Questo articolo è stato inserito nella pagina d'archivio "Dinamica e meccanica", compresa in "Fisica classica"

 

Chi non ha mai viaggiato in treno o in automobile? Tanto basta per capire i "fondamentali" del Jerk.

E di questo abbiamo parlato nei precedenti articoli sull'argomento (QUI e QUI). Ma ci sono esperienze molto meno comuni che fanno definitivamente amare questa derivata terza dello spazio, dal curioso nome.

 

Un, due, tre… Jerk!

Il paracadute, come la mente, funziona solo se si apre, ormai lo sappiamo bene.

Ma come funziona?

In realtà non basta che si apra, è bene che ci sia anche un po' di aria attorno, per tutta la discesa.

Se sulla Luna vi lanciate da 500 metri, il paracadute vi aiuterà poco. Vero è che l'accelerazione di gravità è solo un sesto di quella terrestre, quindi la velocità di impatto risulterà ridotta al 40 %, ma anche così, cadendo da 500 metri, senza atmosfera, arriverete al suolo con il paracadute chiuso, alla bella velocità di 40 m/s che se vi sembrano pochi, corrispondono a 110 km/h.

Sulla Terra va molto meglio. Con il paracadute non verrete giù come un sasso e, grazie alla presenza dell'aria, arriverete al suolo a 4 m/s , come se saltaste giù dal tavolo, invece che ai 100 m/s, pari a 360 km/h, di un salto senza paracadute.

Ma come avviene questo miracolo?

Non vi proponiamo una discussione a colpi di equazioni differenziali, tenendo conto di tutte le variabili, ma solo uno schema generale con qualche calcolo approssimato, giusto per dare una idea.

Una persona di 90 kg che volesse lanciarsi da 500 metri dovrebbe munirsi di un paracadute (è solo un esempio, senza voler fare pubblicità) come il SET 10 della Strong Enterprise , un paracadute emisferico, a calotta, con un raggio di 4,7m , una superficie di resistenza di 72 m² ed un Cr, coefficiente di resistenza aerodinamica, di 1,28, un numero puro che conoscete dal gergo automobilistico con il nome di CX e che misura la forza che si oppone al movimento di un corpo in un fluido: il coefficiente di penetrazione.

Questo coefficiente è legato alla forma dell'oggetto in movimento: per un cubo vale circa 1, per una sfera 0,47, per un proiettile 0,04, per una Ferrari di F1 0,7, per la vostra utilitaria 0,35.

Come...? Il CX di una Ferrari è doppio di quello di una utilitaria?

Sì, avete per caso dato uno sguardo alle ruote? Come pensate che quei cilindroni possano penetrare facilmente nell'aria? E lasciamo perdere le turbolenze che si creano intorno...

Insomma, il martello e la piuma hanno CX diversi e se c'è la giusta atmosfera... cadono a velocità diverse (in assenza di atmosfera, invece, cadono alla stessa velocità, così come aveva intuito Galileo e come hanno verificato gli astronauti sulla Luna)

Tornando al paracadute, il coefficiente deve essere piuttosto alto, se no penetra facilmente nell'aria e non vi serve a niente.

Il paracadute emisferico è nato per frenare la caduta: ingabbia l'aria nella calotta e la comprime fino a creare una superficie fluida orizzontale. Questo genera una forza frenante che si oppone alla forza prodotta sulla massa dalla accelerazione di gravità.

Detto in formule, da un lato abbiamo la Forza Peso = mg, della massa che sta cadendo (90Kg) con accelerazione 9,81 m/s²

Dall'altro la forza frenante , detta Resistenza Aerodinamica = R, che si oppone alla caduta e dipende da:

Cr = coefficiente di resistenza aerodinamica (penetrazione)

 = densità dell'aria che varia in funzione della pressione atmosferica e della temperatura, che assumeremo avere un valore medio di circa 1,2 Kg/m³

A = area della superficie esposta all'aria

v = velocità del corpo

L'espressione che lega questi parametri è la seguente:

R = 

Una volta aperto il paracadute, la trasformazione del moto da rettilineo uniformemente accelerato, MRUA , a rettilineo uniforme, MRU, si completerà nell'istante in cui la velocità di caduta avrà raggiunto un valore tale per cui le due forze opposte (peso e resistenza aerodinamica) si bilanciano

mg =  

Da questa espressione possiamo ricavare la velocità limite v

v =   =    =  

Questa sarà la velocità di discesa dopo il transitorio e si manterrà costante fino al momento dell'atterraggio (in seguito la chiameremo Vf = velocità finale)

Ma cosa succede durante il transitorio? Quanto dura? Che velocità si raggiunge? Di quanto si scende prima che il paracadute si apra? E quanto ci vuole prima che la velocità si stabilizzi?

Calma ! Il paracadute è composto dalla fune di vincolo, agganciata al cavo statico dell'aereo, da una calotta inizialmente ripiegata e dalle funicelle che compongono il fascio funicolare.

La calotta, una volta estratta dalla fune di vincolo, si apre e ingabbia l'aria durante la discesa, producendo una forza di resistenza aerodinamica contrastante la forza peso, dovuta alla gravità, che fa precipitare il paracadutista.

La fune di vincolo è agganciata all'aereo con una lunghezza di circa 5 metri (anche se circa 1 metro rimane all'interno dell'aereo), la sua azione è di sfilare la calotta la quale, ripiegata, è circa 5 metri e le funicelle lunghe 7 metri, dunque in totale 5+5+7=17 metri.

Fino allo svolgimento di tutti questi 17 metri siamo in caduta libera e non siamo sostenuti da nulla.

