Il quiz richiedeva di calcolare la probabilità di uscire sano e salvo dall'Hotel per l'ubriaco . Riporto lo lo schema del quiz:

Vorrei per prima riportare la soluzione di Fabrizio, per quanto riguarda il calcolo di tale probabilità. Penso non abbia bisogno di ulteriori commenti:

Partendo dalla sala S1 ci sono 3 esiti possibili per l’ubriaco:
1) finisce in piscina il 50% delle volte
2) trova l’uscita il 25% delle volte
3) si ritrova nuovamente nella sala S1 passando per la porta P il 25% delle volte, e riprende il ciclo.

In ciascuno dei giri che fa partendo da S1, la probabilità di finire a bagno in piscina (B) è il doppio di quella di trovare l’uscita (U). Cioè B=2 U, indipendentemente da quanti giri possa avere completato.

Per utilizzare questa relazione occorre rispondere alla seconda domanda di Umberto: “E' possibile inoltre che esso continui a girare all'infinito per S1 ed S2  passando per la porta P e non trovando mai l'uscita ?”

La mia risposta è no. Se un evento è possibile presto o tardi accade. E qui ci sono 2 eventi che fanno uscire l’ubriaco dal giro ed Umberto ha usato la parola infinito. Ovviamente, supponendo che non sia fermato dalla sicurezza dell’albergo o non crolli.
Questo si traduce in un vincolo sulla somma: U+B=1, non essendoci altre possibilità.
Se B=2 U come visto sopra, allora U+2 U=1. U deve quindi essere 1/3, come ha già trovato Gianfranco per altra via.

Fine soluzione di Fabrizio.

Per quanto riguarda la soluzione di Gianfranco, penso che il suo ragionamento sia questo:

Egli considera la probabilità di uscire in U come somma di alternative:

Posso uscire direttamente con probabilità  (vado dritto in S1 e in S2). Oppure faccio un giro, ovvero in S2 non prendo l'uscita, ma torno in S1. Da S1 vado in S2 e poi esco; questa seconda alternativa ha probabilità . In generale, se k è il numero di giri che faccio prima di uscire, la probabilità, funzione di k, sarà data da:

. L'uscita può avvenire dopo 1,2,3, ...k giri. Per ottenere il valore della probabilità dobbiamo sommare tutte queste alternative, ottenendo la somma di una serie.

Si ha perciò:P=.  La serie è geometrica, per cui:

, e ritroviamo quindi il risultato di Gianfranco (che si è limitato a una somma finita) senza approssimazioni.

La probabilità Q invece di girare all' infinito senza uscire per U  è data unicamente da:

Q=; quindi tale proprietà è nulla. Questa è una conseguenza del teorema di Bernulli, che abbiamo visto qui.

Notiamo la differenza tra P e Q; P si può ottenere come somma di infinite alternative e alla fine dà un numero finito, mentre Q si ottiene solo come un unico evento ripetuto infinite volte. Ma sappiamo che questo non è possibile, ovvero che tale evento ha probabilità nulla.