Categorie: Fenomeni astronomici Quiz
Tags: effetto lente fuoco quiz relatività generale Sole
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:8
QUIZ astronomico: Trasformiamo il Sole in un telescopio **
Il presente articolo è stato inserito nella pagina di approfondimento dedicata all'effetto lente gravitazionale
Einstein ci ha insegnato che la luce viene deviata passando vicino a una grande massa. In tal modo si ottiene l’effetto lente gravitazionale, che ci permette di vedere oggetti altrimenti invisibili data la loro distanza. Un quiz che accontenta il nostro Fiorentino (che lo ha chiesto QUI)… e che è decisamente semplice. Inoltre, serve anche come ripasso…
In realtà, già Newton aveva previsto una deflessione e “qualcuno” aveva anche fatto i calcoli trovando un risultato non molto distante da quanto dimostrato dalla Relatività Generale. Noi ne abbiamo parlato e la prima parte del quiz sta proprio nel trovare quell’articolo (silenzio Scherzy!!)… In esso si trova il valore dell’angolo di deflessione della luce per un oggetto posto all’infinito rispetto all’oggetto che fa da “lente”.
Perché, allora, non usare il nostro Sole come lente gravitazionale, rispettando il risultato della RG ? A causa della deflessione i raggi provenienti da un oggetto posto all’infinito dovranno convergere in un fuoco, proprio come se il Sole fosse l’obiettivo di un gigantesco telescopio.
Una distanza focale che ha un valore variabile a seconda della distanza rispetto alla massa-lente. A noi interessa il valore minimo. La domanda è: “Questo FUOCO si trova all’interno del Sistema Solare o bisogna andare più lontani delle stelle vicine per individuarlo? O, magari, addirittura al di fuori della nostra galassia?”
A voi la risposta, che sarebbe molto gradita, se fosse espressa in una certa unità di distanza (quella più adatta a lei…).
Per semplicità, consideriamo che i raggi siano deflessi in un punto ben preciso e non un po’ alla volta. I valori di certe costanti le trovate un po’ dappertutto.
Altro che Hubble!!!
QUI la soluzione (e un approfondimento sull'effetto lente)
8 commenti
Il sole ha un massa relativamente molto piccola, quindi dovrebbe deviare pochissimo i raggi di luce della sorgente lontanissima...
Ho trovato un articolo del blog (La semplice geometria della lente gravitazionale) in cui la formula 2 lega la massa della lente all'angolo alfa.
Mi sembra che tutto stia nel trovare la distanza DL (distanza tra il punto in cui convergono i fotoni deviati e la lente stessa)...
caro Fiore,
esiste un altro articolo, decisamente più semplice, in cui la formula risolvente è proprio quella necessaria per una sorgente posta all'infinito (come nel quiz proposto)... Ovviamente, può essere dedotta come caso particolare di quella più generale. Poi, basta fare un po' di calcoli... molto semplici e istruttivi...
Ok, ok... non dirò a nessuno qual è l'articolo, però l'ho trovato e ho tentato la soluzione
Visto il tuo commento finale, mi resta il dubbio di aver fatto qualche errorino di calcolo perché l'ordine di grandezza del punto focale mi viene inferiore all'anno luce (9,5 x 1015 m)... comunque questo è il frutto del mio sudore, spero che almeno l'impostazione sia corretta
Vedo che è sparita la formattazione dell'apice nella dimensione dell'anno luce: 9,5 x 10 alla 15esima
Mi correggo: la cotangente di 0,00008 è 1,25 x 10^4
quindi OF = 8,75 x 10^12 m
ovvero si troverebbe all'interno del sistema solare... mah... sentiamo cosa ne pensa Enzone!
per adesso posso darti un consiglio... puoi tranquillamente considerare alpha = tan (alpha)...
Caro Enzo, vediamo se ho capito come fare.
Innanzitutto l’articolo dovrebbe essere questo:
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2016/08/20/soldner-la-relativita-generale-a-meta/
Da cui si ricava l’angolo di deflessione: φ = 4GM/c²r
La tangente di tale angolo, però, dovrebbe essere uguale all’incirca a: tan φ = r/d
Dove r è il raggio del Sole e d la distanza dal Sole del fuoco.
Considerato che tale angolo è molto, molto piccolo, il risultato della tangente non si discosta molto dal semplice rapporto tra raggio (r) e distanza di fuoco (d), per cui si può approssimare: φ = r/d
Non resta che eguagliare le due relazioni trovate per calcolare l’angolo φ:
4GM/c²r = r/d
d = c²r²/4GM
Dunque, se non ho toppato qualcosa, non resta che calcolare la distanza focale, ossia d, ricordando che:
G (costante di gravitazione universale) = 6,67 10^-11 m³/Kg s²
M (massa del sole) = 1,989 10^30 Kg
r (raggio Sole) = 6,96 10^8 m
c (velocità della luce) = 299 792 458 m/s
d = c²r²/4GM = 8,20426 10^13 metri
Per trasformare i metri in Unità Astronomiche (distanza media Terra Sole = 149,5978707 10^9 metri) basta dividere d per il valore in metri di una unità astronomica:
d = 8,20426 10^13/149,5978707 10^9 = 548,42 UA
Dunque, considerato che l’eliopausa si trova tra 100 e 200 UA, mentre la nube di Oort pare estendersi fino almeno fino a 50 000 UA, il fuoco della lente gravitazionale solare dovrebbe trovarsi a circa 3 volte il raggio massimo dell’eliopausa, ma assai prima della nube di Oort (per curiosità Voyager 1 dovrebbe trovarsi a circa 138 UA dal Sole, per cui è ancora lontano dal punto di fuoco).
Paolo
bravo Paolino e bravo anche Scherzy, anche se ha perso un 10 per strada (nell'ultima risposta)...