A questo punto il paracadute è completamente sfilato ma chiuso, si rompe la fettuccia sul foro apicale (apertura posta all’apice della calotta che, consentendo all'aria che vi è contenuta di sfuggire dalla sommità della stessa, assicura una discesa molto più stabile e regolare) e comincia l'apertura della calotta.

Occorreranno circa 2 secondi affinché la calotta sia completamente aperta e in questi 2 secondi avremo una frenatura parziale.

Non potendo stabilire a priori quanto sia la reale resistenza all'aria in questi ultimi 2 secondi, come considerazione logica potremo stabilire una media, considerando il primo secondo come caduta libera e il secondo successivo come se il paracadute fosse completamente aperto.

Per i primi 17 metri di caduta libera quanto tempo impiego?

 secondi, che possiamo arrotondare a 2.

Abbiamo detto di considerare anche il secondo successivo in regime di caduta libera, quindi arriviamo a un totale di 3 secondi in caduta libera.

Quanto spazio ho percorso dopo 3 secondi e che velocità ho raggiunto?

Dopo 3 secondi di caduta sono sceso di 44 metri ed ho acquisito una velocità di quasi 30 m/s

La mia energia cinetica sarà:

Questa è la Energia iniziale.

Giungendo a terra alla velocità di 4 m/s, avrò una energia cinetica finale :

Il lavoro ( forza x spostamento) svolto per rallentare sarà uguale alla differenza tra la energie cinetiche: F*s = Ei-Ef da cui ricavo lo spazio   

Ma quanto vale la forza F?

La calotta del paracadute, quando aperta, ingabbia l'aria che per sua natura possiede una certa massa, abbiamo visto che la sua densità è di circa 1,2 Kg per m³.

La calotta appena aperta è in caduta libera, quindi la massa d'aria sarà soggetta ad una accelerazione uguale a g. Se preferite, da un altro punto di vista, possiamo considerare la calotta ferma e la massa d'aria che la spinge verso l'alto.

Quanta aria è contenuta nella calotta? Proviamo a calcolare il volume come se fosse una semisfera,

tenendo conto che il raggio della calotta è all'incirca 4,7 metri:

Volume (semisfera) = 2/3 π r³

Dato che in 1 metro cubo ci sono 1,2 Kg di aria, la massa sarà: m=1,2 * 217 = 260 Kg Conseguentemene la forza sarà : F= 26*9,81 = 2550 Newton

La forza peso (che si mantiene costante) vale Peso = mg = 90*9,81 = 882,9 Newton

La forza frenante ha verso contrario alla forza peso, ma durante la frenatura, diminuendo la velocità, anche la forza frenante diminuirà progressivamente . Quindi potremo considerare un valore medio, al fine di calcolare lo spazio percorso nel transitorio:

F = (2550 -883)/2 = 833,5 N ( valore medio di forza che provoca la decelerazione)

Nota la forza, possiamo calcolare lo spazio percorso fino a quando la velocità costante:

S = (Ei-Ef)/F = (38976-720)/ 833,5 = 45,9 m (spazio per rallentare fino alla velocità costante)

In questi 46 metri avrò una decelerazione media di:

a= (Vf ²-Vi²)/2S = (4²-29,43²)/2*46 = -9,24 m/s² (decelerazione media)

In quanto tempo coprirò lo spazio di 46 metri?

T=( Vf – Vi)/a = (4-29,43)/ -9,24 = 2.75 s ( tempo di rallentamento)

Abbiamo percorso fino ad ora 44 + 46 = 90 metri, e ci siamo stabilizzati ad una velocità di 4 m/s,

rimangono ancora 500 – 90 = 410 metri di discesa a velocità costante di 4 m/s.

Il tempo necessario per concludere la discesa sarà quindi

t=s/v = 410/4 = 102,5 secondi ( tempo rimanente all'atterraggio)

Riepiloghiamo la sequenza degli eventi in una tabella con relativo grafico:

il picco di variazione di velocità ( curva blu) si manifesta all'istante del jerk

Dopo i primi 3 secondi la pendenza della linea della velocità passa da positiva a negativa, è in questo intervallo che la caduta libera (MRUA) si trasforma in caduta frenata (MRU).

La accelerazione antagonista fa la sua repentina comparsa e, come ormai sappiamo, questa variazione significa che si manifesterà lo strattone, causato dal  Jerk, che prima era nullo ed improvvisamente è comparso come un impulso di durata breve ma di intensità significativa.

Da una accelerazione di 9,81 m/s² si passa ad una accelerazione (9,81-9,24) = 0,57 m/s².

Nel giro di un secondo o poco più, il jerk si manifesta con un differenziale di accelerazione che vale il 94% di g, in direzione opposta alla caduta.  

Il paracadutista, avvertendo il jerk, ha quasi la sensazione di essere proiettato verso l'alto ( in realtà continua a cadere ma più lentamente). E' quello che viene definito come “shock di apertura”, e viene valutato come rapporto tra le due accelerazioni in conflitto. Nel caso visto il rapporto risulta -9,24/9,81 = -0,94

Si tratta di un calcolo su un valore medio della accelerazione frenante, dato che l'apertura avviene in modo graduale.

Ebbene, come abbiamo visto, non si ha il tempo di contare fino a tre, che arriva il Jerk.

Ma se il jerk tardasse anche solo un poco, certamente, questa volta, la cosa ci metterebbe una certa ansia.

 

Questo testo è una libera rielaborazione del documento “Discesa col paracadute emisferico” di Angelo Dei, reperibile in rete a questo indirizzo: www.anpdifirenze.it/documents/DiscesaConParacadute2.pdf

Per conoscere o approfondire le nozioni di fisica classica utilizzate in questo articolo, si consiglia la lettura de  “La Fisica addormentata nel bosco”.