Una terza parte un po' più complessa, ma in realtà solo apparentemente. Si tratterà di lavorare in astratto su dei polinomi di grado qualsiasi. Il tutto diventerà però il fulcro della dimostrazione di Hilbert, quindi la parte più importante.
L'asteroide, o astroide, così chiamato perché la sua forma evoca quella di un astro, può essere descritto mediante equazioni parametriche ma, come vedremo, anche in altre forme. E' anche chiamato ipocicloide perché lo si può ottenere, analogamente alla cicloide, facendo rotolare una circonferenza, in questo caso non lungo una retta, ma a contatto con l'interno di una circonferenza di raggio maggiore.