo punto succede quello che succede spesso in matematica; ci si accorge che quel numero rappresenta qualcosa in altro ambito. Chi ha studiato il calcolo combinatorio,  si accorge subito che il numero  altro non è che il numero di disposizioni Dn,h. Le righe di spiegazione che seguono presuppongono che alcuni concetti siano già noti a lettore. Cominciamo con la regola fondamentale del calcolo combinatorio:

Regola fondamentale del calcolo combinatorio:
Se un oggetto è costruito con una sequenza di h scelte e vi sono n1 possibilità per la prima scelta, n2 per la seconda, …, nh per la h-esima, il numero totale degli oggetti così ottenibili (h-uple ordinate) è n1⋅n2⋅…⋅nh. Questa regola si può dimostrare formalmente usando il prodotto cartesiano di insiemi e il principio di induzione.

Disposizioni di n oggetti a h alla volta

Se Ω è un insieme che ha n elementi, per disposizione degli n oggetti di Ω a h alla volta, 1≤h≤n, intendiamo una h-upla ordinata costruita con h elementi distinti di Ω.
Per la regola fondamentale del calcolo combinatorio il numero delle disposizioni di n oggetti a k alla volta è allora:
( Dn,k = n⋅(n-1) ⋅…⋅ (n-h+1) poiché la prima scelta può essere fatta in n modi, la seconda in n-1 modi
(perché deve essere diversa dalla prima),…, la h-esima in n-h+1 modi.

Esempio: il numero di parole di h lettere distinte che si possono costruire con un alfabeto di n≥h lettere (beninteso qui col termine “parola” intendiamo una h-upla ordinata di lettere che può anche non avere alcun senso).

Un altro oggetto molto importante del calcolo combinatorio, è rappresentato da:

Coefficienti binomiali
Una combinazione di n oggetti a h alla volta, h≤n, è un sottoinsieme,di cardinalità h, dell’insieme Ω che ha gli n oggetti come elementi.
Il numero delle combinazioni di n oggetti a h alla volta, 1≤h≤n , è indicato con  Cn,h oppure anche con . Chiaramente nessuno può dubitare che questo numero non sia un intero. Alle differenza delle disposizioni, dove conta anche l'ordine, nelle combinazioni contano solo gli oggetti scelti.

Esempio: se abbiamo un insieme di n elementi e cerchiamo il numero di sottoinsiemi di 2 elementi, chiaramente i due sottoinsiemi {a,b},{b,a} sono lo stesso insieme,quindi viene contato solo una volta.

Che relazione c'è fra Dn,he Cn,h? Se indichiamo con Cn,h= x il numero naturale cercato, tra x e Dn,h (il numero delle disposizioni di n oggetti a h alla volta) c’è evidentemente la relazione Dn,h = x⋅ (h!) dal momento che una fissata combinazione di h oggetti dà luogo a h! permutazioni degli stessi, ciascuna delle quali costituisce una diversa disposizione. Bene, senza calcolare Cn,h che in questo contesto non interessa , abbiamo dimostrato che p= Dn,h =n⋅(n-1) ⋅…⋅ (n-h+1)= x⋅ (h!), ossia che p è divisibile per h!. Bene, allora abbiamo finito.

Speravo che qualcuno trovasse una soluzione più diretta, ma se ci pensate bene il calcolo combinatorio non è proprio fuori luogo quando si parla di polinomi o derivate; i coefficienti binomiali si chiamano così perchè entrano nello sviluppo del binomio di Newton, mentre i fattoriali saltano sempre fuori nelle derivate dei polinomi o nelle serie  di potenze. Per me questa soluzione basta e avanza; a noi serve per proseguire in un programma affascinante che voglio continuare immediatamente. Se Maurizio o Fabrizio , o tutti e due assieme  vogliono scrivere una soluzione alternativa, ben venga!